Degré de transcendance - Transcendence degree

En algèbre abstraite , le degré de transcendance d'une extension de champ L / K est une certaine mesure assez grossière de la "taille" de l'extension. Plus précisément, il est défini comme la plus grande cardinalité d'un sous - ensemble algébriquement indépendant de L sur K .

Un sous-ensemble S de L est une base de transcendance de L / K s'il est algébriquement indépendant sur K et si de plus L est une extension algébrique du corps K ( S ) (le corps obtenu en adjoignant les éléments de S à K ). On peut montrer que toute extension de champ a une base de transcendance, et que toutes les bases de transcendance ont la même cardinalité ; cette cardinalité est égale au degré de transcendance de l'extension et est notée trdeg K  L ou trdeg( L / K).

Si aucun champ K n'est spécifié, le degré de transcendance d'un champ L est son degré par rapport au champ premier de même caractéristique , c'est-à-dire Q si L est de caractéristique 0 et F p si L est de caractéristique p .

L'extension de champ L / K est purement transcendantale s'il existe un sous-ensemble S de L qui est algébriquement indépendant sur K et tel que L = K ( S ).

Exemples

  • Une extension est algébrique si et seulement si son degré de transcendance est 0 ; l' ensemble vide sert ici de base de transcendance.
  • Le corps des fonctions rationnelles à n variables K ( x 1 ,..., x n ) est une extension purement transcendantale de degré de transcendance n sur K ; on peut par exemple prendre { x 1 ,..., x n } comme base de transcendance.
  • Plus généralement, le degré de transcendance du champ de fonctions L d'une variété algébrique à n dimensions sur un champ fondamental K est n .
  • Q ( √2 , e ) a un degré de dépassement de 1 sur Q parce que √2 est algébrique tandis que e est transcendantale .
  • Le degré de transcendance de C ou R sur Q est la cardinalité du continu . (Cela s'ensuit puisque tout élément n'a que de nombreux éléments algébriques sur lui dans Q , puisque Q est lui-même dénombrable.)
  • Le degré de dépassement de Q ( e , π ) sur Q est soit 1 ou 2; la réponse précise est inconnue car on ne sait pas si e et sont algébriquement indépendants.
  • Si S est une surface de Riemann compacte , le corps C ( S ) des fonctions méromorphes sur S est de degré de transcendance 1 sur C .

Analogie avec les dimensions de l'espace vectoriel

Il existe une analogie avec la théorie des dimensions de l' espace vectoriel . L'analogie fait correspondre des ensembles algébriquement indépendants avec des ensembles linéairement indépendants ; ensembles S tels que L est algébrique sur K ( S ) avec des ensembles couvrants ; transcendance bases avec bases ; et degré de transcendance avec dimension. Le fait que les bases de transcendance existent toujours (comme le fait que les bases existent toujours en algèbre linéaire) nécessite l' axiome du choix . La preuve que deux bases quelconques ont la même cardinalité dépend, dans chaque cadre, d'un lemme d'échange .

Cette analogie peut être rendue plus formelle, en observant que l'indépendance linéaire dans les espaces vectoriels et l'indépendance algébrique dans les extensions de champ forment toutes deux des exemples de matroïdes , appelés respectivement matroïdes linéaires et matroïdes algébriques. Ainsi, le degré de transcendance est la fonction de rang d'un matroïde algébrique. Tout matroïde linéaire est isomorphe à un matroïde algébrique, mais pas l'inverse.

Les faits

Si M / L est une extension de champ et L / K est une autre extension de champ, alors le degré de transcendance de M / K est égal à la somme des degrés de transcendance de M / L et L / K . Ceci est prouvé en montrant qu'une base de transcendance de M / K peut être obtenue en faisant l' union d'une base de transcendance de M / L et une de L / K .

Applications

Les bases de transcendance sont un outil utile pour prouver diverses déclarations d'existence sur les homomorphismes de champ. Voici un exemple: Soit un algébriquement clos champ L , un sous - corps K et un champ automorphisme f de K , il existe un champ de automorphismes de L qui prolonge f (ie dont la restriction à K est f ). Pour la preuve, on part d'une base de transcendance S de L / K . Les éléments de K ( S ) ne sont que des quotients de polynômes dans des éléments de S avec des coefficients dans K ; donc l'automorphisme f peut être étendu à l'un des K ( S ) en envoyant chaque élément de S à lui-même. Le corps L est la clôture algébrique de K ( S ) et les clôtures algébriques sont uniques à isomorphisme près ; cela signifie que l'automorphisme peut être étendu de K ( S ) à L .

Comme autre application, nous montrons qu'il existe (de nombreux) sous-corps propres du corps de nombres complexes C qui sont (en tant que corps) isomorphes à C . Pour la preuve, prenons une base de transcendance S de C / Q . S est un ensemble infini (voire indénombrable), donc il existe (beaucoup) d'applications f : SS qui sont injectives mais pas surjectives . Une telle application peut être étendue à un homomorphisme de corps Q ( S ) → Q ( S ) qui n'est pas surjectif. Un tel homomorphisme de champ peut à son tour être étendu à la clôture algébrique C , et les homomorphismes de champ résultants CC ne sont pas surjectifs.

Le degré de transcendance peut donner une compréhension intuitive de la taille d'un champ. Par exemple, un théorème dû à Siegel déclare que si X est une variété compacte, connexe et complexe de dimension n et K ( X ) dénote le champ de fonctions méromorphes (définies globalement) sur elle, alors trdeg C ( K ( X )) ≤  n .

Les références

  1. ^ James S. Milne , Théorie des champs et de Galois , pp.100-101.
  2. ^ Joshi, KD (1997), Structures discrètes appliquées , New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.