Symétrie -Symmetry

Symétrie (gauche) et asymétrie (droite)
Un groupe de symétrie sphérique à symétrie octaédrique . La région jaune montre le domaine fondamental .
Une forme fractale qui a une symétrie de réflexion , une symétrie de rotation et une auto-similarité , trois formes de symétrie. Cette forme est obtenue par une règle de subdivision finie .

La symétrie (du grec ancien : συμμετρία symmetria "accord dans les dimensions, proportion, arrangement") dans le langage courant fait référence à un sens de proportion et d'équilibre harmonieux et beaux. En mathématiques , la « symétrie » a une définition plus précise et est généralement utilisée pour désigner un objet qui est invariant sous certaines transformations ; y compris la translation , la réflexion , la rotation ou la mise à l' échelle . Bien que ces deux significations de "symétrie" puissent parfois être distinguées, elles sont intimement liées et sont donc discutées ensemble dans cet article.

La symétrie mathématique peut être observée par rapport au passage du temps ; comme relation spatiale ; par des transformations géométriques ; par d'autres types de transformations fonctionnelles ; et en tant qu'aspect d' objets abstraits , y compris les modèles théoriques , le langage et la musique .

Cet article décrit la symétrie sous trois angles : en mathématiques , y compris la géométrie , le type de symétrie le plus familier pour de nombreuses personnes ; en science et nature ; et dans les arts, couvrant l'architecture , l'art et la musique .

L'opposé de la symétrie est l'asymétrie , qui fait référence à l'absence ou à une violation de la symétrie.

En mathématiques

En géométrie

Le triskel a une symétrie de rotation triple.

Une forme géométrique ou un objet est symétrique s'il peut être divisé en deux ou plusieurs pièces identiques disposées de manière organisée. Cela signifie qu'un objet est symétrique s'il y a une transformation qui déplace des pièces individuelles de l'objet, mais ne change pas la forme globale. Le type de symétrie est déterminé par la façon dont les pièces sont organisées, ou par le type de transformation :

  • Un objet a une symétrie de réflexion (symétrie linéaire ou miroir) s'il y a une ligne (ou en 3D un plan) qui le traverse et qui le divise en deux parties qui sont des images miroir l'une de l'autre.
  • Un objet a une symétrie de rotation si l'objet peut être tourné autour d'un point fixe (ou en 3D autour d'une ligne) sans changer la forme globale.
  • Un objet a une symétrie de translation s'il peut être déplacé (en déplaçant chaque point de l'objet de la même distance) sans changer sa forme générale.
  • Un objet a une symétrie hélicoïdale s'il peut être simultanément translaté et tourné dans un espace tridimensionnel le long d'une ligne connue sous le nom d' axe de vis .
  • Un objet a une symétrie d'échelle s'il ne change pas de forme lorsqu'il est agrandi ou contracté. Les fractales présentent également une forme de symétrie d'échelle, où de plus petites parties de la fractale ont une forme similaire à des parties plus grandes.
  • D'autres symétries comprennent la symétrie de réflexion de glissement (une réflexion suivie d'une translation) et la symétrie de réflexion de rotor (une combinaison d'une rotation et d'une réflexion).

En logique

Une relation dyadique R = S × S est symétrique si pour tout élément a , b de S , dès qu'il est vrai que Rab , il est aussi vrai que Rba . Ainsi, la relation « a le même âge que » est symétrique, car si Paul a le même âge que Marie, alors Marie a le même âge que Paul.

Dans la logique propositionnelle, les connecteurs logiques binaires symétriques incluent et (∧, ou &), ou (∨, ou |) et si et seulement si (↔), tandis que le connecteur si (→) n'est pas symétrique. D'autres connecteurs logiques symétriques incluent nand (non-et, ou ⊼), xor (non-biconditionnel, ou ⊻) et ni (non-ou, ou ⊽).

Autres domaines des mathématiques

En généralisant à partir de la symétrie géométrique dans la section précédente, on peut dire qu'un objet mathématique est symétrique par rapport à une opération mathématique donnée , si, lorsqu'elle est appliquée à l'objet, cette opération préserve une propriété de l'objet. L'ensemble des opérations qui préservent une propriété donnée de l'objet forme un groupe .

En général, chaque type de structure en mathématiques aura son propre type de symétrie. Les exemples incluent les fonctions paires et impaires en calcul , les groupes symétriques en algèbre abstraite , les matrices symétriques en algèbre linéaire et les groupes de Galois en théorie de Galois . En statistique , la symétrie se manifeste également par des distributions de probabilité symétriques et par une asymétrie , l'asymétrie des distributions.

Dans la science et la nature

En physique

La symétrie en physique a été généralisée pour signifier l' invariance - c'est-à-dire l'absence de changement - sous tout type de transformation, par exemple les transformations de coordonnées arbitraires . Ce concept est devenu l'un des outils les plus puissants de la physique théorique , car il est devenu évident que pratiquement toutes les lois de la nature trouvent leur origine dans des symétries. En fait, ce rôle a inspiré le lauréat du prix Nobel PW Anderson à écrire dans son article de 1972 , More is Different , largement lu , qu'"il n'est que légèrement exagéré de dire que la physique est l'étude de la symétrie". Voir le théorème de Noether (qui, sous une forme très simplifiée, stipule que pour chaque symétrie mathématique continue, il existe une quantité conservée correspondante telle que l'énergie ou la quantité de mouvement ; un courant conservé, dans la langue originale de Noether) ; et aussi, la classification de Wigner , qui dit que les symétries des lois de la physique déterminent les propriétés des particules présentes dans la nature.

Les symétries importantes en physique comprennent les symétries continues et les symétries discrètes de l'espace -temps ; symétries internes des particules ; et la supersymétrie des théories physiques.

En biologie

De nombreux animaux sont approximativement symétriques en miroir, bien que les organes internes soient souvent disposés de manière asymétrique.
L'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci (vers 1487) est souvent utilisé comme représentation de la symétrie dans le corps humain et, par extension, dans l'univers naturel.

En biologie, la notion de symétrie est principalement utilisée explicitement pour décrire les formes du corps. Les animaux bilatéraux , y compris les humains, sont plus ou moins symétriques par rapport au plan sagittal qui divise le corps en moitiés gauche et droite. Les animaux qui se déplacent dans une direction ont nécessairement des côtés supérieurs et inférieurs, des extrémités de tête et de queue, et donc une gauche et une droite. La tête se spécialise avec une bouche et des organes sensoriels, et le corps devient bilatéralement symétrique pour le mouvement, avec des paires symétriques de muscles et d'éléments squelettiques, bien que les organes internes restent souvent asymétriques.

Les plantes et les animaux sessiles (attachés) tels que les anémones de mer ont souvent une symétrie radiale ou de rotation , ce qui leur convient car la nourriture ou les menaces peuvent arriver de n'importe quelle direction. Une symétrie quintuple se retrouve chez les échinodermes , le groupe qui comprend les étoiles de mer , les oursins et les nénuphars .

En biologie, la notion de symétrie est aussi utilisée comme en physique, c'est-à-dire pour décrire les propriétés des objets étudiés, y compris leurs interactions. Une propriété remarquable de l'évolution biologique est les changements de symétrie correspondant à l'apparition de nouvelles parties et dynamiques.

En chimie

La symétrie est importante pour la chimie car elle sous-tend essentiellement toutes les interactions spécifiques entre les molécules dans la nature (c'est-à-dire via l'interaction de molécules chirales naturelles et artificielles avec des systèmes biologiques intrinsèquement chiraux). Le contrôle de la symétrie des molécules produites dans la synthèse chimique moderne contribue à la capacité des scientifiques à proposer des interventions thérapeutiques avec un minimum d'effets secondaires . Une compréhension rigoureuse de la symétrie explique les observations fondamentales en chimie quantique et dans les domaines appliqués de la spectroscopie et de la cristallographie . La théorie et l'application de la symétrie à ces domaines des sciences physiques s'inspirent fortement du domaine mathématique de la théorie des groupes .

En psychologie et neurosciences

Pour un observateur humain, certains types de symétrie sont plus saillants que d'autres, en particulier le plus saillant est une réflexion à axe vertical, comme celle présente dans le visage humain. Ernst Mach a fait cette observation dans son livre "L'analyse des sensations" (1897), et cela implique que la perception de la symétrie n'est pas une réponse générale à tous les types de régularités. Des études comportementales et neurophysiologiques ont confirmé la sensibilité particulière à la symétrie de réflexion chez l'homme et aussi chez d'autres animaux. Les premières études dans la tradition de la Gestalt ont suggéré que la symétrie bilatérale était l'un des facteurs clés du groupement perceptif . C'est ce qu'on appelle la loi de symétrie . Le rôle de la symétrie dans le groupement et l'organisation figure/fond a été confirmé dans de nombreuses études. Par exemple, la détection de la symétrie de réflexion est plus rapide lorsqu'il s'agit d'une propriété d'un seul objet. Des études sur la perception humaine et la psychophysique ont montré que la détection de symétrie est rapide, efficace et robuste aux perturbations. Par exemple, la symétrie peut être détectée avec des présentations entre 100 et 150 millisecondes.

Des études de neuroimagerie plus récentes ont documenté quelles régions du cerveau sont actives lors de la perception de la symétrie. Sasaki et al. utilisé l'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (fMRI) pour comparer les réponses pour les modèles avec des points symétriques ou aléatoires. Une forte activité était présente dans les régions extrastriées du cortex occipital mais pas dans le cortex visuel primaire. Les régions extrastriées comprenaient V3A, V4, V7 et le complexe occipital latéral (LOC). Des études électrophysiologiques ont trouvé une négativité postérieure tardive qui provient des mêmes zones. En général, une grande partie du système visuel semble être impliquée dans le traitement de la symétrie visuelle, et ces zones impliquent des réseaux similaires à ceux responsables de la détection et de la reconnaissance des objets.

Dans les interactions sociales

Les gens observent la nature symétrique, y compris souvent l'équilibre asymétrique, des interactions sociales dans une variété de contextes. Celles-ci incluent des évaluations de réciprocité , d' empathie , de sympathie , d' excuses , de dialogue , de respect, de justice et de vengeance . L' équilibre réfléchi est l'équilibre qui peut être atteint par un ajustement mutuel délibératif entre des principes généraux et des jugements spécifiques . Les interactions symétriques envoient le message moral « nous sommes tous pareils » tandis que les interactions asymétriques peuvent envoyer le message « Je suis spécial ; meilleur que toi ». Les relations entre pairs, telles qu'elles peuvent être régies par la règle d'or , sont basées sur la symétrie, tandis que les relations de pouvoir sont basées sur l'asymétrie. Les relations symétriques peuvent, dans une certaine mesure, être maintenues par des stratégies simples ( théorie des jeux ) observées dans les jeux symétriques tels que tit for tat .

Dans les arts

Le plafond de la mosquée Lotfollah , à Ispahan , en Iran , présente des symétries octogonales.

Il existe une liste de revues et bulletins connus pour traiter, au moins en partie, de la symétrie et des arts.

En architecture

Arcades symétriques d'un portique de la Grande Mosquée de Kairouan appelée aussi Mosquée d'Uqba, en Tunisie .
Vu de côté, le Taj Mahal présente une symétrie bilatérale ; du haut (en plan), il a une quadruple symétrie.

La symétrie trouve son chemin dans l'architecture à toutes les échelles, depuis les vues extérieures globales de bâtiments tels que les cathédrales gothiques et la Maison Blanche , en passant par la disposition des plans d'étage individuels et jusqu'à la conception d'éléments de construction individuels tels que les mosaïques de carreaux . Les bâtiments islamiques tels que le Taj Mahal et la mosquée Lotfollah font un usage élaboré de la symétrie à la fois dans leur structure et dans leur ornementation. Les bâtiments mauresques comme l' Alhambra sont ornés de motifs complexes réalisés à l'aide de symétries de translation et de réflexion ainsi que de rotations.

On a dit que seuls les mauvais architectes s'appuient sur une « disposition symétrique des blocs, des masses et des structures » ; L'architecture moderniste , à commencer par le style international , mise plutôt sur « les ailes et l'équilibre des masses ».

Dans des récipients en poterie et en métal

Les pots en argile jetés sur un tour de potier acquièrent une symétrie de rotation.

Depuis les premières utilisations des roues de poterie pour aider à façonner des récipients en argile, la poterie a eu une relation étroite avec la symétrie. La poterie créée à l'aide d'une roue acquiert une symétrie de rotation complète dans sa section transversale, tout en permettant une liberté de forme substantielle dans la direction verticale. Sur ce point de départ intrinsèquement symétrique, les potiers des temps anciens ont ajouté des motifs qui modifient la symétrie de rotation pour atteindre des objectifs visuels.

Les récipients en métal coulé n'avaient pas la symétrie de rotation inhérente à la poterie faite au tour, mais offraient par ailleurs une opportunité similaire de décorer leurs surfaces avec des motifs agréables à ceux qui les utilisaient. Les anciens Chinois , par exemple, utilisaient des motifs symétriques dans leurs moulages en bronze dès le 17ème siècle avant JC. Les récipients en bronze présentaient à la fois un motif principal bilatéral et un motif de bordure traduit répétitif.

Dans les tapis et moquettes

Tapis persan à symétrie rectangulaire

Une longue tradition d'utilisation de la symétrie dans les motifs de tapis et de moquettes s'étend à une variété de cultures. Les Indiens Navajo américains utilisaient des diagonales audacieuses et des motifs rectangulaires. De nombreux tapis orientaux ont des centres et des bordures réfléchis complexes qui traduisent un motif. Sans surprise, les tapis rectangulaires ont généralement les symétries d'un rectangle , c'est- à-dire des motifs qui se reflètent à la fois sur les axes horizontal et vertical (voir Klein quatre groupes § Géométrie ).

En courtepointes

Bloc de couette kaléidoscope de cuisine

Comme les courtepointes sont fabriquées à partir de blocs carrés (généralement 9, 16 ou 25 pièces par bloc), chaque pièce plus petite étant généralement constituée de triangles de tissu, l'engin se prête facilement à l'application de la symétrie.

Dans d'autres métiers d'art

Des symétries apparaissent dans la conception d'objets de toutes sortes. Les exemples incluent le perlage , les meubles , les peintures sur sable , les entrelacs , les masques et les instruments de musique . Les symétries sont au cœur de l'art de MC Escher et des nombreuses applications de la tessellation dans des formes d'art et d'artisanat telles que le papier peint , les carreaux de céramique tels que la décoration géométrique islamique , le batik , l' ikat , la fabrication de tapis et de nombreux types de motifs textiles et de broderie .

La symétrie est également utilisée dans la conception de logos. En créant un logo sur une grille et en utilisant la théorie de la symétrie, les concepteurs peuvent organiser leur travail, créer un design symétrique ou asymétrique, déterminer l'espace entre les lettres, déterminer la quantité d'espace négatif nécessaire dans le design et comment accentuer des parties de le logo pour le faire ressortir.

En musique

root of A minor triad third of A minor triad fifth of A minor triad fifth of A minor triad root of C major triad root of C major triad third of C major triad fifth of C major triad fifth of E minor triad fifth of E minor triad root of E minor triad third of E minor triad third of G major triad fifth of G major triad root of G major triad root of G major triad fifth of D minor triad fifth of D minor triad root of D minor triad third of D minor triad third of F major triad fifth of F major triad root of F major triad root of F major triad
Les accords parfaits majeurs et mineurs sur les touches blanches du piano sont symétriques au D. (comparer l'article) (fichier)

La symétrie ne se limite pas aux arts visuels. Son rôle dans l'histoire de la musique touche de nombreux aspects de la création et de la perception de la musique.

Forme musicale

La symétrie a été utilisée comme contrainte formelle par de nombreux compositeurs, comme la forme en arc (houle) (ABCBA) utilisée par Steve Reich , Béla Bartók et James Tenney . En musique classique, Bach a utilisé les concepts de symétrie de permutation et d'invariance.


Structures de terrain

La symétrie est également une considération importante dans la formation des gammes et des accords , la musique traditionnelle ou tonale étant constituée de groupes de hauteurs non symétriques , comme la gamme diatonique ou l' accord majeur . On dit que les gammes ou accords symétriques, tels que la gamme de tons entiers , l' accord augmenté ou l' accord de septième diminué (septième diminué-diminué), manquent de direction ou de sens de mouvement vers l'avant, sont ambigus quant à la tonalité ou au centre tonal, et ont une fonctionnalité diatonique moins spécifique . Cependant, des compositeurs tels qu'Alban Berg , Béla Bartók et George Perle ont utilisé des axes de symétrie et/ou des cycles d'intervalles de manière analogue aux tonalités ou aux centres tonals non tonals . George Perle explique "C – E, D – F ♯, [et] Eb – G, sont des instances différentes du même intervalle … l'autre type d'identité. … a à voir avec les axes de symétrie. C – E appartient à une famille de dyades liées symétriquement comme suit :"

D♯ E F F♯ g G♯
C♯ C B A♯ UN G♯

Ainsi, en plus de faire partie de la famille de l'intervalle 4, C – E fait également partie de la famille de la somme 4 (avec C égal à 0).

+ 2 3 4 5 6 sept 8
2 1 0 11 dix 9 8
4 4 4 4 4 4 4

Les cycles d'intervalle sont symétriques et donc non diatoniques. Cependant, un segment à sept hauteurs de C5 (le cycle des quintes, qui sont enharmoniques avec le cycle des quartes) produira la gamme majeure diatonique. Les progressions tonales cycliques dans les œuvres de compositeurs romantiques tels que Gustav Mahler et Richard Wagner forment un lien avec les successions de hauteurs cycliques dans la musique atonale des modernistes tels que Bartók, Alexandre Scriabine , Edgard Varèse et l'école de Vienne. En même temps, ces progressions signalent la fin de la tonalité.

La première composition étendue systématiquement basée sur des relations de hauteur symétriques fut probablement le Quatuor d'Alban Berg , op. 3 (1910).

Équivalence

Les rangées de tons ou les ensembles de classes de hauteur qui sont invariants sous rétrograde sont symétriques horizontalement, sous inversion verticalement. Voir aussi Rythme asymétrique .

En esthétique

La relation de la symétrie à l'esthétique est complexe. Les humains trouvent une symétrie bilatérale dans les visages physiquement attrayants; il indique la santé et la forme génétique. À l'opposé, une symétrie excessive a tendance à être perçue comme ennuyeuse ou sans intérêt. Rudolf Arnheim a suggéré que les gens préfèrent les formes qui ont une certaine symétrie et suffisamment de complexité pour les rendre intéressantes.

Dans la littérature

La symétrie peut être trouvée sous diverses formes dans la littérature , un exemple simple étant le palindrome où un texte bref lit la même chose vers l'avant ou vers l'arrière. Les histoires peuvent avoir une structure symétrique, comme le modèle de montée et de descente de Beowulf .

Voir également

Remarques

Références

Lectures complémentaires

Liens externes