Translation des axes - Translation of axes

En mathématiques , une traduction d'axes en deux dimensions est un mappage d'un système de coordonnées xy - cartésien à un système de coordonnées x'y' -cartésien dans lequel l' axe x' est parallèle à l' axe x et à k unités, et le y L' axe ' est parallèle à l' axe y et éloigné des unités h . Cela signifie que l' origine O' du nouveau système de coordonnées a des coordonnées ( h , k ) dans le système d'origine. Les directions positives x' et y' sont considérées comme étant les mêmes que les directions positives x et y . Un point P a des coordonnées ( x , y ) par rapport au système d'origine et des coordonnées ( x' , y' ) par rapport au nouveau système, où

${\style d'affichage x=x'+h}$      et      ${\style d'affichage y=y'+k}$

( 1 )

ou équivalent

${\style d'affichage x'=xh}$      et      ${\displaystyle y'=yk.}$

( 2 )

Dans le nouveau système de coordonnées, le point P apparaîtra avoir été translaté dans la direction opposée. Par exemple, si le système xy est translaté d'une distance h vers la droite et d'une distance k vers le haut, alors P apparaîtra avoir été translaté d'une distance h vers la gauche et d'une distance k vers le bas dans le système x'y' . Une translation d'axes dans plus de deux dimensions est définie de manière similaire. Une translation d'axes est une transformation rigide , mais pas une application linéaire . (Voir Transformation affine .)

Motivation

Les systèmes de coordonnées sont indispensables pour étudier les équations des courbes à l'aide des méthodes de la géométrie analytique . Pour utiliser la méthode de la géométrie de coordonnées, les axes sont placés à une position convenable par rapport à la courbe considérée. Par exemple, pour étudier les équations des ellipses et des hyperboles , les foyers sont généralement situés sur l'un des axes et sont situés symétriquement par rapport à l'origine. Si la courbe (hyperbole, parabole , ellipse, etc.) n'est pas située de manière pratique par rapport aux axes, le système de coordonnées doit être modifié pour placer la courbe à un emplacement et une orientation pratiques et familiers. Le processus de réalisation de ce changement s'appelle une transformation des coordonnées .

Les solutions à de nombreux problèmes peuvent être simplifiées en traduisant les axes de coordonnées pour obtenir de nouveaux axes parallèles à ceux d'origine.

Traduction de sections coniques

Grâce à un changement de coordonnées, l'équation d'une section conique peut être mise sous une forme standard , qui est généralement plus facile à travailler. Pour l'équation la plus générale du second degré, il est toujours possible d'effectuer une rotation d'axes de telle sorte que dans le nouveau système l'équation prenne la forme

${\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$     ( et pas les deux zéro);${\style d'affichage A}$${\style d'affichage C}$

( 3 )

c'est-à-dire qu'il n'y a pas de terme xy . Ensuite, une translation d'axes peut réduire une équation de la forme ( 3 ) à une équation de même forme mais avec de nouvelles variables ( x' , y' ) comme coordonnées, et avec D et E tous deux égaux à zéro (à quelques exceptions près —par exemple, les paraboles). L'outil principal de ce processus est de « compléter le carré ». Dans les exemples qui suivent, on suppose qu'une rotation d'axes a déjà été effectuée.

Exemple 1

Étant donné l'équation

${\style d'affichage 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,}$

en utilisant une translation d'axes, déterminez si le lieu de l'équation est une parabole, une ellipse ou une hyperbole. Déterminez les foyers (ou foyer), les sommets (ou sommet) et l' excentricité .

Solution : Pour compléter le carré en x et y , écrivez l'équation sous la forme

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.}$

Complétez les carrés et obtenez

${\style d'affichage 9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

Définir

${\style d'affichage x'=x+1}$      et      ${\style d'affichage y'=y-2.}$

C'est-à-dire que la traduction dans les équations ( 2 ) est effectuée avec L'équation dans le nouveau système de coordonnées est ${\style d'affichage h=-1,k=2.}$

${\displaystyle 9x'^{2}+25y'^{2}=225.}$

( 4 )

Divisez l'équation ( 4 ) par 225 pour obtenir

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,}$

qui est reconnaissable comme une ellipse avec Dans le système x'y' , nous avons : center ; sommets ; foyers${\displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.}$${\style d'affichage (0,0)}$${\style d'affichage (\pm 5,0)}$${\style d'affichage (\pm 4,0).}$

Dans le système xy , utilisez les relations pour obtenir : center ; sommets ; foyers ; excentricité${\style d'affichage x=x'-1,y=y'+2}$${\style d'affichage (-1,2)}$${\style d'affichage (4,2),(-6,2)}$${\style d'affichage (3,2),(-5,2)}$${\style d'affichage {\tfrac {4}{5}}.}$

Généralisation à plusieurs dimensions

Pour un système de coordonnées xyz -Cartésien en trois dimensions, supposons qu'un deuxième système de coordonnées cartésiennes soit introduit, avec les axes x' , y' et z' situés de telle sorte que l' axe x' soit parallèle à l' axe x et h unités de celui-ci, l' axe y' est parallèle à l' axe y et à k unités de celui-ci, et l' axe z' est parallèle à l' axe z et à l unités de celui-ci. Un point P dans l'espace aura des coordonnées dans les deux systèmes. Si ses coordonnées sont ( x , y , z ) dans le système d'origine et ( x' , y' , z' ) dans le second système, les équations

${\displaystyle x'=xh,\qquad y'=yk,\qquad z'=zl}$

( 5 )

prise. Les équations ( 5 ) définissent une translation d'axes en trois dimensions où ( h , k , l ) sont les coordonnées xyz de la nouvelle origine. Une translation d'axes dans n'importe quel nombre fini de dimensions est définie de manière similaire.

Translation des surfaces quadriques

Dans l'espace tridimensionnel, l'équation la plus générale du second degré en x , y et z a la forme

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0,}$

( 6 )

où les quantités sont des nombres positifs ou négatifs ou zéro. Les points dans l'espace satisfaisant une telle équation se trouvent tous sur une surface . Toute équation du second degré qui ne se réduit pas à un cylindre, un plan, une ligne ou un point correspond à une surface appelée quadrique. ${\style d'affichage A,B,C,\ldots ,L}$

Comme dans le cas de la géométrie analytique plane, la méthode de translation des axes peut être utilisée pour simplifier les équations du second degré, rendant ainsi évidente la nature de certaines surfaces quadriques. L'outil principal de ce processus est de « compléter le carré ».

Exemple 2

Utiliser une traduction de coordonnées pour identifier la surface quadrique

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

Solution : Écrivez l'équation sous la forme

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

Complétez le carré pour obtenir

${\style d'affichage (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{ \tfrac {27}{4}}.}$

Introduire la traduction des coordonnées

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qqquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.}$

L'équation de la surface prend la forme

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

qui est reconnaissable comme l'équation d'un ellipsoïde .

Voir également

• Traduction (géométrie)

Remarques

Les références

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5e éd.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2e éd.), Lecture : Addison-Wesley , LCCN  76087042