Fonction de transfert - Transfer function

En ingénierie , une fonction de transfert (également appelée fonction système ou fonction réseau ) d'un système, d'un sous-système ou d'un composant est une fonction mathématique qui modélise théoriquement la sortie du système pour chaque entrée possible. Ils sont largement utilisés dans l' électronique et les systèmes de contrôle . Dans certains cas simples, cette fonction est un graphique bidimensionnel d'une entrée scalaire indépendante par rapport à la sortie scalaire dépendante, appelée courbe de transfert ou courbe caractéristique. Les fonctions de transfert des composants sont utilisées pour concevoir et analyser des systèmes assemblés à partir de composants, notamment par la technique du schéma bloc , en électronique et en théorie de la commande .

Les dimensions et les unités de la fonction de transfert modélisent la réponse de sortie du dispositif pour une gamme d'entrées possibles. Par exemple, la fonction de transfert d'un circuit électronique à deux ports comme un amplificateur pourrait être un graphe bidimensionnel de la tension scalaire en sortie en fonction de la tension scalaire appliquée à l'entrée ; la fonction de transfert d'un actionneur électromécanique pourrait être le déplacement mécanique du bras mobile en fonction du courant électrique appliqué au dispositif ; la fonction de transfert d'un photodétecteur pourrait être la tension de sortie en fonction de l' intensité lumineuse de la lumière incidente d'une longueur d'onde donnée .

Le terme « fonction de transfert » est également utilisé dans l' analyse du domaine fréquentiel des systèmes utilisant des méthodes de transformation telles que la transformée de Laplace ; il s'agit ici de l' amplitude de la sortie en fonction de la fréquence du signal d'entrée. Par exemple, la fonction de transfert d'un filtre électronique est l'amplitude de tension en sortie en fonction de la fréquence d'une sinusoïde d' amplitude constante appliquée à l'entrée. Pour les dispositifs d'imagerie optique, la fonction de transfert optique est la transformée de Fourier de la fonction d'étalement du point (donc une fonction de la fréquence spatiale ).

Systèmes linéaires invariants dans le temps

Les fonctions de transfert sont couramment utilisées dans l'analyse de systèmes tels que les filtres à entrée unique et à sortie unique dans les domaines du traitement du signal , de la théorie de la communication et de la théorie du contrôle . Le terme est souvent utilisé exclusivement pour désigner les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI). La plupart des systèmes réels ont des caractéristiques d'entrée/sortie non linéaires , mais de nombreux systèmes, lorsqu'ils fonctionnent avec des paramètres nominaux (pas "sur-pilotés") ont un comportement suffisamment proche du linéaire pour que la théorie du système LTI soit une représentation acceptable du comportement d'entrée/sortie.

Les descriptions ci-dessous sont données en termes de variable complexe, , qui nécessite une brève explication. Dans de nombreuses applications, il suffit de définir (donc ), ce qui réduit les transformées de Laplace à arguments complexes en transformées de Fourier à argument réel ω. Les applications où cela est courant sont celles où l'on s'intéresse uniquement à la réponse en régime permanent d'un système LTI, et non aux comportements d'activation et de désactivation fugaces ou aux problèmes de stabilité. C'est généralement le cas pour le traitement du signal et la théorie de la communication . ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$${\style d'affichage \sigma =0}$${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

Ainsi, pour le signal d'entrée et la sortie en temps continu , la fonction de transfert est l'application linéaire de la transformée de Laplace de l'entrée, , à la transformée de Laplace de la sortie : ${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage y(t)}$${\style d'affichage H(s)}$${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$

${\style d'affichage Y(s)=H(s)\;X(s)}$

ou

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{ {\mathcal {L}}\gauche\{x(t)\right\}}}}$.

Dans les systèmes à temps discret , la relation entre un signal d'entrée et une sortie est traitée à l'aide de la transformation z , puis la fonction de transfert est écrite de la même manière et est souvent appelée fonction de transfert d'impulsions. ${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage y(t)}$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

Dérivation directe à partir d'équations différentielles

Considérons une équation différentielle linéaire à coefficients constants

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n -1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

où u et r sont des fonctions convenablement lisses de t , et L est l'opérateur défini sur l'espace fonctionnel pertinent, qui transforme u en r . Ce type d'équation peut être utilisé pour contraindre la fonction de sortie u en fonction de la fonction de forçage r . La fonction de transfert peut être utilisée pour définir un opérateur qui sert d'inverse à droite de L , ce qui signifie que . ${\style d'affichage F[r]=u}$${\style d'affichage L[F[r]]=r}$

Solutions de l' homogène , équation différentielle à coefficients de constante peuvent être trouvés en essayant . Cette substitution donne le polynôme caractéristique${\style d'affichage L[u]=0}$${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\, }$

Le cas inhomogène peut être facilement résolu si la fonction d'entrée r est également de la forme . Dans ce cas, en substituant on trouve que si l'on définit ${\displaystyle r(t)=e^{st}}$${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{partout }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

Prendre cela comme définition de la fonction de transfert nécessite une désambiguïsation prudente entre les valeurs complexes et réelles, qui est traditionnellement influencée par l'interprétation de abs(H(s)) comme gain et -atan(H(s)) comme décalage de phase . D'autres définitions de la fonction de transfert sont utilisées : par exemple${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

Gain, comportement transitoire et stabilité

Une entrée sinusoïdale générale à un système de fréquence peut être écrite . La réponse d'un système à une entrée sinusoïdale commençant à un instant sera constituée de la somme de la réponse en régime permanent et d'une réponse transitoire. La réponse en régime permanent est la sortie du système dans la limite d'un temps infini, et la réponse transitoire est la différence entre la réponse et la réponse en régime permanent (elle correspond à la solution homogène de l'équation différentielle ci-dessus.) La fonction de transfert pour un système LTI peut être écrit comme le produit : ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$${\style d'affichage t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

où s _{P i} sont les N racines du polynôme caractéristique et seront donc les pôles de la fonction de transfert. Considérons le cas d'une fonction de transfert avec un seul pôle où . La transformée de Laplace d'une sinusoïde générale d'amplitude unitaire sera . La transformée de Laplace de la sortie sera et la sortie temporelle sera la transformée de Laplace inverse de cette fonction : ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$${\displaystyle {\frac {1}{sj\omega _{i}}}}$${\displaystyle {\frac {H(s)}{(sj\omega _{0})}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P}) t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

Le deuxième terme du numérateur est la réponse transitoire, et dans la limite du temps infini, il divergera à l'infini si σ _P est positif. Pour qu'un système soit stable, sa fonction de transfert ne doit pas avoir de pôles dont les parties réelles sont positives. Si la fonction de transfert est strictement stable, les parties réelles de tous les pôles seront négatives et le comportement transitoire tendra vers zéro dans la limite du temps infini. La sortie en régime permanent sera :

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

La réponse en fréquence (ou "gain") G du système est définie comme la valeur absolue du rapport de l'amplitude de sortie sur l'amplitude d'entrée en régime permanent :

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\ à droite|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}}}$

qui est juste la valeur absolue de la fonction de transfert évaluée à . On peut montrer que ce résultat est valable pour n'importe quel nombre de pôles de la fonction de transfert. ${\style d'affichage H(s)}$${\displaystyle j\omega _{i}}$

Traitement de signal

Soit l'entrée d'un système linéaire général invariant dans le temps , et la sortie, et la transformée de Laplace bilatérale de et soit ${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage y(t)}$${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t) \right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{ aligné}}}$

Ensuite, la sortie est liée à l'entrée par la fonction de transfert comme ${\style d'affichage H(s)}$

${\style d'affichage Y(s)=H(s)X(s)}$

et la fonction de transfert elle-même est donc

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

En particulier, si un signal harmonique complexe avec une composante sinusoïdale d' amplitude , de fréquence angulaire et de phase , où arg est l' argument ${\style d'affichage |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\style d'affichage \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

où ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

est entrée dans un système linéaire invariant dans le temps, alors la composante correspondante dans la sortie est :

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y| e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

Notez que, dans un système linéaire invariant dans le temps, la fréquence d'entrée n'a pas changé, seuls l'amplitude et l'angle de phase de la sinusoïde ont été modifiés par le système. La réponse en fréquence décrit ce changement pour chaque fréquence en termes de gain : ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

et déphasage :

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

Le retard de phase (c'est-à-dire la quantité de retard dépendant de la fréquence introduite dans la sinusoïde par la fonction de transfert) est :

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

Le retard de groupe (c'est-à-dire la quantité de retard dépendant de la fréquence introduite dans l'enveloppe de la sinusoïde par la fonction de transfert) est trouvé en calculant la dérivée du déphasage par rapport à la fréquence angulaire , ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

La fonction de transfert peut également être représentée à l'aide de la transformée de Fourier qui n'est qu'un cas particulier de la transformée de Laplace bilatérale pour le cas où . ${\displaystyle s=j\omega }$

Familles de fonctions de transfert communes

Alors que tout système LTI peut être décrit par une fonction de transfert ou une autre, il existe certaines "familles" de fonctions de transfert spéciales qui sont couramment utilisées.

Certaines familles de fonctions de transfert courantes et leurs caractéristiques particulières sont :

• Filtre Butterworth  - au maximum plat dans la bande passante et la bande d'arrêt pour l'ordre donné
• Filtre Chebyshev (Type I)  - au maximum plat dans la bande d'arrêt, coupure plus nette qu'un filtre Butterworth du même ordre
• Filtre Chebyshev (Type II)  - au maximum plat dans la bande passante, coupure plus nette qu'un filtre Butterworth du même ordre
• Filtre de Bessel  - meilleure réponse impulsionnelle pour une commande donnée car il n'a pas d'ondulation de retard de groupe
• Filtre elliptique  - coupure la plus nette (transition la plus étroite entre la bande passante et la bande d'arrêt) pour l'ordre donné
• Filtre "L" optimal
• Filtre gaussien  – délai de groupe minimum ; ne donne aucun dépassement à une fonction pas à pas
• Filtre sablier
• Filtre à cosinus surélevé

Technique de contrôle

En ingénierie de commande et en théorie de la commande, la fonction de transfert est dérivée à l'aide de la transformée de Laplace .

La fonction de transfert était le principal outil utilisé dans l'ingénierie de contrôle classique. Cependant, il s'est avéré difficile à manier pour l'analyse des systèmes à entrées multiples et sorties multiples (MIMO) et a été largement supplanté par les représentations d' espace d'état pour de tels systèmes. Malgré cela, une matrice de transfert peut toujours être obtenue pour tout système linéaire, afin d'analyser sa dynamique et d'autres propriétés : chaque élément d'une matrice de transfert est une fonction de transfert reliant une variable d'entrée particulière à une variable de sortie.

Une représentation utile reliant les méthodes d' espace d'état et de fonction de transfert a été proposée par Howard H. Rosenbrock et est appelée matrice de système de Rosenbrock .

Optique

En optique, la fonction de transfert de modulation indique la capacité de transmission de contraste optique.

Par exemple, lors de l'observation d'une série de franges de lumière noire-blanche dessinées avec une fréquence spatiale spécifique, la qualité de l'image peut se dégrader. Les franges blanches s'estompent tandis que les noires deviennent plus lumineuses.

La fonction de transfert de modulation dans une fréquence spatiale spécifique est définie par

${\displaystyle \mathrm {MTF} (f)={\frac {M(\mathrm {image} )}{M(\mathrm {source} )}},}$

où la modulation (M) est calculée à partir de l'image ou de la luminosité suivante :

${\displaystyle M={\frac {L_{\max }-L_{\min }}{L_{\max }+L_{\min }}}.}$

Imagerie

En imagerie , les fonctions de transfert sont utilisées pour décrire la relation entre la lumière de la scène, le signal d'image et la lumière affichée.

Systèmes non linéaires

Les fonctions de transfert n'existent pas correctement pour de nombreux systèmes non linéaires . Par exemple, ils n'existent pas pour les oscillateurs à relaxation ; cependant, des fonctions de description peuvent parfois être utilisées pour approcher de tels systèmes non linéaires invariants dans le temps.

Voir également

Les références

Liens externes

• ECE 209 : Examen des circuits en tant que systèmes LTI – Abrégé sur l'analyse mathématique des systèmes (électriques) LTI.