Formule lacet - Shoelace formula
La formule de lacet ou l' algorithme de lacet (également connu sous le nom de formule d'aire de Gauss et de formule d' arpenteur ) est un algorithme mathématique pour déterminer l' aire d'un polygone simple dont les sommets sont décrits par leurs coordonnées cartésiennes dans le plan. L'utilisateur multiplie les coordonnées correspondantes pour trouver la zone englobant le polygone et la soustrait du polygone environnant pour trouver la zone du polygone à l'intérieur. On l'appelle la formule du lacet en raison de la multiplication croisée constante des coordonnées constituant le polygone, comme l'enfilage des lacets. On l'appelle aussi parfois la méthode du lacet . Il a des applications dans l'arpentage et la foresterie, entre autres domaines.
La formule a été décrite par Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724-1788) en 1769 et par Carl Friedrich Gauss en 1795. Elle peut être vérifiée en divisant le polygone en triangles et peut être considérée comme un cas particulier du théorème de Green .
La formule de l'aire est dérivée en prenant chaque arête AB et en calculant l'aire du triangle ABO avec un sommet à l'origine O , en prenant le produit vectoriel (qui donne l'aire d'un parallélogramme ) et en divisant par 2. le polygone, ces triangles avec une aire positive et négative se chevaucheront, et les aires entre l'origine et le polygone seront annulées et additionnées à 0, tandis que seule l'aire à l'intérieur du triangle de référence reste. C'est pourquoi la formule est appelée formule du géomètre, puisque le « géomètre » est à l'origine ; dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, une zone positive est ajoutée en allant de gauche à droite et une zone négative est ajoutée en allant de droite à gauche, du point de vue de l'origine.
La formule de surface peut également être appliquée aux polygones qui se chevauchent car la signification de la surface est toujours claire même si les polygones qui se chevauchent ne sont généralement pas simples . De plus, un polygone qui se chevauche peut avoir plusieurs « interprétations », mais la formule de lacet peut être utilisée pour montrer que l'aire du polygone est la même quelle que soit l'interprétation.
Déclaration
La formule peut être représentée par l'expression
où
- A est l'aire du polygone,
- n est le nombre de côtés du polygone, et
- ( x i , y i ), i = 1, 2, ..., n sont les sommets ordonnés (ou "coins") du polygone.
Alternativement
où x n +1 = x 1 et x 0 = x n , ainsi que y n +1 = y 1 et y 0 = y n .
Si les points sont étiquetés séquentiellement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors la somme des déterminants ci-dessus est positive et les signes de valeur absolue peuvent être omis ; s'ils sont étiquetés dans le sens des aiguilles d'une montre, la somme des déterminants sera négative. C'est parce que la formule peut être considérée comme un cas particulier du théorème de Green .
Un énoncé particulièrement concis de la formule peut être donné en termes d' algèbre extérieure . Si sont les sommets consécutifs du polygone (considérés comme des vecteurs dans le plan cartésien) alors
Preuves
Preuve pour un triangle
En se référant à la figure, soit l'aire du triangle dont les sommets sont donnés par les coordonnées et dessinez le rectangle d'aire minimale autour du triangle de sorte que ses côtés soient parallèles aux axes ou . Au moins un sommet du triangle sera sur un coin du rectangle. Dans la figure, les aires des trois triangles environnants sont et Evidemment est égal à l'aire du rectangle (appelez-le ) moins les aires des trois autres triangles :
En examinant la figure, on peut voir que les zones sont données par
Collecter les conditions et réorganiser les rendements
qui peut s'écrire comme un déterminant
Si les coordonnées sont écrites dans le sens des aiguilles d'une montre, la valeur du déterminant sera
Réorganiser autrement
qui est la forme de la formule du lacet. Cette formule peut être étendue pour trouver l'aire de n'importe quel polygone puisqu'un simple polygone peut être divisé en triangles.
Preuve pour un quadrilatère et un polygone général
Trouver l'aire d'un quadrilatère montre comment la formule de lacet est généralisée à n'importe quel polygone en divisant le polygone en triangles. Considérons la figure d'un quadrilatère dont les coordonnées sont étiquetées dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le quadrilatère est divisé en deux triangles avec des aires et En utilisant la formule du triangle sur chaque triangle, nous obtenons
Puisque les deux triangles ont été tracés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les deux aires sont positives et nous obtenons l'aire du quadrilatère en additionnant les deux aires. Le dernier terme positif et le dernier terme négatif d' annuler avec le premier terme positif et le premier terme négatif de donner
Exemples
L'utilisateur doit connaître les points du polygone dans un plan cartésien. Par exemple, prenons un triangle de coordonnées {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Prenez la première coordonnée x et multipliez-la par la deuxième valeur y , puis prenez la deuxième coordonnée x et multipliez-la par la troisième valeur y , et répétez autant de fois jusqu'à ce que ce soit fait pour tous les points souhaités. Cela peut être représenté par la formule suivante :
pour x i et y i représentant chaque coordonnée respective. Cette formule n'est que le développement de celles données ci-dessus pour le cas n = 3. En l'utilisant, on peut trouver que l'aire du triangle est égale à la moitié de la valeur absolue de 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, ce qui est égal à 3. Le nombre de variables dépend du nombre de côtés du polygone . Par exemple, un pentagone sera défini jusqu'à x 5 et y 5 :
et un quadrilatère sera défini jusqu'à x 4 et y 4 :
Exemple plus complexe
Considérez le polygone défini par les points (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5) et (5, 6), comme illustré dans le diagramme.
L'aire de ce polygone est :
Étymologie
La raison pour laquelle cette formule est appelée formule de lacet est due à une méthode courante utilisée pour l'évaluer. Cette méthode utilise des matrices . À titre d'exemple, choisissez le triangle avec les sommets (2, 4), (3, −8) et (1, 2). Construisez ensuite la matrice suivante en « faisant le tour » du triangle et en terminant par le point initial.
Tout d'abord, dessinez des barres obliques vers le bas et vers la droite (comme indiqué ci-dessous),
et multipliez les deux nombres reliés par chaque barre oblique, puis additionnez tous les produits : (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Faites la même chose avec des barres obliques vers le bas et vers la gauche (illustré ci-dessous avec des barres obliques vers le bas) :
(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Prenez alors la différence absolue de ces deux nombres : |(−6) − (8)| = 14. Réduire de moitié cela donne l'aire du triangle : 7. Organiser les nombres comme ceci rend la formule plus facile à rappeler et à évaluer. Avec toutes les barres obliques dessinées, la matrice ressemble vaguement à une chaussure avec les lacets refaits, donnant lieu au nom de l'algorithme.
Généralisation
Dans des dimensions plus élevées, l'aire d'un polygone peut être calculée à partir de ses sommets en utilisant la forme algébrique extérieure de la formule Shoelace (par exemple en 3d, la somme des produits croisés successifs ):
Cette formulation peut également être généralisée pour calculer le volume d'un polytope à n dimensions à partir des coordonnées de ses sommets, ou plus précisément, à partir de son maillage hypersurface . Par exemple, le volume d'un polyèdre à 3 dimensions peut être trouvé en triangulant son maillage de surface et en additionnant les volumes signés des tétraèdres formés par chaque triangle de surface et l'origine :