Groupe symétrique - Symmetric group

Un graphe de Cayley du groupe symétrique S 4
Table de Cayley du groupe symétrique S 3
( table de
multiplication des matrices de permutation )

Voici les positions des six matrices : Certaines matrices ne sont pas disposées symétriquement par rapport à la diagonale principale – ainsi le groupe symétrique n'est pas abélien.
Groupe symétrique 3 ;  table Cayley;  positions.svg

En algèbre abstraite , le groupe symétrique défini sur tout ensemble est le groupe dont les éléments sont toutes les bijections de l'ensemble à lui-même, et dont l' opération de groupe est la composition de fonctions . En particulier, le groupe symétrique fini défini sur un ensemble fini de symboles est constitué des permutations qui peuvent être effectuées sur les symboles. Puisqu'il existe ( factorielle ) de telles opérations de permutation, l' ordre (nombre d'éléments) du groupe symétrique est .

Bien que les groupes symétriques puissent être définis sur des ensembles infinis , cet article se concentre sur les groupes symétriques finis : leurs applications, leurs éléments, leurs classes de conjugaison , une présentation finie , leurs sous - groupes , leurs groupes d'automorphisme et leur théorie des représentations . Pour le reste de cet article, "groupe symétrique" signifiera un groupe symétrique sur un ensemble fini.

Le groupe symétrique est important pour divers domaines des mathématiques tels que la théorie de Galois , la théorie des invariants , la théorie de la représentation des groupes de Lie et la combinatoire . Le théorème de Cayley stipule que chaque groupe est isomorphe à un sous - groupe du groupe symétrique sur (l' ensemble sous - jacent de) .

Définition et premières propriétés

Le groupe symétrique sur un ensemble fini est le groupe dont les éléments sont tous des fonctions bijectives de à et dont l'opération de groupe est celle de composition de fonction . Pour les ensembles finis, les « permutations » et les « fonctions bijectives » renvoient à la même opération, à savoir le réarrangement. Le groupe symétrique de degré est le groupe symétrique sur l'ensemble .

Le groupe symétrique sur un ensemble est désigné de différentes manières, y compris , , , , et . Si est l'ensemble alors le nom peut être abrégé , , ou .

Les groupes symétriques sur des ensembles infinis se comportent assez différemment des groupes symétriques sur des ensembles finis, et sont discutés dans ( Scott 1987 , Ch. 11), ( Dixon & Mortimer 1996 , Ch. 8) et ( Cameron 1999 ).

Le groupe symétrique sur un ensemble d' éléments a un ordre (la factorielle de ). Il est abélien si et seulement si est inférieur ou égal à 2. Pour et (l' ensemble vide et l' ensemble singleton ), les groupes symétriques sont triviaux (ils sont d'ordre ). Le groupe S n est résoluble si et seulement si . C'est une partie essentielle de la preuve du théorème d' Abel-Ruffini qui montre que pour tout il existe des polynômes de degré qui ne sont pas résolubles par radicaux, c'est-à-dire que les solutions ne peuvent pas être exprimées en effectuant un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction , multiplication, division et extraction de racine sur les coefficients du polynôme.

Applications

Le groupe symétrique sur un ensemble de taille n est le groupe de Galois du polynôme général de degré n et joue un rôle important dans la théorie de Galois . En théorie invariante , le groupe symétrique agit sur les variables d'une fonction multivariée, et les fonctions laissées invariantes sont les fonctions dites symétriques . Dans la théorie de la représentation des groupes de Lie , la théorie de la représentation du groupe symétrique joue un rôle fondamental à travers les idées des foncteurs de Schur . Dans la théorie des groupes de Coxeter , le groupe symétrique est le groupe de Coxeter de type A n et apparaît comme le groupe de Weyl du groupe linéaire général . En combinatoire , les groupes symétriques, leurs éléments ( permutations ) et leurs représentations fournissent une riche source de problèmes impliquant des tableaux de Young , des monoïdes plactiques et l' ordre de Bruhat . Les sous - groupes de groupes symétriques sont appelés groupes de permutation et sont largement étudiés en raison de leur importance dans la compréhension des actions de groupe , des espaces homogènes et des groupes d'automorphisme de graphes , tels que le groupe Higman-Sims et le graphe Higman-Sims .

Éléments

Les éléments du groupe symétrique sur un ensemble X sont les permutations de X .

Multiplication

L'opération de groupe dans un groupe symétrique est la composition de fonctions , notée par le symbole ou simplement par juxtaposition des permutations. La composition fg de permutations f et g , prononcé " f de g ", cartes tout élément x de X à f ( g ( x )). Concrètement, soit (voir permutation pour une explication de la notation) :

L'application de f après g fait correspondre 1 d'abord à 2, puis 2 à lui-même ; 2 à 5 puis à 4 ; 3 à 4 puis à 5, et ainsi de suite. Donc composer f et g donne

Un cycle de longueur L = k · m , pris à la puissance k , se décomposera en k cycles de longueur m : Par exemple, ( k = 2 , m = 3 ),

Vérification des axiomes de groupe

Pour vérifier que le groupe symétrique sur un ensemble X est bien un groupe , il faut vérifier les axiomes de groupe de fermeture, d'associativité, d'identité et d'inverses.

  1. L'opération de composition de fonctions est fermée dans l'ensemble des permutations de l'ensemble donné X .
  2. La composition des fonctions est toujours associative.
  3. La bijection triviale qui s'attribue chaque élément de X sert d'identité au groupe.
  4. Chaque bijection a une fonction inverse qui annule son action, et donc chaque élément d'un groupe symétrique a un inverse qui est aussi une permutation.

Transpositions, signe et groupe alterné

Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et maintient tous les autres fixes ; par exemple (1 3) est une transposition. Toute permutation peut s'écrire comme un produit de transpositions ; par exemple, la permutation g ci-dessus peut être écrite comme g = (1 2)(2 5)(3 4). Puisque g peut être écrit comme le produit d'un nombre impair de transpositions, on l'appelle alors une permutation impaire , alors que f est une permutation paire.

La représentation d'une permutation comme produit de transpositions n'est pas unique ; cependant, le nombre de transpositions nécessaires pour représenter une permutation donnée est toujours pair ou toujours impair. Il existe plusieurs courtes preuves de l'invariance de cette parité d'une permutation.

Le produit de deux permutations paires est pair, le produit de deux permutations impaires est pair et tous les autres produits sont impairs. On peut ainsi définir le signe d'une permutation :

Avec cette définition,

est un homomorphisme de groupe ({+1, –1} est un groupe sous multiplication, où +1 est e, l' élément neutre ). Le noyau de cet homomorphisme, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les permutations paires, est appelé le groupe alterné A n . C'est un sous-groupe normal de S n , et pour n 2 il a n !/2 éléments. Le groupe S n est le produit semi - direct de A n et de tout sous-groupe engendré par une seule transposition.

De plus, chaque permutation peut être écrite comme un produit de transpositions adjacentes , c'est-à-dire de transpositions de la forme ( a a +1) . Par exemple, la permutation g ci-dessus peut également être écrite comme g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . Le tri à bulles de l' algorithme de tri est une application de ce fait. La représentation d'une permutation comme un produit de transpositions adjacentes n'est pas non plus unique.

Cycles

Un cycle de longueur k est une permutation f pour laquelle il existe un élément x dans {1, ..., n } tel que x , f ( x ), f 2 ( x ), ..., f k ( x ) = x sont les seuls éléments déplacés par f ; il faut que k 2 car avec k = 1 l'élément x lui-même ne serait pas déplacé non plus. La permutation h définie par

est un cycle de longueur trois, puisque h (1) = 4 , h (4) = 3 et h (3) = 1 , laissant 2 et 5 intacts. On note un tel cycle par (1 4 3) , mais il pourrait tout aussi bien s'écrire (4 3 1) ou (3 1 4) en partant d'un point différent. L'ordre d'un cycle est égal à sa longueur. Les cycles de longueur deux sont des transpositions. Deux cycles sont disjoints s'ils déplacent des sous-ensembles d'éléments disjoints. Les cycles disjoints commutent : par exemple, dans S 6 il y a l'égalité (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Tout élément de S n peut s'écrire comme un produit de cycles disjoints ; cette représentation est unique jusqu'à l'ordre des facteurs, et la liberté présente de représenter chaque cycle individuel en choisissant son point de départ.

Les cycles admettent la propriété de conjugaison suivante avec n'importe quelle permutation , cette propriété est souvent utilisée pour obtenir ses générateurs et relations .

Éléments spéciaux

Certains éléments du groupe symétrique de {1, 2, ..., n } présentent un intérêt particulier (ceux-ci peuvent être généralisés au groupe symétrique de tout ensemble fini totalement ordonné, mais pas à celui d'un ensemble non ordonné).

Les la permutation inverse d'ordre est celle donnée par :

C'est l'unique élément maximal par rapport à l' ordre de Bruhat et l' élément le plus long du groupe symétrique par rapport au générateur constitué des transpositions adjacentes ( i i +1) , 1 in − 1 .

C'est une involution, et se compose de transpositions (non adjacentes)

donc il a donc signe :

qui est 4-périodique en n .

Dans S 2 n , le mélange parfait est la permutation qui divise l'ensemble en 2 piles et les entrelace. Son signe est aussi

Notez que l'inverse sur n éléments et le mélange parfait sur 2 n éléments ont le même signe ; ceux-ci sont importants pour la classification des algèbres de Clifford , qui sont 8-périodiques.

Cours de conjugaison

Les classes de conjugaison de S n correspondent aux structures cycliques des permutations ; c'est-à-dire que deux éléments de S n sont conjugués dans S n si et seulement s'ils sont constitués du même nombre de cycles disjoints de mêmes longueurs. Par exemple, dans S 5 , (1 2 3)(4 5) et (1 4 3)(2 5) sont conjugués ; (1 2 3)(4 5) et (1 2)(4 5) ne le sont pas. Un élément de conjugaison de S n peut être construit en "notation à deux lignes" en plaçant les "notations de cycle" des deux permutations conjuguées l'une sur l'autre. En continuant l'exemple précédent :

qui peut s'écrire comme le produit de cycles, à savoir : (2 4).

Cette permutation met alors en relation (1 2 3)(4 5) et (1 4 3)(2 5) par conjugaison, c'est-à-dire

Il est clair qu'une telle permutation n'est pas unique.

Groupes à faible degré

Les groupes symétriques de faible degré ont une structure plus simple et exceptionnelle, et doivent souvent être traités séparément.

S 0 et S 1
Les groupes symétriques sur l' ensemble vide et l' ensemble singleton sont triviaux, ce qui correspond à 0 ! = 1 ! = 1 . Dans ce cas, le groupe alterné est d'accord avec le groupe symétrique, plutôt que d'être un sous-groupe d'indice 2, et la carte des signes est triviale. Dans le cas de S 0 , son seul membre est la fonction vide .
S 2
Ce groupe se compose exactement de deux éléments : l'identité et la permutation échangeant les deux points. C'est un groupe cyclique et donc abélien . Dans la théorie de Galois , cela correspond au fait que la formule quadratique donne une solution directe au polynôme quadratique général après avoir extrait une seule racine. Dans la théorie invariante , la théorie de la représentation du groupe symétrique sur deux points est assez simple et est vue comme l'écriture d'une fonction de deux variables comme somme de ses parties symétriques et antisymétriques : Réglage f s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) , et f a ( x , y ) = f ( x , y ) − f ( y , x ) , on obtient que 2⋅ f = f s + f a . Ce processus est connu sous le nom de symétrisation .
S 3
S 3 est le premier groupe symétrique non abélien. Ce groupe est isomorphe au groupe dièdre d'ordre 6 , le groupe des symétries de réflexion et de rotation d'un triangle équilatéral , puisque ces symétries permutent les trois sommets du triangle. Les cycles de longueur deux correspondent à des réflexions, et les cycles de longueur trois sont des rotations. Dans la théorie de Galois, l'application de signe de S 3 à S 2 correspond à la résolution quadratique d'un polynôme cubique , telle que découverte par Gerolamo Cardano , tandis que le noyau A 3 correspond à l'utilisation de la transformée de Fourier discrète d'ordre 3 dans la solution, sous forme de résolvantes de Lagrange .
S 4
Le groupe S 4 est isomorphe au groupe des rotations propres autour des faces opposées, des diagonales opposées et des arêtes opposées, 9, 8 et 6 permutations, du cube . Au-delà du groupe A 4 , S 4 a un quatre-groupe de Klein V comme sous-groupe normal propre , à savoir les transpositions paires {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4)(2 3)}, de quotient S 3 . Dans la théorie de Galois , cette application correspond à la résolution du polynôme cubique à un polynôme quartique , qui permet à la quartique d'être résolue par radicaux, comme l'a établi Lodovico Ferrari . Le groupe de Klein peut être compris en termes de résolvantes de Lagrange de la quartique. L'application de S 4 à S 3 donne également une représentation irréductible à 2 dimensions, qui est une représentation irréductible d'un groupe symétrique de degré n de dimension inférieure à n − 1 , qui ne se produit que pour n = 4 .
S 5
S 5 est le premier groupe symétrique non résolvable. Avec le groupe linéaire spécial SL(2, 5) et le groupe icosaédrique A 5 × S 2 , S 5 est l'un des trois groupes non résolvables d'ordre 120, à isomorphisme près. S 5 est le groupe de Galois de l' équation quintique générale , et le fait que S 5 ne soit pas un groupe résoluble se traduit par l'inexistence d'une formule générale pour résoudre les polynômes quintiques par radicaux. Il existe une application d'inclusion exotique S 5 → S 6 en tant que sous-groupe transitif ; l'application d'inclusion évidente S n → S n +1 fixe un point et n'est donc pas transitive. Cela donne l'automorphisme externe de S 6 , discuté ci-dessous, et correspond à la sextique résolvante d'une quintique.
S 6
Contrairement à tous les autres groupes symétriques, S 6 , a un automorphisme externe . En utilisant le langage de la théorie de Galois , cela peut aussi être compris en termes de résolvantes de Lagrange . La résolvante d'une quintique est de degré 6 - cela correspond à une application d'inclusion exotique S 5 → S 6 en tant que sous-groupe transitif (l'application d'inclusion évidente S n → S n +1 fixe un point et n'est donc pas transitive) et, tandis que cette carte ne rend pas la quintique générale résoluble, elle donne l'automorphisme externe exotique de S 6 — voir Automorphismes des groupes symétriques et alternés pour plus de détails.
A noter que si A 6 et A 7 ont un multiplicateur de Schur exceptionnel (une triple couverture ) et que ceux-ci s'étendent aux triples couvertures de S 6 et S 7 , ceux-ci ne correspondent pas à des multiplicateurs de Schur exceptionnels du groupe symétrique.

Mappages entre groupes symétriques

Outre l'application triviale S n → C 1 S 0 S 1 et l'application des signes S n → S 2 , les homomorphismes les plus notables entre groupes symétriques, par ordre de dimension relative , sont :

  • S 4 → S 3 correspondant au sous-groupe normal exceptionnel V < A 4 < S 4 ;
  • S 6 → S 6 (ou plutôt, une classe de telles applications jusqu'à l'automorphisme interne) correspondant à l'automorphisme externe de S 6 .
  • S 5 → S 6 en tant que sous-groupe transitif, donnant l'automorphisme externe de S 6 comme discuté ci-dessus.

Il existe également une foule d'autres homomorphismes S m → S nm < n .

Relation avec le groupe d'alternance

Pour n 5 , le groupe alternatif A n est simple , et le quotient induit est l'application de signe : A n → S n → S 2 qui est scindé en faisant une transposition de deux éléments. Ainsi S n est le produit semi-direct A n S 2 , et n'a pas d'autres sous-groupes normaux propres, car ils croiseraient A n soit dans l'identité (et seraient donc eux-mêmes l'identité ou un groupe à 2 éléments, ce qui n'est pas normal) , ou dans A n (et donc eux-mêmes être A n ou S n ).

S n agit sur son sous-groupe A n par conjugaison, et pour n 6 , S n est le groupe d'automorphisme complet de A n : Aut(A n ) S n . Les conjugaisons par éléments pairs sont des automorphismes internes de A n tandis que l' automorphisme externe de A n d'ordre 2 correspond à la conjugaison par un élément impair. Pour n = 6 , il existe un automorphisme externe exceptionnel de A n , donc S n n'est pas le groupe d' automorphismes complet de A n .

Inversement, pour n 6 , S n n'a pas d'automorphismes externes, et pour n ≠ 2 il n'a pas de centre, donc pour n 2, 6 c'est un groupe complet , comme discuté dans le groupe d'automorphismes , ci-dessous.

Pour n 5 , S n est un groupe presque simple , car il se situe entre le groupe simple A n et son groupe d'automorphismes.

S n peut être noyé dans A n +2 en ajoutant la transposition ( n + 1, n + 2) à toutes les permutations impaires, alors que le noyage dans A n +1 est impossible pour n > 1 .

Générateurs et relations

Le groupe symétrique sur n lettres est généré par les transpositions adjacentes qui permutent i et i + 1 . La collection génère S n sous réserve des relations suivantes :

  • pour , et

où 1 représente la permutation d'identité. Cette représentation confère au groupe symétrique la structure d'un groupe de Coxeter (et donc aussi d'un groupe de réflexion ).

D'autres ensembles générateurs possibles incluent l'ensemble des transpositions qui échangent 1 et i pour 2 in , et un ensemble contenant n'importe quel n -cycle et un 2 -cycle d'éléments adjacents dans le n -cycle.

Structure de sous-groupe

Un sous - groupe d'un groupe symétrique est appelé groupe de permutation .

Sous-groupes normaux

Les sous-groupes normaux des groupes symétriques finis sont bien compris. Si n 2 , S n a au plus 2 éléments, et n'a donc pas de sous-groupes propres non triviaux. Le groupe alterné de degré n est toujours un sous-groupe normal, propre pour n 2 et non trivial pour n ≥ 3 ; pour n 3 c'est en fait le seul sous-groupe normal propre non trivial de S n , sauf quand n = 4 où il y a un tel sous-groupe normal supplémentaire, qui est isomorphe au groupe des quatre de Klein .

Le groupe symétrique sur un ensemble infini n'a pas de sous-groupe d'indice 2, car Vitali (1915) a prouvé que chaque permutation peut être écrite comme un produit de trois carrés. Cependant, il contient le sous-groupe normal S de permutations qui fixent tous les éléments sauf un nombre fini, qui est généré par des transpositions. Les éléments de S produits d'un nombre pair de transpositions forment un sous-groupe d'indice 2 dans S , appelé sous-groupe alterné A . Puisque A est même un sous - groupe caractéristique de S , c'est aussi un sous-groupe normal du groupe symétrique complet de l'ensemble infini. Les groupes A et S sont les seuls sous-groupes normaux propres non triviaux du groupe symétrique sur un ensemble dénombrable infini. Cela a été prouvé pour la première fois par Onofri (1929) et indépendamment SchreierUlam (1934). Pour plus de détails, voir ( Scott 1987 , Ch. 11.3) ou ( Dixon & Mortimer 1996 , Ch. 8.1).

Sous-groupes maximaux

Les sous-groupes maximaux des groupes symétriques finis se répartissent en trois classes : l'intransitif, l'imprimitif et le primitif. Les sous-groupes maximaux intransitifs sont exactement ceux de la forme Sym( k ) × Sym( nk ) pour 1 ≤ k < n /2 . Les sous-groupes maximaux primitifs sont exactement ceux de la forme Sym( k ) wr Sym( n / k ) où 2 kn /2 est un diviseur propre de n et "wr" désigne le produit de la couronne agissant de manière imprimitive. Les sous-groupes maximaux primitifs sont plus difficiles à identifier, mais avec l'aide du théorème d'O'Nan-Scott et de la classification des groupes simples finis , ( Liebeck, Praeger & Saxl 1988 ) a donné une description assez satisfaisante des sous-groupes maximaux de ce type selon ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 268).

Sous-groupes Sylow

Les sous-groupes de Sylow des groupes symétriques sont des exemples importants de p- groupes . Ils sont plus faciles à décrire dans des cas particuliers d'abord :

Les p -sous-groupes de Sylow du groupe symétrique de degré p ne sont que les sous-groupes cycliques générés par les p -cycles. Il y a ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! ces sous-groupes simplement en comptant les générateurs. Le normalisateur a donc l'ordre p ⋅( p − 1) et est connu comme un groupe de Frobenius F p ( p −1) (surtout pour p = 5 ), et est le groupe linéaire général affine , AGL(1, p ) .

Les sous- groupes p de Sylow du groupe symétrique de degré p 2 sont le produit en couronne de deux groupes cycliques d'ordre p . Par exemple, lorsque p = 3 , un sous-groupe Sylow 3- de Sym(9) est généré par a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) et les éléments x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) , et chaque élément du sous-groupe Sylow 3-a la forme a i x j y k z l pour .

Les sous- groupes de Sylow p du groupe symétrique de degré p n sont parfois notés W p ( n ), et en utilisant cette notation, on a que W p ( n + 1) est le produit en couronne de W p ( n ) et W p ( 1).

En général, les Sylow p -sous-groupes du groupe symétrique de degré n sont un produit direct de a i copies de W p ( i ), où 0 ≤ a ip − 1 et n = a 0  +  pa 1  + ... +  p kun k (la base p expansion de n ).

Par exemple, W 2 (1) = C 2 et W 2 (2) = D 8 , le groupe dièdre d'ordre 8 , et donc un Sylow 2-sous-groupe du groupe symétrique de degré 7 est généré par { (1,3 )(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } et est isomorphe à D 8 × C 2 .

Ces calculs sont attribués à ( Kaloujnine 1948 ) et décrits plus en détail dans ( Rotman 1995 , p. 176 ) . Notons cependant que ( Kerber 1971 , p. 26) attribue le résultat à un ouvrage de 1844 de Cauchy , et mentionne qu'il est même traité sous forme de manuel dans ( Netto 1882 , § 39-40).

Sous-groupes transitifs

Un sous - groupe transitif de S n est un sous-groupe dont l'action sur {1, 2, ,...,  n } est transitive . Par exemple, le groupe de Galois d'une extension ( finie ) de Galois est un sous-groupe transitif de S n , pour un certain n .

Le théorème de Cayley

Le théorème de Cayley déclare que chaque groupe G est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique. En particulier, on peut prendre un sous-groupe du groupe symétrique sur les éléments de G , puisque chaque groupe agit sur lui-même fidèlement par multiplication (gauche ou droite).

Groupe Automorphisme

m Aut(S n ) Sortie(S n ) Z (S n )
n 2, 6 S n C 1 C 1
n = 2 C 1 C 1 S 2
n = 6 S 6 C 2 C 2 C 1

Pour n 2, 6 , S n est un groupe complet : son groupe d'automorphisme central et externe sont tous deux triviaux.

Pour n = 2 , le groupe d'automorphismes est trivial, mais S 2 n'est pas trivial : il est isomorphe à C 2 , qui est abélien, et donc le centre est le groupe entier.

Pour n = 6 , il a un automorphisme externe d'ordre 2 : Out(S 6 ) = C 2 , et le groupe d'automorphismes est un produit semi-direct Aut(S 6 ) = S 6 C 2 .

En fait, pour tout ensemble X de cardinalité autre que 6, tout automorphisme du groupe symétrique sur X est interne, résultat d'abord dû à ( Schreier & Ulam 1937 ) selon ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 259).

Homologie

L' homologie de groupe de S n est assez régulière et se stabilise : la première homologie (concrètement, l' abélianisation ) est :

Le premier groupe d'homologie est l'abélianisation, et correspond à l'application de signe S n → S 2 qui est l'abélianisation pour n 2 ; pour n < 2 le groupe symétrique est trivial. Cette homologie se calcule facilement comme suit : S n est généré par des involutions (2 cycles, qui sont d'ordre 2), donc les seules applications non triviales S n → C p sont à S 2 et toutes les involutions sont conjuguées, d'où l'application à le même élément dans l'abélianisation (puisque la conjugaison est triviale dans les groupes abéliens). Ainsi les seules applications possibles S n → S 2 ≅ {±1} envoient une involution vers 1 (l'application triviale) ou vers −1 (l'application des signes). Il faut aussi montrer que l'application des signes est bien définie, mais en supposant que cela donne la première homologie de S n .

La seconde homologie (concrètement, le multiplicateur de Schur ) est :

Ceci a été calculé dans ( Schur 1911 ) et correspond à la double couverture du groupe symétrique , 2 · S n .

A noter que l' homologie exceptionnelle de faible dimension du groupe alterné ( correspondant à une abélianisation non triviale, et due à l'exceptionnelle couverture triple) ne change pas l'homologie du groupe symétrique ; les phénomènes de groupes alternés donnent bien des phénomènes de groupes symétriques - la carte s'étend jusqu'à et les couvertures triples de A 6 et A 7 s'étendent aux couvertures triples de S 6 et S 7 - mais celles-ci ne sont pas homologiques - la carte ne change pas l'abélianisation de S 4 , et les triples couvertures ne correspondent pas non plus à l'homologie.

L'homologie « se stabilise » au sens de la théorie de l' homotopie stable : il existe une application d'inclusion S n → S n +1 , et pour k fixe , l'application induite sur l'homologie H k (S n ) → H k (S n +1 ) est un isomorphisme pour n suffisamment élevé . Ceci est analogue à l'homologie des familles de groupes de Lie se stabilisant.

L'homologie du groupe symétrique infini est calculée dans ( Nakaoka 1961 ), avec l'algèbre de cohomologie formant une algèbre de Hopf .

Théorie des représentations

La théorie des représentations du groupe symétrique est un cas particulier de la théorie des représentations des groupes finis , pour laquelle une théorie concrète et détaillée peut être obtenue. Cela a un large domaine d'applications potentielles, de la théorie des fonctions symétriques aux problèmes de mécanique quantique pour un certain nombre de particules identiques .

Le groupe symétrique S n est d'ordre n !. Ses classes de conjugaison sont étiquetées par des partitions de  n . Par conséquent, selon la théorie des représentations d'un groupe fini, le nombre de représentations irréductibles inéquivalentes , sur les nombres complexes , est égal au nombre de partitions de  n . Contrairement à la situation générale pour les groupes finis, il existe en fait une manière naturelle de paramétrer la représentation irréductible par le même ensemble qui paramétre les classes de conjugaison, à savoir par des partitions de n ou de manière équivalente des diagrammes de Young de taille  n .

Chacune de ces représentations irréductibles peut être réalisée sur les entiers (chaque permutation agissant par une matrice à coefficients entiers) ; il peut être explicitement construit en calculant les symétriseurs de Young agissant sur un espace généré par les tableaux de forme de Young donnés par le diagramme de Young.

Dans d'autres domaines, la situation peut devenir beaucoup plus compliquée. Si le champ K a une caractéristique égale à zéro ou supérieure à n alors par le théorème de Maschke l' algèbre de groupe K S n est semi-simple. Dans ces cas les représentations irréductibles définies sur les entiers donnent l'ensemble complet des représentations irréductibles (après réduction modulo la caractéristique si nécessaire).

Cependant, les représentations irréductibles du groupe symétrique ne sont pas connues en caractéristique arbitraire. Dans ce contexte, il est plus courant d'utiliser le langage des modules plutôt que des représentations. La représentation obtenue à partir d'une représentation irréductible définie sur les entiers en réduisant modulo la caractéristique ne sera en général pas irréductible. Les modules ainsi construits sont appelés modules Specht , et chaque irréductible apparaît à l'intérieur d'un tel module. Il y a maintenant moins d'irréductibles, et bien qu'ils puissent être classés, ils sont très mal compris. Par exemple, même leurs dimensions ne sont pas connues en général.

La détermination des modules irréductibles pour le groupe symétrique sur un champ arbitraire est largement considérée comme l'un des problèmes ouverts les plus importants de la théorie des représentations.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes