Trigonométrie - Trigonometry

La trigonométrie (du grec trigonon , "triangle" et métron , "mesure") est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs des côtés et les angles des triangles . Le domaine a émergé dans le monde hellénistique au IIIe siècle av. J.-C. des applications de la géométrie aux études astronomiques . Les Grecs se sont concentrés sur le calcul des accords , tandis que les mathématiciens indiens ont créé les premières tables de valeurs connues pour les rapports trigonométriques (également appelés fonctions trigonométriques ) tels que le sinus .

Tout au long de l'histoire, la trigonométrie a été appliquée dans des domaines tels que la géodésie , l' arpentage , la mécanique céleste et la navigation .

La trigonométrie est connue pour ses nombreuses identités . Ces identités trigonométriques sont couramment utilisées pour réécrire des expressions trigonométriques dans le but de simplifier une expression, de trouver une forme d'expression plus utile ou de résoudre une équation .

Histoire

Hipparque , crédité de la compilation de la première table trigonométrique , a été décrit comme « le père de la trigonométrie ».

Les astronomes sumériens ont étudié la mesure des angles, en utilisant une division de cercles en 360 degrés. Eux, et plus tard les Babyloniens , ont étudié les rapports des côtés de triangles similaires et ont découvert certaines propriétés de ces rapports, mais n'en ont pas fait une méthode systématique pour trouver les côtés et les angles des triangles. Les anciens Nubiens utilisaient une méthode similaire.

Au 3ème siècle avant JC, des mathématiciens hellénistiques tels qu'Euclide et Archimède ont étudié les propriétés des cordes et des angles inscrits dans les cercles, et ils ont prouvé des théorèmes équivalents aux formules trigonométriques modernes, bien qu'ils les présentent géométriquement plutôt qu'algébriquement. En 140 avant JC, Hipparque (de Nicée , en Asie Mineure) a donné les premières tables d'accords, modernes analogues à des tables de valeurs de sinus , et les utiliser pour résoudre des problèmes dans la trigonométrie et trigonométrie sphérique . Au 2ème siècle après JC, l'astronome gréco-égyptien Ptolémée (d'Alexandrie, Égypte) a construit des tables trigonométriques détaillées ( table des accords de Ptolémée ) dans le livre 1, chapitre 11 de son Almageste . Ptolémée a utilisé la longueur de la corde pour définir ses fonctions trigonométriques, une différence mineure par rapport à la convention sinusoïdale que nous utilisons aujourd'hui. (La valeur que nous appelons sin(θ) peut être trouvée en recherchant la longueur de la corde pour deux fois l'angle d'intérêt (2θ) dans la table de Ptolémée, puis en divisant cette valeur par deux.) Des siècles se sont écoulés avant que des tables plus détaillées ne soient produites, et Le traité de Ptolémée est resté utilisé pour effectuer des calculs trigonométriques en astronomie tout au long des 1200 années suivantes dans les mondes médiévaux byzantins , islamiques et, plus tard, d'Europe occidentale.

La convention du sinus moderne est attestée pour la première fois dans le Surya Siddhanta , et ses propriétés ont été documentées plus avant par le mathématicien et astronome indien du 5ème siècle (AD) Aryabhata . Ces travaux grecs et indiens ont été traduits et développés par des mathématiciens islamiques médiévaux . Au 10ème siècle, les mathématiciens islamiques utilisaient les six fonctions trigonométriques, avaient tabulé leurs valeurs et les appliquaient à des problèmes de géométrie sphérique . Le polymathe persan Nasir al-Din al-Tusi a été décrit comme le créateur de la trigonométrie en tant que discipline mathématique à part entière. Nasīr al-Dīn al-Tūsī a été le premier à traiter la trigonométrie comme une discipline mathématique indépendante de l'astronomie, et il a développé la trigonométrie sphérique dans sa forme actuelle. Il a énuméré les six cas distincts d'un triangle rectangle en trigonométrie sphérique, et dans son On the Sector Figure , il a énoncé la loi des sinus pour les triangles plans et sphériques, a découvert la loi des tangentes pour les triangles sphériques et a fourni des preuves pour les deux ces lois. La connaissance des fonctions et méthodes trigonométriques a atteint l'Europe occidentale via les traductions latines de l' Almageste grec de Ptolémée ainsi que les travaux d' astronomes persans et arabes tels qu'Al Battani et Nasir al-Din al-Tusi . L'un des premiers travaux sur la trigonométrie par un mathématicien d'Europe du Nord est De Triangulis par le mathématicien allemand du XVe siècle Regiomontanus , qui a été encouragé à écrire, et fourni avec une copie de l' Almageste , par le savant grec byzantin cardinal Basilios Bessarion avec qui il a vécu pour plusieurs années. A la même époque, une autre traduction de l' Almageste du grec en latin est complétée par le crétois Georges de Trébizonde . La trigonométrie était encore si peu connue dans l'Europe du Nord au XVIe siècle que Nicolaus Copernicus a consacré deux chapitres de De revolutionibus orbium coelestium pour expliquer ses concepts de base.

Poussée par les exigences de la navigation et le besoin croissant de cartes précises de vastes zones géographiques, la trigonométrie est devenue une branche majeure des mathématiques. Bartholomaeus Pitiscus fut le premier à utiliser le mot, en publiant son Trigonometria en 1595. Gemma Frisius décrivit pour la première fois la méthode de triangulation encore utilisée aujourd'hui en arpentage. C'est Leonhard Euler qui a complètement intégré les nombres complexes dans la trigonométrie. Les travaux des mathématiciens écossais James Gregory au 17ème siècle et Colin Maclaurin au 18ème siècle ont été influents dans le développement des séries trigonométriques . Toujours au XVIIIe siècle, Brook Taylor a défini la série générale de Taylor .

Rapports trigonométriques

Dans ce triangle rectangle : sin A = a / c ; cos A = b / c ; tan A = a / b .

Les rapports trigonométriques sont les rapports entre les arêtes d'un triangle rectangle. Ces rapports sont donnés par les fonctions trigonométriques suivantes de l'angle connu A , où a , b et c se réfèrent aux longueurs des côtés dans la figure ci-jointe :

  • Fonction sinus (sin), définie comme le rapport du côté opposé à l'angle à l' hypoténuse .
  • Fonction cosinus (cos), définie comme le rapport de lajambe adjacente (le côté du triangle joignant l'angle à l'angle droit) à l'hypoténuse.
  • Fonction tangente (tan), définie comme le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.

L' hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés dans un triangle rectangle; c'est le côté le plus long du triangle et l'un des deux côtés adjacents à l'angle A . La jambe adjacente est l'autre côté adjacent à l'angle A . Le côté opposé est le côté opposé à l'angle A . Les termes perpendiculaire et base sont parfois utilisés pour les côtés opposés et adjacents respectivement. Voir ci-dessous sous Mnémoniques .

Etant donné que les deux triangles rectangles avec le même angle aigu A sont similaires , la valeur d'un rapport trigonométrique ne dépend que de l'angle A .

Les réciproques de ces fonctions sont respectivement nommées cosécante (csc), sécante (sec) et cotangente (cot) :

Le cosinus, la cotangente et la cosécante sont ainsi nommés car ils sont respectivement le sinus, la tangente et la sécante de l'angle complémentaire abrégé en "co-".

Avec ces fonctions, on peut répondre à pratiquement toutes les questions sur les triangles arbitraires en utilisant la loi des sinus et la loi des cosinus . Ces lois peuvent être utilisées pour calculer les angles et côtés restants de tout triangle dès que deux côtés et leur angle inclus ou deux angles et un côté ou trois côtés sont connus.

Mnémotechnique

Une utilisation courante des mnémoniques est de se souvenir de faits et de relations en trigonométrie. Par exemple, les rapports sinus , cosinus et tangente dans un triangle rectangle peuvent être mémorisés en les représentant ainsi que leurs côtés correspondants sous forme de chaînes de lettres. Par exemple, un mnémonique est SOH-CAH-TOA :

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse
C osine = A adjacent ÷ H ypoténuse
T angent = O pposite ÷ A djacent

Une façon de se rappeler les lettres est de les sonder phonétiquement (c. -à- SOH-CAH-TOA , qui se prononce 'soi-ka- orteil -Euh' / s k æ t ə / ). Une autre méthode consiste à étendre les lettres dans une phrase, par exemple " S ome O ld H ippie C aught A utre H ippie T rippin' O n A cid".

Le cercle unitaire et les valeurs trigonométriques communes

Fig. 1a – Sinus et cosinus d'un angle définis à l'aide du cercle unité.

Les rapports trigonométriques peuvent également être représentés à l'aide du cercle unité , qui est le cercle de rayon 1 centré à l'origine dans le plan. Dans ce réglage, le côté terminal d'un angle A placé en position standard coupe le cercle unité en un point (x,y), où et . Cette représentation permet le calcul de valeurs trigonométriques courantes, telles que celles du tableau suivant :

Fonction 0
sinus
cosinus
tangente indéfini
sécante indéfini
cosécante indéfini indéfini
cotangente indéfini indéfini

Fonctions trigonométriques de variables réelles ou complexes

En utilisant le cercle unité , on peut étendre les définitions des rapports trigonométriques à tous les arguments positifs et négatifs (voir fonction trigonométrique ).

Graphiques de fonctions trigonométriques

Le tableau suivant résume les propriétés des graphes des six principales fonctions trigonométriques :

Fonction Période Domaine Varier Graphique
sinus Sine une période.svg
cosinus Cosinus un period.svg
tangente Tangent-plot.svg
sécante Sécante.svg
cosécante Cosécant.svg
cotangente Cotangente.svg

Fonctions trigonométriques inverses

Parce que les six fonctions trigonométriques principales sont périodiques, elles ne sont pas injectives (ou, 1 à 1), et ne sont donc pas inversibles. En restreignant le domaine d'une fonction trigonométrique, cependant, ils peuvent être rendus inversibles.

Les noms des fonctions trigonométriques inverses, ainsi que leurs domaines et leur étendue, peuvent être trouvés dans le tableau suivant :

Nom Notation habituelle Définition Domaine de x pour un résultat réel Plage de la valeur principale usuelle
( radians )
Fourchette de la valeur principale usuelle
( degrés )
arc sinus y = arcsin( x ) x = péché ( y ) −1 x ≤ 1 ??/2y??/2 −90° ≤ y 90°
arccosinus y = arccos( x ) x = cos ( y ) −1 x ≤ 1 0 ≤ yπ 0° ≤ y ≤ 180°
arc tangent y = arctan( x ) x = bronzage ( y ) tous les nombres réels ??/2< y <??/2 −90° < y < 90°
arccotangente y = arccot( x ) x = lit bébé ( y ) tous les nombres réels 0 < y < π 0° < y < 180°
arcsécante y = arcsec( x ) x = sec ( y ) x ≤ −1 ou 1 x 0 y <??/2 ou ??/2< yπ 0° ≤ y < 90° ou 90° < y ≤ 180°
arccosécante y = arccsc( x ) x = csc ( y ) x ≤ −1 ou 1 x ??/2y <0 ou 0 < y??/2 −90° ≤ y < 0° ou 0° < y ≤ 90°

Représentations de séries de puissance

Considérés comme des fonctions d'une variable réelle, les rapports trigonométriques peuvent être représentés par une série infinie . Par exemple, sinus et cosinus ont les représentations suivantes :

Avec ces définitions, les fonctions trigonométriques peuvent être définies pour les nombres complexes . Lorsqu'elle est étendue en tant que fonctions de variables réelles ou complexes, la formule suivante est valable pour l'exponentielle complexe :

Cette fonction exponentielle complexe, écrite en termes de fonctions trigonométriques, est particulièrement utile.

Calcul des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques ont été parmi les premières utilisations des tables mathématiques . Ces tableaux ont été incorporés dans les manuels de mathématiques et les élèves ont appris à rechercher des valeurs et à interpoler entre les valeurs répertoriées pour obtenir une plus grande précision. Les règles à calcul avaient des échelles spéciales pour les fonctions trigonométriques.

Les calculatrices scientifiques ont des boutons pour calculer les principales fonctions trigonométriques (sin, cos, tan et parfois cis et leurs inverses). La plupart permettent un choix de méthodes de mesure d'angle : degrés , radians et parfois grades . La plupart des langages de programmation informatique fournissent des bibliothèques de fonctions qui incluent les fonctions trigonométriques. Le matériel d' unité à virgule flottante incorporé dans les puces de microprocesseur utilisées dans la plupart des ordinateurs personnels a des instructions intégrées pour le calcul des fonctions trigonométriques.

Autres fonctions trigonométriques

En plus des six rapports énumérés précédemment, il existe des fonctions trigonométriques supplémentaires qui étaient historiquement importantes, bien que rarement utilisées aujourd'hui. Ceux-ci incluent l' accord ( crd( θ ) = 2 sin(??/2) ), le versin ( versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin 2 (??/2) ) (qui figuraient dans les premiers tableaux), le Coversine ( Coversin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin(??/2θ ) ), le haversine ( haversin( θ ) =1/2versin( θ ) = sin 2 (??/2) ), l' exsécante ( exsec( θ ) = sec( θ ) − 1 ), et l' excosécante ( excsc( θ ) = exsec(??/2θ ) = csc( θ ) − 1 ). Voir Liste des identités trigonométriques pour plus de relations entre ces fonctions.

Applications

Astronomie

Pendant des siècles, la trigonométrie sphérique a été utilisée pour localiser les positions solaires, lunaires et stellaires, prédire les éclipses et décrire les orbites des planètes.

À l'époque moderne, la technique de la triangulation est utilisée en astronomie pour mesurer la distance aux étoiles proches, ainsi que dans les systèmes de navigation par satellite .

La navigation

Les sextants sont utilisés pour mesurer l'angle du soleil ou des étoiles par rapport à l'horizon. A l'aide de la trigonométrie et d'un chronomètre de marine , la position du navire peut être déterminée à partir de telles mesures.

Historiquement, la trigonométrie a été utilisée pour localiser les latitudes et les longitudes des voiliers, tracer des parcours et calculer les distances pendant la navigation.

La trigonométrie est toujours utilisée dans la navigation grâce à des moyens tels que le système de positionnement global et l' intelligence artificielle pour les véhicules autonomes .

Arpentage

En arpentage , la trigonométrie est utilisée dans le calcul des longueurs, des surfaces et des angles relatifs entre les objets.

À plus grande échelle, la trigonométrie est utilisée en géographie pour mesurer les distances entre les points de repère.

Fonctions périodiques

La fonction (en rouge) est une somme de six fonctions sinusoïdales d'amplitudes différentes et de fréquences harmoniquement liées. Leur sommation s'appelle une série de Fourier. La transformée de Fourier, (en bleu), qui représente l' amplitude vs fréquence , révèle les 6 fréquences ( à des harmoniques impaires ) et leurs amplitudes ( 1 / nombre impair ).

Les fonctions sinus et cosinus sont fondamentales pour la théorie des fonctions périodiques , telles que celles qui décrivent les ondes sonores et lumineuses . Fourier a découvert que chaque fonction continue et périodique pouvait être décrite comme une somme infinie de fonctions trigonométriques.

Même les fonctions non périodiques peuvent être représentées comme une intégrale de sinus et de cosinus par la transformée de Fourier . Cela a des applications à la mécanique quantique et aux communications , entre autres domaines.

Optique et acoustique

La trigonométrie est utile dans de nombreuses sciences physiques , dont l' acoustique et l' optique . Dans ces domaines, ils sont utilisés pour décrire les ondes sonores et lumineuses et pour résoudre les problèmes liés aux limites et à la transmission.

Autres applications

D'autres domaines qui utilisent la trigonométrie ou les fonctions trigonométriques comprennent la théorie de la musique , la géodésie , la synthèse audio , l' architecture , l' électronique , la biologie , l'imagerie médicale ( CT scans et ultrasons ), la chimie , la théorie des nombres (et donc la cryptologie ), la sismologie , la météorologie , l' océanographie , la compression d'images. , phonétiques , économie , génie électrique , génie mécanique , génie civil , l' infographie , la cartographie , la cristallographie et le développement de jeux .

Identités

Triangle de côtés a , b , c et respectivement d'angles opposés A , B , C

La trigonométrie est connue pour ses nombreuses identités, c'est-à-dire ses équations vraies pour toutes les entrées possibles.

Les identités impliquant uniquement des angles sont appelées identités trigonométriques . D'autres équations, appelées identités triangulaires , relient à la fois les côtés et les angles d'un triangle donné.

Identités triangulaires

Dans les identités suivantes, A , B et C sont les angles d'un triangle et a , b et c sont les longueurs des côtés du triangle opposés aux angles respectifs (comme indiqué dans le diagramme).

Loi des sinus

La loi des sinus (également connue sous le nom de "règle des sinus") pour un triangle arbitraire énonce :

où est l'aire du triangle et R est le rayon du cercle circonscrit du triangle :

Loi des cosinus

La loi des cosinus (connue sous le nom de formule du cosinus, ou la "règle du cos") est une extension du théorème de Pythagore aux triangles arbitraires :

ou équivalent:

Loi des tangentes

La loi des tangentes , développée par François Viète , est une alternative à la loi des cosinus lors de la résolution des arêtes inconnues d'un triangle, fournissant des calculs plus simples lors de l'utilisation de tables trigonométriques. Il est donné par :

Zone

Étant donné deux côtés a et b et l'angle entre les côtés C , l'aire du triangle est donnée par la moitié du produit des longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle entre les deux côtés :

La formule de Heron est une autre méthode qui peut être utilisée pour calculer l'aire d'un triangle. Cette formule indique que si un triangle a des côtés de longueurs a , b et c , et si le demi-périmètre est

alors l'aire du triangle est :

,

où R est le rayon du cercle circonscrit du triangle.

Identités trigonométriques

Identités pythagoriciennes

Les identités trigonométriques suivantes sont liées au théorème de Pythagore et sont valables pour n'importe quelle valeur :


Les deuxième et troisième équations sont dérivées de la division de la première équation par et , respectivement.

la formule d'Euler

La formule d'Euler , qui indique que , produit les identités analytiques suivantes pour le sinus, le cosinus et la tangente en fonction de e et de l' unité imaginaire i :

Autres identités trigonométriques

D'autres identités trigonométriques couramment utilisées comprennent les identités de demi-angle, les identités de somme et de différence d'angle et les identités de produit à somme.

Voir également

Les références

Bibliographie

Lectures complémentaires

Liens externes