Symétrie translationnelle - Translational symmetry

Pour les fonctions invariantes translationnelles, c'est le cas . La mesure de Lebesgue est un exemple d'une telle fonction.

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle f (A) = f (A + t)}

En géométrie , traduire une figure géométrique, c'est la déplacer d'un endroit à un autre sans la faire pivoter. Une traduction "glisse" une chose par a : T _a ( p ) = p + a .

En physique et en mathématiques , la symétrie translationnelle continue est l' invariance d'un système d'équations sous n'importe quelle translation. La symétrie translationnelle discrète est invariante en translation discrète .

De manière analogue, un opérateur A sur des fonctions est dit invariant en translation par rapport à un opérateur de traduction si le résultat après application de A ne change pas si la fonction argument est traduite. Plus précisément, il doit tenir que ${\ displaystyle T _ {\ delta}}$

{\ displaystyle \ forall \ delta \ Af = A (T _ {\ delta} f). \,}

Les lois de la physique sont invariantes en translation sous une translation spatiale si elles ne distinguent pas différents points dans l'espace. Selon le théorème de Noether , la symétrie translationnelle spatiale d'un système physique équivaut à la loi de conservation de l' impulsion .

La symétrie translationnelle d'un objet signifie qu'une traduction particulière ne change pas l'objet. Pour un objet donné, les traductions pour lesquelles cela s'applique forment un groupe, le groupe de symétrie de l'objet ou, si l'objet a plusieurs types de symétrie, un sous-groupe du groupe de symétrie.

Géométrie

L'invariance translationnelle implique qu'au moins dans une direction, l'objet est infini: pour tout point p donné , l'ensemble des points ayant les mêmes propriétés en raison de la symétrie translationnelle forme l'ensemble discret infini { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . Les domaines fondamentaux sont par exemple H + [0, 1] a pour tout hyperplan H pour lequel a a une direction indépendante. Il s'agit en 1D d'un segment de ligne , en 2D d'une bande infinie, et en 3D d'une dalle, de telle sorte que le vecteur commençant d'un côté se termine de l'autre côté. Notez que la bande et la dalle n'ont pas besoin d'être perpendiculaires au vecteur, et peuvent donc être plus étroites ou plus minces que la longueur du vecteur.

Dans les espaces de dimension supérieure à 1, il peut y avoir plusieurs symétries de translation. Pour chaque ensemble de k vecteurs de translation indépendants, le groupe de symétrie est isomorphe avec Z ^k . En particulier, la multiplicité peut être égale à la dimension. Cela implique que l'objet est infini dans toutes les directions. Dans ce cas, l'ensemble de toutes les traductions forme un treillis . Différentes bases de vecteurs de translation génèrent le même réseau si et seulement si l' un est transformé en l'autre par une matrice de coefficients entiers dont la valeur absolue du déterminant est 1. La valeur absolue du déterminant de la matrice formée par un ensemble de vecteurs de translation est l'hypervolume du parallélépipède n- dimensionnel l'ensemble sous-tend (également appelé le covolume du réseau). Ce parallélépipède est une région fondamentale de la symétrie: n'importe quel motif sur ou dedans est possible, et cela définit tout l'objet. Voir aussi treillis (groupe) .

Par exemple en 2D, au lieu de a et b on peut aussi prendre a et a - b , etc. En général en 2D, on peut prendre p a + q b et r a + s b pour les entiers p , q , r et s tel que ps - qr vaut 1 ou −1. Cela garantit que a et b sont eux-mêmes des combinaisons linéaires entières des deux autres vecteurs. Sinon, toutes les traductions ne sont pas possibles avec l'autre paire. Chaque paire a , b définit un parallélogramme, tous avec la même aire, la grandeur du produit croisé . Un parallélogramme définit entièrement l'objet entier. Sans autre symétrie, ce parallélogramme est un domaine fondamental. Les vecteurs a et b peuvent être représentés par des nombres complexes. Pour deux points de treillis donnés, l'équivalence des choix d'un troisième point pour générer une forme de treillis est représentée par le groupe modulaire , voir treillis (groupe) .

En variante, par exemple un rectangle peut définir l'objet entier, même si les vecteurs de translation ne sont pas perpendiculaires, s'il a deux côtés parallèles à un vecteur de translation, tandis que l'autre vecteur de translation commençant d'un côté du rectangle se termine du côté opposé.

Par exemple, considérons un carrelage avec des tuiles rectangulaires égales avec un motif asymétrique sur elles, toutes orientées de la même manière, en lignes, avec pour chaque ligne un décalage d'une fraction, et non de la moitié, d'une tuile, toujours la même, alors nous avons seulement symétrie translationnelle, groupe de papiers peints p 1 (il en va de même sans décalage). Avec une symétrie de rotation d'ordre deux du motif sur le carreau, nous avons p 2 (plus de symétrie du motif sur le carreau ne change pas cela, à cause de la disposition des carreaux). Le rectangle est une unité plus pratique à considérer comme domaine fondamental (ou ensemble de deux d'entre eux) qu'un parallélogramme constitué d'une partie d'une tuile et d'une partie d'une autre.

En 2D, il peut y avoir une symétrie de translation dans une direction pour des vecteurs de n'importe quelle longueur. Une ligne, pas dans la même direction, définit entièrement l'objet entier. De même, en 3D, il peut y avoir une symétrie de translation dans une ou deux directions pour des vecteurs de n'importe quelle longueur. Un plan ( section transversale ) ou une ligne, respectivement, définit entièrement l'objet entier.

Exemples

Texte

Un exemple de symétrie translationnelle dans une direction en 2D nr. 1) est:

Remarque: l'exemple n'est pas un exemple de symétrie de rotation.

example example
  example example
    example example
      example example

(obtenez la même chose en déplaçant une ligne vers le bas et deux positions vers la droite), et de symétrie de translation dans deux directions en 2D (groupe de papiers peints p1):

* |* |* |* |
 |* |* |* |*
|* |* |* |*
* |* |* |* |
 |* |* |* |*
|* |* |* |*

(obtenez la même chose en déplaçant trois positions vers la droite, ou une ligne vers le bas et deux positions vers la droite; par conséquent, obtenez également le même déplacement de trois lignes vers le bas).

Dans les deux cas, il n'y a ni symétrie d'image miroir ni symétrie de rotation.

Pour une translation d'espace donnée, nous pouvons considérer la translation correspondante des objets. Les objets avec au moins la symétrie de translation correspondante sont les points fixes de ce dernier, à ne pas confondre avec des points fixes de la translation de l'espace, qui sont inexistants.

Calcul

La relation moins que sur les nombres réels est invariante sous translation.

La transformée de Fourier avec le calcul ultérieur des valeurs absolues est un opérateur invariant par translation.
Le mappage d'une fonction polynomiale au degré polynomial est une fonctionnelle invariante de traduction.
La mesure de Lebesgue est une complète invariant par translation mesure .

Voir également

Les références

Stenger, Victor J. (2000) et MahouShiroUSA (2007). Réalité intemporelle . Livres de Prométhée. Surtout chpt. 12. Non technique.

Languages

In other projects