Matrice symétrique - Symmetric matrix

En algèbre linéaire , une matrice symétrique est une matrice carrée égale à sa transposée . Officiellement,

Parce que les matrices égales ont des dimensions égales, seules les matrices carrées peuvent être symétriques.

Les entrées d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale . Donc, si désigne l'entrée dans la ième ligne et la ième colonne, alors ${\style d'affichage a_{ij}}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage j}$

pour tous les indices et${\style d'affichage i}$${\style d'affichage j.}$

Chaque matrice diagonale carrée est symétrique, puisque tous les éléments hors diagonale sont nuls. De même en caractéristique différente de 2, chaque élément diagonal d'une matrice antisymétrique doit être nul, puisque chacun est son propre négatif.

En algèbre linéaire, une véritable matrice symétrique représente un opérateur auto-adjoint sur un véritable espace de produit interne . L'objet correspondant pour un espace produit interne complexe est une matrice hermitienne avec des entrées à valeurs complexes, qui est égale à sa transposée conjuguée . Par conséquent, en algèbre linéaire sur les nombres complexes, on suppose souvent qu'une matrice symétrique fait référence à une matrice qui a des entrées à valeur réelle. Les matrices symétriques apparaissent naturellement dans une variété d'applications, et un logiciel d'algèbre linéaire numérique typique leur fait des adaptations spéciales.

Exemple

La matrice suivante est symétrique : ${\style d'affichage 3\fois 3}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

Propriétés

Propriétés de base

• La somme et la différence de deux matrices symétriques est à nouveau symétrique
• Ce n'est pas toujours vrai pour le produit : étant donné des matrices symétriques et , alors est symétrique si et seulement si et commutent , c'est-à-dire si .${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage AB}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$ ${\style d'affichage AB=BA}$
• Pour integer , est symétrique si est symétrique.${\style d'affichage n}$${\style d'affichage A^{n}}$${\style d'affichage A}$
• S'il existe, il est symétrique si et seulement si est symétrique.${\style d'affichage A^{-1}}$${\style d'affichage A}$

Décomposition en symétrique et antisymétrique

Toute matrice carrée peut être écrite de manière unique comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. Cette décomposition est connue sous le nom de décomposition de Toeplitz. Notons l'espace des matrices. Si désigne l'espace des matrices symétriques et l'espace des matrices antisymétriques alors et , c'est-à-dire ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$

où désigne la somme directe . Laissez alors ${\style d'affichage \oplus }$${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(XX^{\ textf {T}}\right)}$.

Notez que et . Cela est vrai pour chaque matrice carrée avec des entrées de tout champ dont la caractéristique est différente de 2. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(XX^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\style d'affichage X}$

Une matrice symétrique est déterminée par des scalaires (le nombre d'entrées sur ou au-dessus de la diagonale principale ). De même, une matrice antisymétrique est déterminée par des scalaires (le nombre d'entrées au-dessus de la diagonale principale). ${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$${\style d'affichage {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

Matrice congruente à une matrice symétrique

Toute matrice congruente à une matrice symétrique est à nouveau symétrique : si est une matrice symétrique alors il en est de même pour toute matrice . ${\style d'affichage X}$${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage A}$

La symétrie implique la normalité

Une matrice symétrique (valeur réelle) est nécessairement une matrice normale .

Matrices symétriques réelles

Désigne par le produit intérieur standard sur . La matrice réelle est symétrique si et seulement si ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Cette définition étant indépendante du choix de la base , la symétrie est une propriété qui ne dépend que de l' opérateur linéaire A et d'un choix de produit scalaire . Cette caractérisation de la symétrie est utile, par exemple, en géométrie différentielle , car chaque espace tangent à une variété peut être doté d'un produit scalaire, donnant naissance à ce qu'on appelle une variété riemannienne . Un autre domaine où cette formulation est utilisée est dans les espaces de Hilbert .

Le théorème spectral de dimension finie dit que toute matrice symétrique dont les entrées sont réelles peut être diagonalisée par une matrice orthogonale . De façon plus explicite: Pour chaque matrice symétrique réelle , il existe une réelle matrice orthogonale telle que est une matrice diagonale . Toute matrice symétrique réelle est donc, au choix d'une base orthonormée , une matrice diagonale. ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

Si et sont de vraies matrices symétriques qui commutent, alors elles peuvent être diagonalisées simultanément : il existe une base de telle que chaque élément de la base est un vecteur propre pour et . ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$

Toute matrice symétrique réelle est hermitienne , et donc toutes ses valeurs propres sont réelles. (En fait, les valeurs propres sont les entrées de la matrice diagonale (ci-dessus), et sont donc uniquement déterminées par jusqu'à l'ordre de ses entrées.) Essentiellement, la propriété d'être symétrique pour les matrices réelles correspond à la propriété d'être hermitien pour matrices complexes. ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage A}$

Matrices symétriques complexes

Une matrice symétrique complexe peut être 'diagonalisée' à l'aide d'une matrice unitaire : ainsi si est une matrice symétrique complexe, il existe une matrice unitaire telle qu'une matrice diagonale réelle avec des entrées non négatives. Ce résultat est appelé factorisation d'Autone-Takagi . Il a été prouvé à l'origine par Léon Autone (1915) et Teiji Takagi (1925) et redécouvert avec différentes preuves par plusieurs autres mathématiciens. En fait, la matrice est hermitienne et semi-définie positive , il existe donc une matrice unitaire telle que diagonale avec des entrées réelles non négatives. Le complexe est donc symétrique du réel. Ecrire avec et des matrices symétriques réelles, . Ainsi . Depuis et commutent, il existe une véritable matrice orthogonale telle que les deux et sont diagonaux. Mise (une matrice unitaire), la matrice est diagonale complexe. En pré-multipliant par une matrice unitaire diagonale appropriée (qui préserve l'unitarité de ), les entrées diagonales de peuvent être rendues réelles et non négatives à volonté. Pour construire cette matrice, nous exprimons la matrice diagonale comme . La matrice que nous cherchons est simplement donnée par . Clairement comme on le souhaite, donc on fait la modification . Puisque leurs carrés sont les valeurs propres de , ils coïncident avec les valeurs singulières de . (Remarque, à propos de la décomposition propre d'une matrice symétrique complexe , la forme normale de Jordan de peut ne pas être diagonale, donc ne peut être diagonalisée par aucune transformation de similarité.) ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle V^{\dagger }BV}$${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$${\displaystyle C^{\dagger }C}$${\style d'affichage C=X+iY}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$${\style d'affichage XY=YX}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage W}$${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}} ,\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\ thêta _{n}/2})}$${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$${\displaystyle U'=DU}$${\displaystyle A^{\dagger }A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$

Décomposition

En utilisant la forme normale de Jordan , on peut prouver que chaque matrice réelle carrée peut être écrite comme le produit de deux matrices symétriques réelles, et que chaque matrice complexe carrée peut être écrite comme le produit de deux matrices symétriques complexes.

Chaque matrice réelle non singulière peut être factorisée de manière unique comme le produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive , appelée décomposition polaire . Les matrices singulières peuvent également être factorisées, mais pas uniquement.

La décomposition de Cholesky indique que chaque matrice symétrique réelle définie positive est le produit d'une matrice triangulaire inférieure et de sa transposée, ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage L}$

${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$

Si la matrice est symétrique indéfinie, elle peut encore être décomposée comme où est une matrice de permutation (résultant de la nécessité de pivoter ), une matrice triangulaire d'unité inférieure, et est une somme directe de symétrique et de blocs, qui est appelée décomposition de Bunch-Kaufman ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage 1\fois 1}$${\style d'affichage 2\fois 2}$

Une matrice symétrique générale (complexe) peut être défectueuse et donc ne pas être diagonalisable. Si est diagonalisable, il peut être décomposé en ${\style d'affichage A}$

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$

où est une matrice orthogonale , et est une matrice diagonale des valeurs propres de . Dans le cas particulier qui est réel symétrique, alors et sont également réels. Pour voir l'orthogonalité, supposons que et soient des vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes , . Puis ${\style d'affichage Q}$${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$${\style d'affichage \Lambda }$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} , A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$

Puisque et sont distincts, nous avons . ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

Toile de jute

Les matrices symétriques de fonctions réelles apparaissent comme les Hessiennes de fonctions deux fois continûment différentiables de variables réelles. ${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage n}$

Chaque forme quadratique sur peut être écrite de manière unique sous la forme avec une matrice symétrique . En raison du théorème spectral ci-dessus, on peut alors dire que chaque forme quadratique, jusqu'au choix d'une base orthonormée de , "ressemble" ${\style d'affichage q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$

avec des nombres réels . Ceci simplifie considérablement l'étude des formes quadratiques, ainsi que l'étude des level sets qui sont des généralisations des sections coniques . ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

Ceci est important en partie parce que le comportement de second ordre de chaque fonction multivariable lisse est décrit par la forme quadratique appartenant au Hessian de la fonction ; c'est une conséquence du théorème de Taylor .

Matrice symétrisable

Une matrice est dite symétrisable s'il existe une matrice diagonale inversible et une matrice symétrique telles que${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage A}$ ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage A=DS.}$

La transposée d'une matrice symétrisable est symétrisable, puisque et est symétrique. Une matrice est symétrisable si et seulement si les conditions suivantes sont remplies : ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$${\displaystyle DSD}$${\style d'affichage A=(a_{ij})}$

1. ${\style d'affichage a_{ij}=0}$implique pour tous${\displaystyle a_{ji}=0}$${\style d'affichage 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}} a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$ pour toute suite finie ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Voir également

D'autres types de symétrie ou de motif dans les matrices carrées ont des noms spéciaux ; voir par exemple :

Voir aussi la symétrie en mathématiques .

Remarques

Les références

• Corne, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Analyse matricielle (2e éd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

Liens externes

• "Matrice symétrique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Une brève introduction et preuve des propriétés de valeurs propres de la matrice symétrique réelle
• Comment implémenter une matrice symétrique en C++