Torsion d'une courbe - Torsion of a curve

Dans la géométrie différentielle élémentaire des courbes en trois dimensions , la torsion d'une courbe mesure à quel point elle se tord hors du plan de courbure. Prises ensemble, la courbure et la torsion d'une courbe spatiale sont analogues à la courbure d'une courbe plane. Par exemple, ce sont des coefficients dans le système d' équations différentielles pour le cadre de Frenet donné par les formules de Frenet-Serret .

Définition

Animation de la torsion et de la rotation correspondante du vecteur binormal.

Soit r une courbe spatiale paramétrée par la longueur d'arc s et de vecteur tangent unitaire T . Si la courbure κ de r à un certain point est non nul alors le principal vecteur normale et le vecteur binormale à ce moment - là sont les vecteurs unitaires

${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{\kappa }},\quad \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }$

respectivement, où le premier désigne la dérivée du vecteur par rapport au paramètre s . La torsion de mesures la vitesse de rotation du vecteur binormale au point donné. Il se trouve à partir de l'équation

${\displaystyle \mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N} .}$

ce qui signifie

${\displaystyle \tau =-\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} '.}$

Comme , cela équivaut à . ${\displaystyle \mathbf {N} \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \tau =\mathbf {N} '\cdot \mathbf {B} }$

Remarque : La dérivée du vecteur binormal est perpendiculaire à la fois à la binormale et à la tangente, elle doit donc être proportionnelle au vecteur normal principal. Le signe négatif est simplement une question de convention : c'est un sous-produit du développement historique du sujet.

Pertinence géométrique: La torsion τ ( s ) mesure le redressement du vecteur binormale. Plus la torsion est grande, plus le vecteur binormal tourne rapidement autour de l'axe donné par le vecteur tangent (voir illustrations graphiques ). Dans la figure animée, la rotation du vecteur binormal est clairement visible aux sommets de la fonction de torsion.

Propriétés

• Une courbe plane avec une courbure non nulle a une torsion nulle en tous points. A l'inverse, si la torsion d'une courbe régulière à courbure non nulle est identiquement nulle, alors cette courbe appartient à un plan fixe.
• La courbure et la torsion d'une hélice sont constantes. Inversement, toute courbe spatiale dont la courbure et la torsion sont à la fois constantes et non nulles est une hélice. La torsion est positive pour une hélice droite et négative pour une gauche.

Description alternative

Soit r = r ( t ) l' équation paramétrique d'une courbe spatiale. Supposons qu'il s'agisse d'une paramétrisation régulière et que la courbure de la courbe ne s'annule pas. Analytiquement, r ( t ) est un dérivable trois fois fonction de t à valeurs dans R ³ et les vecteurs

${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$

sont linéairement indépendants .

Ensuite, la torsion peut être calculée à partir de la formule suivante :

${\displaystyle \tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{ \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} '' }\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.}$

Ici, les nombres premiers désignent les dérivées par rapport à t et la croix désigne le produit croisé . Pour r = ( x , y , z ) , la formule en composants est

${\displaystyle \tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z'' \right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\ gauche(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.}$

Remarques

Les références

• Pressley, Andrew (2001), Géométrie différentielle élémentaire , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag , ISBN 1-85233-152-6