Réflexion interne totale - Total internal reflection

Fig. 1 :  Plantes sous - marines dans un aquarium, et leurs images inversées (en haut) formées par réflexion interne totale à la surface eau-air.

La réflexion interne totale ( TIR ) est le phénomène optique dans lequel les ondes arrivant à l' interface de (limite) à partir d' un milieu à un autre (par exemple de l' eau à l' air) ne sont pas réfracté dans le second ( « externe ») moyenne, mais complètement réfléchie de retour dans le premier support ("interne"). Il se produit lorsque le second milieu a une vitesse d'onde plus élevée ( indice de réfraction inférieur ) que le premier, et que les ondes sont incidentes à un angle suffisamment oblique sur l'interface. Par exemple, la surface eau-air dans un aquarium typique , lorsqu'elle est vue obliquement par le bas, reflète la scène sous-marine comme un miroir sans perte de luminosité (Fig. 1).

Le TIR se produit non seulement avec les ondes électromagnétiques telles que la lumière et les micro - ondes , mais aussi avec d'autres types d'ondes, y compris les ondes sonores et aquatiques . Si les ondes sont capables de former un faisceau étroit (fig. 2), la réflexion tend à être décrite en termes de « rayons » plutôt que d'ondes ; dans un milieu dont les propriétés sont indépendantes de la direction, comme l'air, l'eau ou le verre , les « rayons » sont perpendiculaires aux fronts d'onde associés .

Fig. 2 :  Réflexion interne totale répétée d'un faisceau laser de 405 nm entre les surfaces avant et arrière d'une vitre. La couleur de la lumière laser elle-même est violet foncé ; mais sa longueur d'onde est suffisamment courte pour provoquer une fluorescence dans le verre, qui re-rayonne une lumière verdâtre dans toutes les directions, rendant le faisceau en zigzag visible.

La réfraction s'accompagne généralement d' une réflexion partielle . Lorsque les ondes sont réfractées d'un milieu de vitesse de propagation inférieure (indice de réfraction plus élevé) à un milieu de vitesse plus élevée, par exemple de l'eau à l'air, l' angle de réfraction (entre le rayon sortant et la normale à la surface ) est supérieur à l' angle de incidence (entre le rayon entrant et la normale). Lorsque l'angle d'incidence s'approche d'un certain seuil, appelé angle critique , l'angle de réfraction s'approche de 90°, auquel le rayon réfracté devient parallèle à la surface limite. Au fur et à mesure que l'angle d'incidence augmente au-delà de l'angle critique, les conditions de réfraction ne peuvent plus être satisfaites, il n'y a donc plus de rayon réfracté, et la réflexion partielle devient totale. Pour la lumière visible , l'angle critique est d'environ 49° pour l'incidence de l'eau à l'air, et d'environ 42° pour l'incidence du verre ordinaire à l'air.

Les détails du mécanisme du TIR donnent lieu à des phénomènes plus subtils. Alors que la réflexion totale, par définition, n'implique aucun flux continu de puissance à travers l'interface entre les deux supports, le support externe transporte une onde dite évanescente , qui se déplace le long de l'interface avec une amplitude qui diminue de manière exponentielle avec la distance de l'interface. La réflexion « totale » est en effet totale si le milieu extérieur est sans perte (parfaitement transparent), continue, et d'étendue infinie, mais peut être notablement inférieure à totale si l'onde évanescente est absorbée par un milieu extérieur à pertes (« réflectance totale atténuée » ), ou détournés par la limite extérieure du support externe ou par des objets incrustés dans ce support (TIR « frustré »). Contrairement à la réflexion partielle entre milieux transparents, la réflexion interne totale s'accompagne d'un déphasage non négligeable (pas seulement zéro ou 180°) pour chaque composante de polarisation (perpendiculaire ou parallèle au plan d'incidence ), et les déphasages varient avec l'angle d'incidence. L'explication de cet effet par Augustin-Jean Fresnel , en 1823, s'ajoute aux preuves en faveur de la théorie ondulatoire de la lumière .

Les déphasages sont utilisés par l'invention de Fresnel, le losange de Fresnel , pour modifier la polarisation. L'efficacité de la réflexion interne totale est exploitée par des fibres optiques (utilisées dans les câbles de télécommunications et dans les fibroscopes formateurs d'images ), et par des prismes réfléchissants , tels que les prismes de Porro /en toit à érection d'images pour monoculaires et jumelles .

Description optique

Fig. 3 :  Réflexion interne totale de la lumière dans un bloc acrylique semi-circulaire.

Bien que la réflexion interne totale puisse se produire avec tout type d'onde dont on peut dire qu'elle a une incidence oblique, y compris (par exemple) les micro - ondes et les ondes sonores , elle est plus familière dans le cas des ondes lumineuses .

La réflexion interne totale de la lumière peut être démontrée à l'aide d'un bloc semi-circulaire-cylindrique de verre ordinaire ou de verre acrylique . Sur la figure 3, une "boîte à rayons" projette un faisceau lumineux étroit (un " rayon ") radialement vers l'intérieur. La section transversale semi-circulaire du verre permet au rayon entrant de rester perpendiculaire à la partie incurvée de la surface air/verre, et de continuer ainsi en ligne droite vers la partie plate de la surface, bien que son angle avec la partie plate varie .

Là où le rayon rencontre l'interface verre-air plat, l'angle entre le rayon et la normale (perpendiculaire) à l'interface est appelé angle d'incidence . Si cet angle est suffisamment petit, le rayon est partiellement réfléchi mais principalement transmis, et la partie transmise est réfractée loin de la normale, de sorte que l' angle de réfraction (entre le rayon réfracté et la normale à l'interface) est supérieur à l'angle d'incidence. Pour l'instant, appelons l'angle d'incidence θ i et l'angle de réfraction θ t (où t est pour transmis , en réservant r pour réfléchi ). Comme thetav i augmente et approche d' une certaine « angle critique », notée θ c (ou parfois θ cr ), l'angle d'approche de réfraction à 90 ° (qui est, l'approche de rayon réfracté une tangente à l'interface), et le rayon réfracté devient plus faible tandis que le rayon réfléchi devient plus brillant. Au fur et à mesure que θ i augmente au-delà de θ c , le rayon réfracté disparaît et seul le rayon réfléchi reste, de sorte que toute l'énergie du rayon incident est réfléchie ; il s'agit de la réflexion interne totale (TIR). En bref:

  • Si θ i < θ c , le rayon incident est divisé, étant partiellement réfléchie et partiellement réfracté; ????
  • Si θ i > θ c , le rayon incident subit une réflexion interne totale (TIR) ​​; rien de tout cela n'est transmis. ????

Angle critique

L'angle critique est le plus petit angle d'incidence qui donne une réflexion totale, ou de manière équivalente le plus grand angle pour lequel un rayon réfracté existe. Pour incidente des ondes lumineuses à partir d' un milieu « interne » avec un seul indice de réfraction n 1 , ??à un milieu « externe » avec un seul indice de réfraction n 2 , ??l'angle critique est donnée par , et est défini si n 2n 1 . Pour certains autres types d'ondes, il est plus commode de penser en termes de vitesses de propagation plutôt qu'en indices de réfraction. L'explication de l'angle critique en termes de vitesses est plus générale et sera donc discutée en premier. ?? ??

Fig. 4 :  Réfraction d'un front d'onde (rouge) du milieu 1, avec une vitesse normale inférieure v 1 , au milieu 2, avec une vitesse normale supérieure v 2 . Les segments incident et réfracté du front d'onde se rencontrent en une ligne commune L (vue "en bout"), qui se déplace le long de l'interface à la vitesse u .

Lorsqu'un front d'onde est réfracté d'un milieu à un autre, les parties incidente (entrante) et réfractée (sortante) du front d'onde se rencontrent sur une ligne commune sur la surface de réfraction (interface). Que cette ligne, notée L , se déplace à la vitesse u sur la surface, où u est mesuré perpendiculairement à  L?? (Fig. 4). Laissez l'incident et réfractés fronts d' onde se propagent avec des vitesses normales et (respectivement), et les laisser faire le dièdre angles θ 1 et θ 2 (respectivement) avec l'interface. D'après la géométrie, est la composante de u dans la direction normale à l'onde incidente, de sorte que . De même, . En résolvant chaque équation pour 1/ u et en égalant les résultats, on obtient la loi générale de réfraction pour les ondes : ?? ?? ??

.

 

 

 

 

( 1 )

Mais l'angle dièdre entre deux plans est aussi l'angle entre leurs normales. Donc θ 1 est l'angle entre la normale au front d'onde incident et la normale à l'interface, tandis que θ 2 est l'angle entre la normale au front d'onde réfracté et la normale à l'interface ; et Éq. ( 1 ) nous dit que les sinus de ces angles sont dans le même rapport que les vitesses respectives.

Ce résultat a la forme de « loi de Snell », sauf que nous n'avons pas encore dit que le rapport des vitesses est constant, ni identifié θ 1 et θ 2 avec les angles d'incidence et de réfraction (appelés θ i et θ t ci-dessus). Cependant, si nous supposons maintenant que les propriétés des milieux sont isotropes (indépendantes de la direction), deux autres conclusions s'ensuivent : premièrement, les deux vitesses, et donc leur rapport, sont indépendantes de leurs directions ; et , deuxièmement, les directions d'onde normale coïncident avec les rayons directions, de telle sorte que θ 1 et θ 2 sont confondus avec les angles d'incidence et de réfraction tel que défini ci - dessus.

Fig. 5 :  Comportement d'un rayon incident d'un milieu d'indice de réfraction supérieur n 1 vers un milieu d'indice de réfraction inférieur n 2  , à des angles d'incidence croissants.
Fig. 6 :  L'angle de réfraction pour l'incidence rasante de l'air à l'eau est l'angle critique pour l'incidence de l'eau à l'air.

Bien entendu, l'angle de réfraction ne peut pas dépasser 90°. Dans le cas limite, on pose θ 2 = 90° et θ 1 = θ c dans l'Eq. ( 1 ), et résolvez pour l'angle critique : ?? ?? ??

.

 

 

 

 

( 2 )

En déduire ce résultat, nous retenons l'hypothèse des médias isotropes afin d'identifier θ 1 et thetav 2 avec les angles d'incidence et de réfraction.

Pour les ondes électromagnétiques , et notamment pour la lumière, il est d'usage d'exprimer les résultats ci-dessus en termes d' indices de réfraction . L'indice de réfraction d'un milieu à vitesse normale est défini comme , où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Par conséquent . De même, . Faire ces substitutions dans les équations. ( 1 ) et ( 2 ), on obtient ?? ?? ??

 

 

 

 

( 3 )

et

.

 

 

 

 

( 4 )

Éq. ( 3 ) est la loi de réfraction pour les milieux généraux, en termes d'indices de réfraction, à condition que θ 1 et θ 2 soient pris comme angles dièdres ; mais si les milieux sont isotropes , alors n 1 et n 2 deviennent indépendants de la direction tandis que θ 1 et θ 2 peuvent être pris comme angles d'incidence et de réfraction des rayons, et l'Eq. ( 4 ) suit. Ainsi, pour les milieux isotropes, les Eqs. ( 3 ) et ( 4 ) décrivent ensemble le comportement de la figure 5.

Selon l'éq. ( 4 ), pour l'incidence de l'eau ( n 1 ≈ 1,333 ) ??à l'air ( n 2 ≈ 1 ), ??nous avons θ c ≈ 48,6° , alors que pour l'incidence du verre ordinaire ou de l'acrylique ( n 1 ≈ 1,50 ) à l'air ( n 2 ≈ 1 ), on a θ c ≈ 41,8° . ?? ????????

La fonction arcsin cédant θ c est défini que si n 2n 1 . Par conséquent, pour les milieux isotropes, la réflexion interne totale ne peut pas se produire si le deuxième milieu a un indice de réfraction plus élevé (vitesse normale inférieure) que le premier. Par exemple, il ne peut pas y avoir de TIR pour l'incidence de l'air à l'eau; plutôt, l'angle critique pour l'incidence de l'eau à l'air est l'angle de réfraction à l'incidence rasante de l'air à l'eau (Fig. 6). ?? ??

Le milieu avec l'indice de réfraction le plus élevé est communément décrit comme optiquement plus dense , et celui avec l'indice de réfraction le plus bas comme optiquement plus rare . Par conséquent, il est dit que la réflexion interne totale est possible pour une incidence « dense à rare », mais pas pour une incidence « rare à dense ».


Exemples quotidiens

Vue sous-marine d'un nageur sous-marin lançant au bout d'une piscine.
Fig. 7 :  Réflexion interne totale par la surface de l'eau à la partie peu profonde d'une piscine. La large apparition en forme de bulle entre le nageur et son reflet n'est qu'une perturbation de la surface réfléchissante. Une partie de l'espace au-dessus du niveau de l'eau peut être vue à travers la "fenêtre de Snell" en haut du cadre.

Lorsqu'on se tient à côté d'un aquarium avec les yeux sous le niveau de l'eau, on est susceptible de voir des poissons ou des objets immergés se refléter dans la surface eau-air (Fig. 1). La luminosité de l'image réfléchie - tout aussi brillante que la vue "directe" - peut être surprenante.

Un effet similaire peut être observé en ouvrant les yeux en nageant juste sous la surface de l'eau. Si l'eau est calme, la surface en dehors de l'angle critique (mesurée à partir de la verticale) apparaît comme un miroir, reflétant les objets en dessous. La région au-dessus de l'eau ne peut être vue qu'au-dessus de la tête, où le champ de vision hémisphérique est comprimé en un champ conique connu sous le nom de fenêtre de Snell , dont le diamètre angulaire est le double de l'angle critique (cf. Fig. 6). Le champ de vision au-dessus de l'eau est théoriquement de 180° de diamètre, mais semble moindre car à mesure que l'on se rapproche de l'horizon, la dimension verticale est plus fortement comprimée par la réfraction ; par exemple, par Eq. ( 3 ), pour les angles d'incidence air-eau de 90°, 80° et 70°, les angles de réfraction correspondants sont de 48,6° ( θ cr sur la Fig. 6), 47,6° et 44,8°, ce qui indique que le l'image d'un point à 20° au-dessus de l'horizon est à 3,8° du bord de la fenêtre de Snell ??alors que l'image d'un point à 10° au-dessus de l'horizon n'est qu'à 1° du bord.

La figure 7, par exemple, est une photographie prise près du fond de la partie peu profonde d'une piscine. Ce qui ressemble à une large bande horizontale sur le mur de droite se ??compose des bords inférieurs d'une rangée de carreaux orange et de leurs reflets ; cela marque le niveau d'eau, qui peut ensuite être tracé à travers l'autre mur. Le nageur a perturbé la surface au-dessus d'elle, brouillant la moitié inférieure de son reflet et déformant le reflet de l'échelle (à droite). Mais la majeure partie de la surface est encore calme, donnant un reflet clair du fond carrelé de la piscine. L'espace au-dessus de l'eau n'est pas visible, sauf en haut du cadre, où les poignées de l'échelle sont à peine discernables au-dessus du bord de la fenêtre de Snell - à l'intérieur de laquelle le reflet du fond de la piscine n'est que partiel, mais toujours perceptible dans le photographe. On peut même discerner les franges colorées du bord de la fenêtre de Snell, dues à la variation de l'indice de réfraction, donc de l'angle critique, avec la longueur d'onde (voir Dispersion ).

Fig. 8 :  Un diamant rond taille "brillant" .

L'angle critique influence les angles auxquels les pierres précieuses sont taillées. La taille ronde " brillant ", par exemple, est conçue pour réfracter la lumière incidente sur les facettes avant, la réfléchir deux fois par TIR sur les facettes arrière et la retransmettre à travers les facettes avant, de sorte que la pierre soit brillante. Le diamant (Fig. 8) est particulièrement adapté à ce traitement, car son indice de réfraction élevé (environ 2,42) et par conséquent son petit angle critique (environ 24,5°) permettent d'obtenir le comportement souhaité sur une large plage d'angles de vision. Les matériaux moins chers qui se prêtent de la même manière à ce traitement comprennent la zircone cubique (indice ≈ 2,15) et la moissanite (non isotrope, donc doublement réfractive , avec un indice allant d'environ 2,65 à 2,69, selon la direction et la polarisation ) ; ces deux sont donc populaires comme simulants de diamant .

Phénomènes connexes

Onde évanescente (explication qualitative)

Mathématiquement, les ondes sont décrites en termes de champs variant dans le temps , un "champ" étant fonction de l'emplacement dans l'espace. Une onde qui se propage nécessite un champ "effort" et un champ "flux", ce dernier étant un vecteur (si l'on travaille en deux ou trois dimensions). Le produit de l'effort et du débit est lié à la puissance (voir Équivalence du système ). Par exemple, pour les ondes sonores dans un fluide non visqueux , nous pourrions prendre le champ d'effort comme pression (un scalaire) et le champ d'écoulement comme vitesse du fluide (un vecteur). Le produit de ces deux est l' intensité (puissance par unité de surface). Pour les ondes électromagnétiques, nous prendrons le champ d'effort comme champ électrique E  , et le champ d'écoulement comme champ magnétisant H . Ces deux éléments sont des vecteurs et leur produit vectoriel est à nouveau l'intensité (voir vecteur Poynting ).

Lorsqu'une onde dans (disons) le milieu 1 est réfléchie sur l'interface entre le milieu 1 et le milieu 2, le champ d'écoulement dans le milieu 1 est la somme vectorielle des champs d'écoulement dus aux ondes incidentes et réfléchies. Si la réflexion est oblique, les champs incident et réfléchi ne sont pas de sens opposés et ne peuvent donc pas s'annuler à l'interface ; même si la réflexion est totale, soit la composante normale soit la composante tangentielle du champ combiné (en fonction de l'emplacement et du temps) doit être non nulle au voisinage de l'interface. De plus, les lois physiques régissant les champs impliqueront généralement que l'une des deux composantes est continue à travers l'interface (c'est-à-dire qu'elle ne change pas soudainement lorsque nous traversons l'interface) ; par exemple, pour les ondes électromagnétiques, une des conditions d'interface est que la composante tangentielle de H soit continue s'il n'y a pas de courant de surface. Ainsi, même si la réflexion est totale, il doit y avoir une certaine pénétration du champ d'écoulement dans le milieu 2 ; et ceci, en combinaison avec les lois concernant les champs d'effort et d'écoulement, implique qu'il y aura aussi une certaine pénétration du champ d'effort. La même condition de continuité implique que la variation (« ondulation ») du champ dans le milieu 2 sera synchronisée avec celle des ondes incidentes et réfléchies dans le milieu 1.

Fig. 9 :  Représentation d'une onde plane sinusoïdale incidente (en bas) et de l'onde évanescente associée (en haut), dans des conditions de réflexion interne totale. L'onde réfléchie n'est pas représentée.

Mais, si la réflexion est totale, la pénétration spatiale des champs dans le milieu 2 doit être limitée d'une manière ou d'une autre, sinon l'étendue totale et donc l'énergie totale de ces champs continueraient d'augmenter, drainant la puissance du milieu 1. Réflexion totale d'un le train d'ondes continu permet de stocker de l'énergie dans le milieu 2, mais ne permet pas un transfert continu de puissance du milieu 1 au milieu 2.

Ainsi, en utilisant principalement un raisonnement qualitatif, nous pouvons conclure que la réflexion interne totale doit être accompagnée d'un champ ondulatoire dans le milieu "externe", se déplaçant le long de l'interface en synchronisme avec les ondes incidentes et réfléchies, mais avec une sorte de pénétration spatiale limitée dans le support "externe" ; un tel champ peut être appelé une onde évanescente .

La figure 9 montre l'idée de base. L'onde incidente est supposée plane et sinusoïdale . L'onde réfléchie, pour simplifier, n'est pas représentée. L'onde évanescente se déplace vers la droite en synchronisation avec les ondes incidentes et réfléchies, mais son amplitude diminue avec l'augmentation de la distance de l'interface.

(Deux caractéristiques de l'onde évanescente de la figure 9 doivent être expliquées plus tard : premièrement, que les crêtes de l'onde évanescente sont perpendiculaires à l'interface ; et deuxièmement, que l'onde évanescente est légèrement en avance sur l'onde incidente.)


FTIR (Réflexion interne totale frustrée)

Pour que la réflexion interne soit totale, il ne doit y avoir aucun détournement de l'onde évanescente. Supposons, par exemple, que les ondes électromagnétiques incidentes du verre (avec un indice de réfraction plus élevé) à l'air (avec un indice de réfraction plus faible) à un certain angle d'incidence soient soumises au TIR. Et supposons que nous ayons un troisième milieu (souvent identique au premier) dont l'indice de réfraction est suffisamment élevé pour que, si le troisième milieu remplaçait le second, nous obtiendrions un train d'ondes transmis standard pour le même angle d'incidence. Ensuite, si le troisième milieu est amené à une distance de quelques longueurs d'onde de la surface du premier milieu, où l'onde évanescente a une amplitude significative dans le deuxième milieu, alors l'onde évanescente est effectivement réfractée dans le troisième milieu, donnant non- transmission nulle dans le troisième milieu, et donc moins que la réflexion totale en retour dans le premier milieu. Au fur et à mesure que l'amplitude de l'onde évanescente décroît à travers l'entrefer, les ondes transmises sont atténuées , de sorte qu'il y a moins de transmission, et donc plus de réflexion, qu'il n'y en aurait sans espace ; mais aussi longtemps que il y a une certaine transmission, la réflexion est inférieure au total. Ce phénomène est appelé réflexion interne totale frustrée (où « frustré » nie « total »), en abrégé « TIR frustré » ou « FTIR ».

Une main tenant un verre d'eau avec des empreintes digitales visibles de l'intérieur.
Fig. 10 :  Empreintes digitales désincarnées visibles depuis l'intérieur d'un verre d'eau, dues à une réflexion interne totale frustrée. Les empreintes digitales observées sont entourées de zones blanches où se produit une réflexion interne totale.

Le TIR frustré peut être observé en regardant dans le haut d'un verre d'eau tenu dans la main (Fig. 10). Si le verre est tenu de manière lâche, le contact peut ne pas être suffisamment étroit et étendu pour produire un effet notable. Mais si elle est tenue plus fermement, les crêtes de ses empreintes digitales interagissent fortement avec les ondes évanescentes, permettant aux crêtes d'être vues à travers la surface verre-air autrement totalement réfléchissante.

Le même effet peut être démontré avec les micro-ondes, en utilisant la cire de paraffine comme milieu « interne » (où existent les ondes incidentes et réfléchies). Dans ce cas, la largeur de fente autorisée peut être (par exemple) de 1 cm ou de plusieurs cm, ce qui est facilement observable et réglable.

Le terme TIR frustré s'applique également au cas où l'onde évanescente est diffusée par un objet suffisamment proche de l'interface réfléchissante. Cet effet, ainsi que la forte dépendance de la quantité de lumière diffusée sur la distance de l'interface, est exploité en microscopie à réflexion interne totale .

Le mécanisme du FTIR est appelé couplage à ondes évanescentes et est quelque peu analogue à l'effet tunnel quantique . En raison de la nature ondulatoire de la matière, un électron a une probabilité non nulle de « passer en tunnel » à travers une barrière, même si la mécanique classique dirait que son énergie est insuffisante. De même, en raison de la nature ondulatoire de la lumière, un photon a une probabilité non nulle de traverser un espace, même si l'optique des rayons dirait que son approche est trop oblique.

Une autre raison pour laquelle la réflexion interne peut être moins que totale, même au-delà de l'angle critique, est que le milieu externe peut être "avec perte" (moins que parfaitement transparent), auquel cas le milieu externe absorbera l'énergie de l'onde évanescente, de sorte que le maintien de l'onde évanescente tirera de l'énergie de l'onde incidente. La réflexion moins que totale qui en résulte est appelée réflectance totale atténuée (ATR). Cet effet, et en particulier la dépendance en fréquence de l'absorption, peut être utilisé pour étudier la composition d'un milieu extérieur inconnu.

Dérivation de l'onde évanescente

Dans une onde électromagnétique sinusoïdale plane uniforme, le champ électrique  E a la forme

 

 

 

 

( 5 )

E k est la (constante) complexe vecteur d'amplitude,  i est l' unité imaginairek est le vecteur d'onde (dont la grandeur k est l'angle nombre d' onde ),  r est le vecteur positionω est la fréquence angulairet est le temps, et il est entendu que la partie réelle de l'expression est le champ physique. Le champ magnétisant  H a la même forme avec le même k et ω . La valeur de l'expression est inchangée si la position r varie dans une direction normale à k ; donc k est normal aux fronts d'onde .

Si est la composante de r dans la direction de k?? ,?? le champ ( 5 ) peut être écrit . Si l' argument de doit être constant,   doit augmenter à la vitesse dite vitesse de phase . Ceci à son tour est égal à où c est la vitesse de phase dans le milieu de référence (pris comme un vide) et n est l'indice de réfraction local par rapport au milieu de référence. La résolution de k donne c'est-à-dire ?? ??

 

 

 

 

( 6 )

où est le nombre d'onde dans le vide.

D'après ( 5 ), le champ électrique dans le milieu "externe" a la forme

 

 

 

 

( 7 )

k t est le vecteur d'onde de l'onde transmise (on suppose un milieu isotrope, mais l'onde transmise n'est pas encore supposée évanescente).

La figure 11. :  Incident, réfléchi, et les vecteurs d'onde transmis ( k i?? , k r?? , et k t ), pour l' incidence d'un milieu d'indice de réfraction supérieur à n 1 dans un milieu d'indice de réfraction inférieur à n 2 . Les flèches rouges sont perpendiculaires aux vecteurs d'onde et donc parallèles aux fronts d'onde respectifs.

En coordonnées cartésiennes ( x ,  y , z )?? , soit la région y < 0 d' indice de réfraction n 1 , et la région y > 0 d' indice de réfraction n 2 . Alors le plan xz est l'interface, et l' axe y est normal à l'interface (Fig. 11). Soit i et j (en caractères romains gras ) les vecteurs unitaires dans les directions x et y , respectivement. Soit le plan d'incidence (contenant la normale à l'onde incidente et la normale à l'interface) le plan xy (le plan de la page), avec l'angle d'incidence θ i mesuré de j vers i . Soit l'angle de réfraction, mesuré dans le même sens, soit θ t ( t pour transmettre , en réservant r pour réfléchie ). ?? ???????? ??

A partir de ( 6 ), le vecteur d'onde émis k t a une grandeur n 2 k 0 . Ainsi, d'après la géométrie,

où la dernière étape utilise la loi de Snell. En prenant le produit scalaire avec le vecteur de position, on obtient

de sorte que l'Éq. ( 7 ) devient

 

 

 

 

( 8 )

Dans le cas du TIR, l'angle θ t n'existe pas au sens habituel. Mais on peut encore interpréter ( 8 ) pour l'onde transmise (évanescente), en admettant que cos θ t soit complexe . Cela devient nécessaire lorsque nous écrivons cos θ t en termes de péché θ t ,???? et de là en termes de péché thetav i en utilisant la loi de Snell:

.

Pour θ i supérieur à l'angle critique, la valeur sous le symbole racine carrée est négative, de sorte que

.

 

 

 

 

( 9 )

Pour déterminer quel signe est applicable, on substitue ( 9 ) en ( 8 ), obtenant

 

 

 

 

( 10 )

où le signe indéterminé est l'opposé de celui en ( 9 ). Pour une onde transmise évanescente , c'est-à-dire dont l'amplitude décroît à mesure que y augmente, le signe indéterminé en ( 10 ) doit être moins , donc le signe indéterminé en ( 9 ) doit être plus .

Avec le bon signe, le résultat ( 10 ) peut être abrégé

 

 

 

 

( 11 )

 

 

 

 

( 12 )

et k 0 est le nombre d'onde dans le vide, c'est-à-dire  .

L'onde évanescente est donc une onde sinusoïdale plane se déplaçant dans la direction x , avec une amplitude qui décroît exponentiellement dans la direction y (cf. Fig. 9). Il est évident que l'énergie stockée dans cette onde se déplace également dans la direction x et ne traverse pas l'interface. Par conséquent, le vecteur de Poynting a généralement une composante dans la direction x , mais sa composante y est en moyenne nulle (bien que sa composante y instantanée ne soit pas identique à zéro).

Fig. 12 :  Profondeur de pénétration de l'onde évanescente (en longueurs d'onde) en fonction de l'angle d'incidence, pour différentes valeurs de l'indice de réfraction relatif (interne par rapport à l'externe)

Éq. ( 11 ) indique que l'amplitude de l'onde évanescente diminue d'un facteur e lorsque la coordonnée y (mesurée à partir de l'interface) augmente de la distance communément appelée « profondeur de pénétration » de l'onde évanescente. En prenant l'inverse de la première équation de ( 12 ), on trouve que la profondeur de pénétration est ??

λ 0 est la longueur d' onde dans le vide, à savoir  . Diviser le numérateur et le dénominateur par n 2 donne

où est la longueur d'onde dans le deuxième milieu (externe). On peut donc tracer d en unités de λ 2  , en fonction de l'angle d'incidence, pour différentes valeurs de (Fig. 12). Au fur et à mesure que  θ i diminue vers l'angle critique, le dénominateur tend vers zéro, de sorte que d augmente sans limite — comme il fallait s'y attendre, car dès que θ i est inférieur à l'angle critique, des ondes planes uniformes sont autorisées dans le milieu extérieur. Lorsque θ i tend vers 90° (incidence rasante), d tend vers un minimum

Pour l'incidence de l'eau à l'air, ou du verre commun à l'air, d min n'est pas très différent de λ 2/2 π. Mais d est plus grand à des angles d'incidence plus petits (Fig. 12), et l'amplitude peut encore être significative à des distances de plusieurs fois d ; par exemple, parce que e -4,6 est juste supérieur à 0,01, l'amplitude de l'onde évanescente à une distance de 4,6 d??   de l'interface est d'au moins 1 % de sa valeur à l'interface. Par conséquent, en termes vagues, nous avons tendance à dire que l'amplitude de l'onde évanescente est significative à "quelques longueurs d'onde" de l'interface.


Déphasages

Entre 1817 et 1823, Augustin-Jean Fresnel a découvert que la réflexion interne totale est accompagné d'un non trivial phase de décalage (qui est un décalage de phase qui ne se limite pas à 0 ° ou 180 °), selon le coefficient de réflexion de Fresnel acquiert un non -zéro partie imaginaire . Nous allons maintenant expliquer cet effet pour les ondes électromagnétiques dans le cas de milieux linéaires , homogènes , isotropes, non magnétiques. Le déphasage s'avère être une avance , qui croît au fur et à mesure que l'angle d'incidence augmente au-delà de l'angle critique, mais qui dépend de la polarisation de l'onde incidente.

Dans les équations ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) et ( 11 ), on avance la phase de l'angle ϕ si on remplace ωt par ωt+ϕ (c'est-à-dire si on remplace −ωt par − ωt−ϕ ), avec pour résultat que le champ (complexe) est multiplié par e −iϕ . Ainsi, une avance de phase équivaut à une multiplication par une constante complexe avec un argument négatif . Cela devient plus évident lorsque (par exemple) le champ ( 5 ) est factorisé comme où le dernier facteur contient la dépendance temporelle.

Pour représenter la polarisation de l'onde incidente, réfléchie ou transmise, le champ électrique adjacent à une interface peut être résolu en deux composantes perpendiculaires, appelées composantes s  et  p , qui sont respectivement parallèles à la surface et au plan d'incidence. ; en d'autres termes, les composantes s  et  p sont respectivement carrées et parallèles au plan d'incidence.

Pour chaque composante de polarisation, le champ électrique incident, réfléchi ou transmis ( E dans l'équation ( 5 ) ) a une certaine direction, et peut être représenté par sa composante scalaire (complexe) dans cette direction. Le coefficient de réflexion ou de transmission peut alors être défini comme un rapport de composants complexes au même point, ou à des points infiniment séparés sur les côtés opposés de l'interface. Mais, pour fixer les signes des coefficients, il faut choisir des sens positifs pour les « directions ». Pour les composantes s , le choix évident est de dire que les directions positives des champs incident, réfléchi et transmis sont toutes les mêmes (par exemple, la direction z sur la figure 11). Pour les p composantes, cet article adopte la convention que les directions positives des champs incident, réfléchi et transmis sont inclinées vers le même milieu (c'est-à-dire vers le même côté de l'interface, par exemple comme les flèches rouges de la Fig. 11 ). Mais le lecteur doit être averti que certains livres utilisent une convention différente pour les composants p , provoquant un signe différent dans la formule résultante pour le coefficient de réflexion.

Pour la polarisation s , soit les coefficients de réflexion et de transmission respectivement r s et t s . Pour la polarisation p , soit les coefficients correspondants r p et t p . Alors, pour les milieux linéaires , homogènes , isotropes, non magnétiques , les coefficients sont donnés par :

 

 

 

 

( 13 )

 

 

 

 

( 14 )

 

 

 

 

( 15 )

.

 

 

 

 

( 16 )

(Pour une dérivation de ce qui précède, voir  les équations de Fresnel § Théorie .)

On suppose maintenant que l'onde transmise est évanescente. Avec le bon signe (+), substituer ( 9 ) dans ( 13 ) donne

c'est-à-dire que n est l'indice du milieu "interne" par rapport à celui "externe", ou l'indice du milieu interne si le milieu externe est un vide. Donc la magnitude de r s est 1, et l' argument de r s est

ce qui donne une avance de phase de??

.

 

 

 

 

( 17 )

En faisant la même substitution dans ( 14 ), nous trouvons que t s a le même dénominateur que r s avec un numérateur réel positif (au lieu d'un numérateur conjugué complexe) et a donc la moitié de l'argument de r s?? , de?? sorte que l'avance de phase de l'onde évanescente est la moitié de l'onde réfléchie .

Avec le même choix de signe, substituer ( 9 ) dans ( 15 ) donne

dont la grandeur est 1, et dont l' argument est

ce qui donne une avance de phase de??

.

 

 

 

 

( 18 )

En faisant la même substitution en ( 16 ), on constate à nouveau que l'avance de phase de l'onde évanescente est la moitié de celle de l'onde réfléchie.

Les équations ( 17 ) et ( 18 ) sont applicables lorsque θ cθ i <90 °,θ i est l'angle d'incidence et θ c est l'angle critique arcsin (1 / n ) . Ces équations montrent que ?? ??

  • chaque avance de phase est nulle à l'angle critique (dont le numérateur est nul) ;
  • chaque avance de phase approche 180° lorsque θ i → 90° ; et??
  • δ p > δ s?? àvaleurs intermédiaires de θ i ( parce que le facteur n est au numérateur de ( 18 ) et le dénominateur ( 17 ) ) .

Pour θ iθ c?? ,?? les coefficients de réflexion sont donnés par les équations ( 13 ) et ( 15 ), et sont réels , de sorte que le déphasage est soit de 0° (si le coefficient est positif) soit de 180° (si le coefficient est négatif).

Dans ( 13 ), si nous mettons (loi de Snell) et multiplions le numérateur et le dénominateur par?? ?? 1/n 1le péché de t?? , ??nous obtenons 

 

 

 

 

( 19 )

qui est positif pour tous les angles d'incidence avec un rayon transmis (puisque θ t > θ i ), donnant un déphasage δ s nul. ??

Si nous faisons de même avec ( 15 ), le résultat est facilement équivalent à 

 

 

 

 

( 20 )

qui est négatif pour les petits angles (c'est-à-dire une incidence proche de la normale), mais change de signe à l'angle de Brewster , où  θ i et θ t sont complémentaires. Ainsi , le décalage de phase de p est de 180 ° pour les petits θ i mais passe à 0 ° à l'angle de Brewster. La combinaison de la complémentarité avec la loi de Snell donne θ i = arctan (1/ n ) comme angle de Brewster pour une incidence dense à rare. ?? ??

( Les équations ( 19 ) et ( 20 ) sont connues comme la loi des sinus de Fresnel et la loi de la tangente de Fresnel . Les deux se réduisent à 0/0 à incidence normale, mais donnent les résultats corrects dans la limite comme θ i → 0 . Qu'ils ont des signes opposés comme nous approchons de l'incidence normale est un inconvénient évident de la convention de signes utilisée dans cet article ; l'avantage correspondant est qu'ils ont les mêmes signes à l'incidence rasante. )??

Fig. 13 :  Avance de phase aux réflexions "internes" pour des indices de réfraction de 1,55, 1,5 et 1,45 ("interne" par rapport à "externe"). Au-delà de l'angle critique, les  polarisations p  (rouge) et s (bleu) subissent des déphasages inégaux sur la réflexion interne totale ; la différence macroscopiquement observable entre ces décalages est tracée en noir.

Voilà qui complète les informations nécessaires à tracer δ s et δ p pour tous les angles d'incidence. Cela se fait sur la Fig. 13, avec δ p en rouge et δ est dans le bleu, pour les trois indices de réfraction. A l'échelle d' angle d'incidence (axe horizontal), l'angle de Brewster est où δ p (rouge) se situe de 180 ° à 0 °, et l'angle critique est l' endroit où les deux δ p et δ s (rouge et bleu) commencent à augmenter de nouveau. A gauche de l'angle critique se trouve la région de réflexion partielle , où les deux coefficients de réflexion sont réels (phase 0° ou 180°) avec des magnitudes inférieures à 1. A droite de l'angle critique se trouve la région de réflexion totale , où les deux les coefficients de réflexion sont complexes avec des amplitudes égales à 1. Dans cette région, les courbes noires montrent l'avance de phase de la  composante p par rapport à la  composante s :

.

On voit qu'un indice de réfraction de 1,45 n'est pas suffisant pour donner un déphasage de 45°, alors qu'un indice de réfraction de 1,5 suffit (par une marge mince) pour donner un déphasage de 45° à deux angles d'incidence : environ 50,2 ° et 53,3°.

Ce décalage relatif de 45° est utilisé dans l'invention de Fresnel, maintenant connue sous le nom de losange de Fresnel , dans laquelle les angles d'incidence sont choisis de telle sorte que les deux réflexions internes provoquent un déphasage relatif total de 90° entre les deux polarisations d'une onde incidente. Ce dispositif remplit la même fonction qu'une lame quart d'onde biréfringente , mais est plus achromatique (c'est-à-dire que le déphasage du losange est moins sensible à la longueur d' onde ). Soit dispositif peut être utilisé, par exemple, pour transformer une polarisation linéaire à une polarisation circulaire (qui a également découvert Fresnel) et vice versa.

Sur la figure 13,  δ est calculé par une soustraction finale ; mais il y a d'autres manières de l'exprimer. Fresnel lui-même, en 1823, a donné une formule pour  cos δ . Né et Wolf (1970, p. 50) tirent une expression de tan ( δ / 2), et trouver son maximum analytiquement. ??

Pour le TIR d'un faisceau de largeur finie, la variation du déphasage avec l'angle d'incidence donne lieu à l'effet Goos-Hänchen , qui est un décalage latéral du faisceau réfléchi dans le plan d'incidence. Cet effet s'applique à la polarisation linéaire dans la direction s ou p . L'effet Imbert-Fedorov est un effet analogue pour la polarisation circulaire ou elliptique , et produit un décalage perpendiculaire au plan d'incidence.

Applications

Les fibres optiques exploitent la réflexion interne totale pour transporter des signaux sur de longues distances avec peu d'atténuation. Ils sont utilisés dans les câbles de télécommunication et dans les fibroscopes formateurs d'imagestels que les coloscopes .

Dans la lentille de Fresnel catadioptrique , inventée par Augustin-Jean Fresnel pour une utilisation dans les phares , les prismes extérieurs utilisent TIR pour dévier la lumière de la lampe selon un angle plus grand que ce qui serait possible avec des prismes purement réfractifs, mais avec moins d'absorption de la lumière (et moins risque de ternissement) qu'avec les rétroviseurs conventionnels.

Fig. 14 :  Prismes de Porro (marqués 2 & 3) dans une paire de jumelles.

Les autres prismes réfléchissants qui utilisent le TIR sont les suivants (avec un certain chevauchement entre les catégories) :

Prismes polarisants : bien que le losange de Fresnel, qui convertit entre la polarisation linéaire et elliptique, ne soit pas biréfringent (doublement réfractif), il existe d'autres types de prismes qui combinent la biréfringence avec le TIR de telle manière que la lumière d'une polarisation particulière est totalement réfléchie tandis que la lumière de la polarisation orthogonale est au moins partiellement transmise. Les exemples incluent le prisme Nicol , prisme de Glan-Thompson , prisme de Glan-Foucault (ou "prisme Foucault"), et prisme de Glan-Taylor .

Les réfractomètres , qui mesurent les indices de réfraction, utilisent souvent l'angle critique.

Des capteurs de pluie pour les essuie-glaces automatiquesont été mis en œuvre en utilisant le principe selon lequel la réflexion interne totale guidera un faisceau infrarouge d'une source vers un détecteur si la surface extérieure du pare-brise est sèche, mais toute goutte d'eau sur la surface détournera une partie de la lumière.

Les panneaux LED à éclairage périphérique , utilisés (par exemple) pour le rétroéclairage des écrans d' ordinateur LCD , exploitent le TIR pour confiner la lumière LED à la vitre en verre acrylique, sauf qu'une partie de la lumière est dispersée par des gravures sur un côté de la vitre, ce qui donne environ émission lumineuse uniforme .

Fig. 15 :  Fonctionnement d'un microscope à fluorescence TIR « trans-géométrique » : (1) objectif, (2) faisceau d'émission [signal], (3) huile d'immersion, (4) lamelle, (5) spécimen, (6) gamme d'ondes évanescentes, (7) faisceau d'excitation, (8) prisme à quartz.

La microscopie à réflexion interne totale (TIRM) utilise l'onde évanescente pour éclairer de petits objets proches de l'interface réfléchissante. La diffusion conséquente de l'onde évanescente (une forme de TIR frustré), fait apparaître les objets brillants lorsqu'ils sont vus du côté « extérieur ». Dans le microscope à fluorescence à réflexion interne totale (TIRFM), au lieu de s'appuyer sur une simple diffusion, nous choisissons une longueur d'onde évanescente suffisamment courte pour provoquer une fluorescence (Fig. 15). La grande sensibilité de l'éclairage à la distance de l'interface permet de mesurer des déplacements et des forces extrêmement faibles.

Un cube séparateur de faisceau utilise un TIR frustré pour diviser la puissance du faisceau entrant entre les faisceaux transmis et réfléchis. La largeur de l'entrefer (ou entrefer à faible indice de réfraction) entre les deux prismes peut être ajustée, donnant une transmission plus élevée et une réflexion plus faible pour un intervalle plus étroit, ou une réflexion plus élevée et une transmission plus faible pour un intervalle plus large.

La modulation optique peut être réalisée au moyen d'un TIR frustré avec un écart rapidement variable. Comme le coefficient de transmission est très sensible à la largeur de l'entrefer (la fonction étant approximativement exponentielle jusqu'à ce que l'entrefer soit presque fermé), cette technique peut atteindre une large plage dynamique .

Des dispositifs optiques de prise d' empreintes digitales ont utilisé le TIR frustré pour enregistrer des images d'empreintes digitales de personnes sans utiliser d'encre (cf. Fig. 11).

L'analyse de la marche peut être effectuée en utilisant le TIR frustré avec une caméra haute vitesse, pour capturer et analyser les empreintes de pas.

Un gonioscope , utilisé en optométrie et en ophtalmologie pour le diagnostic du glaucome , supprime le TIR pour examiner l' angle entre l' iris et la cornée . Cette vue est généralement bloquée par le TIR à l'interface cornée-air. Le gonioscope remplace l'air par un milieu d'indice plus élevé, permettant une transmission en incidence oblique, typiquement suivie d'une réflexion dans un "miroir", qui lui-même peut être mis en œuvre à l'aide du TIR.

Histoire

Découverte

Les explications étonnamment complètes et largement correctes de l' arc- en- ciel par Théodoric de Freiberg (écrit entre 1304 et 1310) et Kamāl al-Dīn al-Fārisī (complété par 1309), bien que parfois mentionnées à propos de la réflexion interne totale (TIR), sont de pertinence douteuse car la réflexion interne de la lumière solaire dans une goutte de pluie sphérique n'est pas totale. Mais, selon Carl Benjamin Boyer , le traité de Théodoric sur l'arc-en-ciel classait aussi les phénomènes optiques sous cinq causes, dont la dernière était « une réflexion totale à la frontière de deux milieux transparents ». L'œuvre de Théodoric fut oubliée jusqu'à ce qu'elle soit redécouverte par Giovanni Battista Venturi en 1814.

Johannes Kepler (1571-1630).

Théodoric étant tombé dans l'oubli, la découverte du TIR fut généralement attribuée à Johannes Kepler , qui publia ses découvertes dans sa Dioptrice en 1611. Bien que Kepler n'ait pas réussi à trouver la vraie loi de la réfraction, il montra par expérience que pour l'incidence air-verre , les rayons incident et réfracté tournaient dans le même sens autour du point d'incidence, et que comme l'angle d'incidence variait de ±90°, l'angle de réfraction (comme nous l'appelons maintenant) variait de ±42°. Il savait également que les rayons incident et réfracté étaient interchangeables. Mais ces observations ne couvraient pas le cas d'un rayon incident du verre à l'air à un angle supérieur à 42°, et Kepler conclut rapidement qu'un tel rayon ne pouvait être que réfléchi .

René Descartes redécouvre la loi de la réfraction et la publie dans sa Dioptrique de 1637. Dans le même ouvrage, il mentionne les sens de rotation des rayons incidents et réfractés et l'état du TIR. Mais il a négligé de discuter le cas limite, et par conséquent n'a pas donné d'expression pour l'angle critique, bien qu'il aurait pu facilement le faire.

Huygens et Newton : Explications rivales

Christiaan Huygens , dans son Traité de la lumière (1690), a accordé beaucoup d'attention au seuil auquel le rayon incident est "incapable de pénétrer dans l'autre substance transparente". Bien qu'il n'ait donné ni nom ni expression algébrique pour l'angle critique, il a donné des exemples numériques pour l'incidence verre-air et eau-air, a noté le grand changement de l'angle de réfraction pour un petit changement de l'angle de incidence proche de l'angle critique, et a cité cela comme la cause de l'augmentation rapide de la luminosité du rayon réfléchi lorsque le rayon réfracté s'approche de la tangente à l'interface. La perspicacité de Huygens est confirmée par la théorie moderne : dans les équations. ( 13 ) et ( 15 ) ci-dessus, rien n'indique que les coefficients de réflexion augmentent exceptionnellement fortement lorsque θ t approche de 90°, sauf que, selon la loi de Snell, θ t  lui-même est une fonction de plus en plus raide de θ i .

Christiaan Huygens (1629-1695).

Huygens a proposé une explication du TIR dans le même cadre que ses explications des lois de la propagation rectiligne, de la réflexion, de la réfraction ordinaire, et même de l'extraordinaire réfraction du « cristal d'Islande » (calcite). Ce cadre reposait sur deux prémisses : d'abord, chaque point traversé par un front d'onde se propageant devient une source de fronts d'onde secondaires (« principe de Huygens ») ; et deuxièmement, étant donné un front d'onde initial, toute position ultérieure du front d'onde est l' enveloppe (surface tangente commune) de tous les fronts d'onde secondaires émis à partir de la position initiale. Tous les cas de réflexion ou de réfraction par une surface s'expliquent alors simplement en considérant les ondes secondaires émises par cette surface. Dans le cas d'une réfraction d'un milieu de propagation plus lente vers un milieu de propagation plus rapide, il existe une certaine obliquité d'incidence au-delà de laquelle il est impossible que les fronts d'onde secondaires forment une tangente commune dans le second milieu ; c'est ce que nous appelons maintenant l'angle critique. À mesure que le front d'onde incident se rapproche de cette obliquité critique, le front d'onde réfracté se concentre contre la surface de réfraction, augmentant les ondes secondaires qui produisent la réflexion dans le premier milieu.

Le système de Huygens accommodait même une réflexion partielle à l'interface entre différents milieux, quoique vaguement, par analogie avec les lois de collisions entre particules de tailles différentes. Cependant, tant que la théorie des ondes continuait à supposer des ondes longitudinales , elle n'avait aucune chance de s'adapter à la polarisation, donc aucune chance d'expliquer la dépendance à la polarisation de la réfraction extraordinaire, ou du coefficient de réflexion partielle, ou du déphasage dans le TIR.

Isaac Newton (1642/3-1726/7).

Isaac Newton a rejeté l'explication par les vagues de la propagation rectiligne, estimant que si la lumière était constituée d'ondes, elle "se plierait et se répandrait dans tous les sens" dans les ombres. Sa théorie corpusculaire de la lumière expliquait plus simplement la propagation rectiligne et rendait compte des lois ordinaires de la réfraction et de la réflexion, y compris TIR, en supposant que les corpuscules de lumière étaient soumis à une force agissant perpendiculairement à l'interface. Dans ce modèle, pour une incidence dense à rare, la force était une attraction vers le milieu le plus dense, et l'angle critique était l'angle d'incidence auquel la vitesse normale du corpuscule en approche était juste suffisante pour atteindre l'autre côté de le champ de force ; à incidence plus oblique, le corpuscule serait refoulé. Newton a donné ce qui équivaut à une formule pour l'angle critique, bien qu'en mots : « comme sont les sinus qui mesurent la réfraction, ainsi est le sinus d'incidence auquel la réflexion totale commence, au rayon du cercle ».

Newton est allé au-delà de Huygens de deux manières. Tout d'abord, sans surprise, Newton a souligné la relation entre le TIR et la dispersion : lorsqu'un faisceau de lumière blanche s'approche d'une interface verre-air avec une obliquité croissante, les rayons les plus réfractés (violets) sont les premiers " par " Réflexion totale ", suivi des rayons les moins réfractés. Deuxièmement, il a observé que la réflexion totale pouvait être contrecarrée (comme on dit maintenant) en assemblant deux prismes, l'un plan et l'autre légèrement convexe ; et il expliqua cela simplement en notant que les corpuscules seraient attirés non seulement vers le premier prisme, mais aussi vers le second.

De deux autres manières, cependant, le système de Newton était moins cohérent. Premièrement, son explication de la réflexion partielle dépendait non seulement des forces d'attraction supposées entre les corpuscules et les médias, mais aussi de l'hypothèse plus nébuleuse des « Crises de réflexion facile » et des « Crises de transmission facile ». Deuxièmement, bien que ses corpuscules puissent avoir des « côtés » ou des « pôles », dont les orientations pourraient éventuellement déterminer si les corpuscules ont subi une réfraction ordinaire ou extraordinaire dans « Island-Crystal », sa description géométrique de la réfraction extraordinaire était théoriquement non étayée et empiriquement inexacte.

Laplace, Malus et réflectance totale atténuée (ATR)

William Hyde Wollaston , dans le premier d'une paire d'articles lus à la Royal Society de Londres en 1802, a rapporté son invention d'un réfractomètre basé sur l'angle d'incidence critique d'un milieu interne de « puissance de réfraction » connue (indice de réfraction) à un support externe dont l'indice était à mesurer. Avec cet appareil, Wollaston a mesuré les "pouvoirs de réfraction" de nombreux matériaux, dont certains étaient trop opaques pour permettre la mesure directe d'un angle de réfraction. Des traductions de ses articles ont été publiées en France en 1803 et ont apparemment attiré l'attention de Pierre-Simon Laplace .

Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Selon l'élaboration par Laplace de la théorie de la réfraction de Newton, un corpuscule incident sur une interface plane entre deux milieux isotropes homogènes était soumis à un champ de force qui était symétrique par rapport à l'interface. Si les deux milieux étaient transparents, une réflexion totale se produirait si le corpuscule était retourné avant qu'il ne quitte le champ dans le deuxième milieu. Mais si le second milieu était opaque, la réflexion ne serait totale que si le corpuscule était retourné avant de quitter le premier milieu ; cela nécessitait un angle critique plus grand que celui donné par la loi de Snell et, par conséquent, contestait la validité de la méthode de Wollaston pour les médias opaques. Laplace a combiné les deux cas en une seule formule pour l'indice de réfraction relatif en fonction de l'angle critique (angle d'incidence minimum pour le TIR). La formule contenait un paramètre qui prenait une valeur pour un support externe transparent et une autre valeur pour un support externe opaque. La théorie de Laplace a en outre prédit une relation entre l'indice de réfraction et la densité pour une substance donnée.

Étienne-Louis Malus (1775-1812).

En 1807, la théorie de Laplace est testée expérimentalement par son protégé, Étienne-Louis Malus . Prenant la formule de Laplace pour l'indice de réfraction comme donnée, et l'utilisant pour mesurer l'indice de réfraction de la cire d'abeille à l'état liquide (transparent) et à l'état solide (opaque) à différentes températures (donc différentes densités), Malus a vérifié la relation de Laplace entre indice de réfraction et densité.

Mais la théorie de Laplace impliquait que si l'angle d'incidence dépassait son angle critique modifié, la réflexion serait totale même si le milieu extérieur était absorbant. Clairement, c'était faux : dans les Eqs. ( 12 ) ci-dessus, il n'y a pas de valeur seuil de l'angle θ i au-delà duquel κ devient infini ; ainsi la profondeur de pénétration de l'onde évanescente (1/ κ ) est toujours non nulle, et le milieu extérieur, s'il est à pertes, atténuera la réflexion. Quant à savoir pourquoi Malus a apparemment observé un tel angle pour la cire opaque, nous devons en déduire qu'il y avait un certain angle au-delà duquel l'atténuation de la réflexion était si faible que l' ATR était visuellement indiscernable du TIR.

Fresnel et le déphasage

Fresnel est venu à l'étude de la réflexion interne totale à travers ses recherches sur la polarisation. En 1811, François Arago a découvert que la lumière polarisée était apparemment « dépolarisée » d'une manière dépendante de l'orientation et de la couleur lorsqu'elle passait à travers une tranche de cristal à double réfraction : la lumière émergente montrait des couleurs lorsqu'elle était vue à travers un analyseur (deuxième polariseur). La polarisation chromatique , comme ce phénomène a été appelé, a été étudiée plus en profondeur en 1812 par Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot établit qu'un cas étudié par Arago, à savoir le quartz taillé perpendiculairement à son axe optique , était en fait une rotation progressive du plan de polarisation avec la distance.

Augustin-Jean Fresnel (1788-1827).

En 1816, Fresnel a offert sa première tentative de théorie ondulatoire de la polarisation chromatique. Sans (encore) invoquer explicitement les ondes transversales , sa théorie traitait la lumière comme constituée de deux composantes polarisées perpendiculairement. En 1817, il remarqua que la lumière polarisée dans le plan semblait être en partie dépolarisée par réflexion interne totale, si initialement polarisée à un angle aigu par rapport au plan d'incidence. En incluant la réflexion interne totale dans une expérience de polarisation chromatique, il a découvert que la lumière apparemment dépolarisée était un mélange de composantes polarisées parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence, et que la réflexion totale introduisait une différence de phase entre elles. Le choix d'un angle d'incidence approprié (pas encore exactement spécifié) a donné une différence de phase de 1/8 de cycle. Deux de ces réflexions des "faces parallèles" de "deux prismes couplés" ont donné une différence de phase de 1/4 de cycle. Dans ce cas, si la lumière était initialement polarisée à 45° par rapport au plan d'incidence et de réflexion, elle apparaissait complètement dépolarisée après les deux réflexions. Ces découvertes ont été rapportées dans un mémoire soumis et lu à l' Académie française des sciences en novembre 1817.

En 1821, Fresnel a dérivé des formules équivalentes à ses lois sinusoïdales et tangentes ( Eqs. ( 19 ) et ( 20 ), ci-dessus ) en modélisant les ondes lumineuses comme des ondes élastiques transversales avec des vibrations perpendiculaires à ce qu'on appelait auparavant le plan de polarisation . En utilisant d'anciennes données expérimentales, il a rapidement confirmé que les équations prédisaient correctement la direction de polarisation du faisceau réfléchi lorsque le faisceau incident était polarisé à 45° par rapport au plan d'incidence, pour la lumière incidente de l'air sur le verre ou l'eau. La confirmation expérimentale a été rapportée dans un "post-scriptum" au travail dans lequel Fresnel a exposé sa théorie mature de la polarisation chromatique, introduisant des ondes transversales. Les détails de la dérivation ont été donnés plus tard, dans un mémoire lu à l'Académie en janvier 1823. La dérivation combinait la conservation de l'énergie avec la continuité de la vibration tangentielle à l'interface, mais ne permettait aucune condition sur la composante normale de la vibration.

Pendant ce temps, dans un mémoire présenté en Décembre 1822, Fresnel a inventé les termes de polarisation linéaire , polarisation circulaire et la polarisation elliptique . Pour la polarisation circulaire , les deux composantes perpendiculaires étaient déphasées d'un quart de cycle (±90°).

La nouvelle terminologie était utile dans le mémoire de janvier 1823, contenant les dérivations détaillées des lois du sinus et de la tangente : dans ce même mémoire, Fresnel a constaté que pour des angles d'incidence supérieurs à l'angle critique, les coefficients de réflexion résultants étaient complexes avec la magnitude unitaire. . Notant que la magnitude représentait le rapport d'amplitude comme d'habitude, il supposa que l' argument représentait le déphasage et vérifia l'hypothèse par l'expérience. La vérification impliquait

  • calculer l'angle d'incidence qui introduirait une différence de phase totale de 90° entre les composantes s et p , pour différents nombres de réflexions internes totales à cet angle (généralement il y avait deux solutions),
  • soumettre la lumière à ce nombre de réflexions internes totales à cet angle d'incidence, avec une polarisation linéaire initiale à 45° par rapport au plan d'incidence, et
  • vérifier que la polarisation finale était circulaire .

Cette procédure était nécessaire car, avec la technologie de l'époque, on ne pouvait pas mesurer directement les déphasages s  et  p , et on ne pouvait pas mesurer un degré arbitraire d'ellipticité de polarisation, comme cela pourrait être causé par la différence entre la phase décalages. Mais on a pu vérifier que la polarisation était circulaire , car l'éclat de la lumière était alors insensible à l'orientation de l'analyseur.

Pour un verre d'indice de réfraction de 1,51, Fresnel a calculé qu'une différence de phase de 45° entre les deux coefficients de réflexion (donc une différence de 90° après deux réflexions) nécessitait un angle d'incidence de 48°37' ou 54°37'. Il a coupé un losange à ce dernier angle et a constaté qu'il fonctionnait comme prévu. Ainsi la spécification du losange de Fresnel était achevée. De même, Fresnel a calculé et vérifié l'angle d'incidence qui donnerait une différence de phase de 90° après trois réflexions au même angle, et quatre réflexions au même angle. Dans chaque cas, il y avait deux solutions, et dans chaque cas, il rapporta que le plus grand angle d'incidence donnait une polarisation circulaire précise (pour une polarisation linéaire initiale à 45° par rapport au plan de réflexion). Pour le cas de trois réflexions, il a également testé le plus petit angle, mais a constaté qu'il donnait une certaine coloration en raison de la proximité de l'angle critique et de sa légère dépendance à la longueur d'onde. (Comparer les Fig. 13 ci - dessus, ce qui montre que la différence de phase δ est plus sensible à l'indice de réfraction pour les petits angles d'incidence).

Pour plus de confiance, Fresnel a prédit et vérifié que quatre réflexions internes totales à 68°27' donneraient une polarisation circulaire précise si deux des réflexions avaient de l'eau comme milieu externe tandis que les deux autres avaient de l'air, mais pas si les surfaces réfléchissantes étaient toutes humide ou tout sec.

On pense que la déduction de Fresnel du déphasage dans TIR a été la première fois où une signification physique a été attachée à l' argument d'un nombre complexe. Bien que ce raisonnement ait été appliqué sans l'avantage de savoir que les ondes lumineuses étaient électromagnétiques, il a réussi le test de l'expérience et a survécu remarquablement intact après que James Clerk Maxwell a changé la nature présumée des ondes. Pendant ce temps, le succès de Fresnel a inspiré James MacCullagh et Augustin-Louis Cauchy , à partir de 1836, pour analyser la réflexion des métaux en utilisant les équations de Fresnel avec un indice de réfraction complexe . La partie imaginaire de l'indice complexe représente l'absorption.

Le terme angle critique , utilisé par commodité dans le récit ci-dessus, est anachronique : il date apparemment de 1873.

Au 20e siècle, l'électrodynamique quantique a réinterprété l'amplitude d'une onde électromagnétique en termes de probabilité de trouver un photon. Dans ce cadre, la transmission partielle et le TIR frustré concernent la probabilité qu'un photon traverse une frontière, et la réflectance totale atténuée concerne la probabilité qu'un photon soit absorbé de l'autre côté.

Les recherches sur les aspects les plus subtils du déphasage dans le TIR, y compris les effets Goos-Hänchen et Imbert-Fedorov et leurs interprétations quantiques, se sont poursuivies jusqu'au 21e siècle.

Galerie

Voir également

Remarques

Les références

Bibliographie

  • S. Bochner (juin 1963), « L'importance de certaines conceptions mathématiques de base pour la physique », Isis , 54 (2) : 179-205 ; JSTOR  228537 .
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Liens externes

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  • SMUPhysics, "Internal Reflection" (vidéo, 12s), mis en ligne le 20 mai 2010. (Transition de la réfraction par angle critique à TIR dans un prisme 45°-90°-45°.)