Sous-ensemble - Subset

Diagramme d' Euler montrant
A est un sous - ensemble B ,   AB , et inversement B est un surensemble de A .

En mathématiques , un ensemble A est un sous - ensemble d'un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi des éléments de B ; B est alors un surensemble de A . Il est possible que A et B soient égaux ; s'ils sont inégaux, alors A est un sous - ensemble propre de B . La relation d'un ensemble étant un sous-ensemble d'un autre est appelée inclusion (ou parfois confinement ). A est un sous-ensemble de B peut également être exprimé comme B inclut (ou contient) A ou A est inclus (ou contenu) dans B .

La relation de sous-ensemble définit un ordre partiel sur les ensembles. En fait, les sous-ensembles d'un ensemble donné forment une algèbre booléenne sous la relation de sous-ensemble, dans laquelle la jointure et la rencontre sont données par intersection et union , et la relation de sous-ensemble elle-même est la relation d'inclusion booléenne .

Définitions

Si A et B sont des ensembles et que chaque élément de A est aussi un élément de B , alors :

  • A est un sous - ensemble de B , noté ou de manière équivalente
  • B est un sur - ensemble de A , noté

Si A est un sous-ensemble de B , mais que A n'est pas égal à B (c'est-à-dire qu'il existe au moins un élément de B qui n'est pas un élément de A ), alors :

  • A est un sous - ensemble propre (ou strict ) de B , noté Ou de manière équivalente,
  • B est une bonne (ou strict ) - ensemble de A , noté .
  • L' ensemble vide , écrit ou est un sous-ensemble de tout ensemble X et un sous-ensemble propre de tout ensemble sauf lui-même.

Pour tout ensemble S , la relation d' inclusion est un ordre partiel sur l'ensemble (l' ensemble de puissance de S - l'ensemble de tous les sous-ensembles de S ) défini par . On peut aussi ordonner partiellement par inclusion inversée en définissant

Lorsqu'il est quantifié, est représenté par

Nous pouvons prouver l'énoncé en appliquant une technique de preuve connue sous le nom d'argument élément :

Soit les ensembles A et B donnés. Pour prouver que

  1. supposons que a soit un élément particulier mais arbitrairement choisi de A,
  2. montrer que a est un élément de B .

La validité de cette technique peut être considérée comme une conséquence de la généralisation universelle : la technique montre pour un élément arbitrairement choisi c . La généralisation universelle implique alors ce qui est équivalent à comme indiqué ci-dessus.

Propriétés

  • Un ensemble A est un sous - ensemble de B si et seulement si leur intersection est égale à A.
Officiellement:
  • Un ensemble A est un sous - ensemble de B si et seulement si leur union est égale à B.
Officiellement:
  • Un ensemble fini A est un sous - ensemble de B , si et seulement si la cardinalité de leur intersection est égale à la cardinalité de A.
Officiellement:

symboles ⊂ et

Certains auteurs utilisent les symboles et pour indiquer respectivement le sous - ensemble et le sur - ensemble ; c'est-à-dire avec le même sens et au lieu des symboles, et Par exemple, pour ces auteurs, il est vrai de tout ensemble A qui

D'autres auteurs préfèrent utiliser les symboles et indiquer respectivement le sous-ensemble approprié (également appelé strict) et le sur-ensemble approprié ; c'est-à-dire avec la même signification et au lieu des symboles, et Cet usage rend et analogue aux symboles d' inégalité et Par exemple, si alors x peut ou non être égal à y , mais si alors x n'est certainement pas égal à y , et est inférieur que y . De même, en utilisant la convention qui est le sous-ensemble approprié, si alors A peut ou non être égal à B , mais si alors A n'est certainement pas égal à B .

Exemples de sous-ensembles

Les polygones réguliers forment un sous-ensemble des polygones
  • L'ensemble A = {1, 2} est un sous-ensemble propre de B = {1, 2, 3}, donc les deux expressions et sont vraies.
  • L'ensemble D = {1, 2, 3} est un sous-ensemble (mais pas un sous-ensemble propre) de E = {1, 2, 3}, donc est vrai et n'est pas vrai (faux).
  • Tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même, mais pas un sous-ensemble proprement dit. ( est vrai et est faux pour tout ensemble X.)
  • L'ensemble { x : x est un nombre premier supérieur à 10} est un sous-ensemble propre de { x : x est un nombre impair supérieur à 10}
  • L'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble propre de l'ensemble des nombres rationnels ; de même, l'ensemble de points d'un segment de ligne est un sous-ensemble propre de l'ensemble de points d'une ligne . Ce sont deux exemples dans lesquels à la fois le sous-ensemble et l'ensemble sont infinis, et le sous-ensemble a la même cardinalité (le concept qui correspond à la taille, c'est-à-dire le nombre d'éléments, d'un ensemble fini) comme l'ensemble ; de tels cas peuvent aller à l'encontre de l'intuition initiale.
  • L'ensemble des nombres rationnels est un sous-ensemble propre de l'ensemble des nombres réels . Dans cet exemple, les deux ensembles sont infinis, mais le dernier ensemble a une plus grande cardinalité (ou puissance ) que le premier ensemble.

Autre exemple dans un diagramme d'Euler :

Autres propriétés d'inclusion

et implique

L'inclusion est l' ordre partiel canonique , dans le sens où chaque ensemble partiellement ordonné est isomorphe à une collection d'ensembles ordonnés par inclusion. Les nombres ordinaux sont un exemple simple : si chaque ordinal n est identifié à l'ensemble de tous les ordinaux inférieurs ou égaux à n , alors si et seulement si

Pour l' ensemble de puissance d'un ensemble S , l'inclusion ordre partiel est donnée à un isomorphisme de commande -le produit cartésien de (la cardinalité de S ) copies de l'ordre partiel sur pour lesquels Ceci peut être illustré par l' énumération , et associer à chaque sous-ensemble (c'est-à-dire chaque élément de ) le k -uplet dont la i ème coordonnée est 1 si et seulement si est un membre de T .

Voir également

Les références

Bibliographie

Liens externes