Dérivée - Subderivative

Une fonction convexe (bleu) et des "lignes sous-tangentes" à x ₀ (rouge).

En mathématiques , la sous- dérivée , la sous - gradiente et la sous - différentielle généralisent la dérivée aux fonctions convexes qui ne sont pas nécessairement dérivables . Les sous-dérivées apparaissent dans l'analyse convexe , l'étude des fonctions convexes , souvent en relation avec l'optimisation convexe .

Soit être un véritable fonction convexe -Évaluées définie dans un intervalle ouvert de la ligne réelle. Une telle fonction n'a pas besoin d'être différentiable en tous points : Par exemple, la fonction valeur absolue f ( x )=| x | est indifférenciable lorsque x =0. Cependant, comme le montre le graphique de droite (où f(x) en bleu a des nœuds non différenciables similaires à la fonction valeur absolue), pour tout x ₀ dans le domaine de la fonction, on peut tracer une ligne qui passe par le point ( x ₀ , f ( x ₀ )) et qui est partout soit en contact soit en dessous du graphe de f . La pente d'une telle droite est appelée une sous- dérivée (car la droite est sous le graphe de f ). ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$

Définition

Rigoureusement, une sous- dérivée d'une fonction convexe en un point x ₀ dans l'intervalle ouvert I est un nombre réel c tel que ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$

${\style d'affichage f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$

pour tout x dans I . On peut montrer que l' ensemble des sous-dérivées en x ₀ pour une fonction convexe est un intervalle fermé non vide [ a , b ], où a et b sont les limites unilatérales

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

dont l'existence est garantie et satisfont a ≤ b .

L'ensemble [ a , b ] de toutes les sous - dérivées est appelé la sous - différentielle de la fonction f en x ₀ . Puisque f est convexe, si sa sous-différentielle en contient exactement une sous-dérivée, alors f est dérivable en . ${\style d'affichage x_{0}}$${\style d'affichage x_{0}}$

Exemple

Considérons la fonction f ( x )=| x | qui est convexe. Alors, le sous-différentiel à l'origine est l'intervalle [−1, 1]. Le sous-différentiel en tout point x ₀ <0 est l' ensemble singleton {−1}, tandis que le sous-différentiel en tout point x ₀ >0 est l'ensemble singleton {1}. Ceci est similaire à la fonction signe , mais n'est pas une fonction à valeur unique à 0, incluant à la place toutes les sous-dérivées possibles.

Propriétés

• Une fonction convexe f : I → R est dérivable en x ₀ si et seulement si la sous-différentielle est constituée d'un seul point, qui est la dérivée en x ₀ .
• Un point x ₀ est un minimum global d'une fonction convexe f si et seulement si zéro est contenu dans le sous-différentiel, c'est-à-dire que dans la figure ci-dessus, on peut tracer une "ligne sous-tangente" horizontale au graphique de f à ( x ₀ , f ( x ₀ )). Cette dernière propriété est une généralisation du fait que la dérivée d'une fonction dérivable à un minimum local est nulle.
• Si et sont des fonctions convexes avec sous - différentiels et avec étant le point intérieur de l' une des fonctions, le sous - différentiel de est (où l'opérateur d'addition représente la somme de Minkowski ). Cela se lit comme "le sous-différentiel d'une somme est la somme des sous-différentiels".${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle \partial f(x)}$${\displaystyle \partial g(x)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f+g}$${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$

Le sous-gradient

Les concepts de sous-dérivée et sous-différentielle peuvent être généralisés à des fonctions de plusieurs variables. Si f : U → R est une fonction convexe à valeur réelle définie sur un ouvert convexe dans l' espace euclidien R ⁿ , un vecteur dans cet espace est appelé un sous - gradient en un point x ₀ dans U si pour tout x dans U on a ${\style d'affichage v}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0})}$

où le point désigne le produit scalaire . L'ensemble de tous les sous-gradients en x ₀ est appelé le sous- différentiel en x ₀ et est noté f ( x ₀ ). Le sous-différentiel est toujours un ensemble compact convexe non vide .

Ces concepts se généralisent encore aux fonctions convexes f : U → R sur un ensemble convexe dans un espace localement convexe V . Une fonctionnelle ^∗ dans l' espace dual V ^∗ est appelée sous-gradient en x ₀ dans U si pour tout x dans U${\style d'affichage v}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

L'ensemble de tous les sous-gradients en x ₀ est appelé le sous-différentiel en x ₀ et est à nouveau noté ∂ f ( x ₀ ). Le sous-différentiel est toujours un ensemble fermé convexe . Il peut s'agir d'un ensemble vide ; considérons par exemple un opérateur non borné , qui est convexe, mais n'a pas de sous-gradient. Si f est continue, la sous-différentielle est non vide.

Histoire

Le sous-différentiel sur les fonctions convexes a été introduit par Jean Jacques Moreau et R. Tyrrell Rockafellar au début des années 1960. Le sous-différentiel généralisé pour les fonctions non convexes a été introduit par FH Clarke et RT Rockafellar au début des années 1980.

Voir également

• Dérivée faible
• Méthode du sous-gradient

Les références

• Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Analyse convexe et optimisation non linéaire : théorie et exemples (2e éd.). New York : Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste ; Lemaréchal, Claude (2001). Fondamentaux de l'analyse convexe . Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Zălinescu, C. (2002). Analyse convexe dans les espaces vectoriels généraux . World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR  1921556 .

Liens externes

• "Utilisations de "${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}}$ . Échange de pile . 15 juillet 2002.