Groupe trivial - Trivial group

En mathématiques , un groupe trivial ou groupe zéro est un groupe constitué d'un seul élément. Tous ces groupes sont isomorphes , donc on parle souvent du groupe trivial. L'élément unique du groupe trivial est l' élément d'identité et il est donc généralement désigné comme tel : ou selon le contexte. Si l'opération de groupe est notée alors elle est définie par

La définition similaire le monoïde trivial est aussi un groupe puisque son seul élément est son propre inverse, et est donc le même que le groupe trivial.

Le groupe trivial ne doit pas être confondu avec l' ensemble vide , qui n'a pas d'éléments, et sans élément d'identité, ne peut pas être un groupe.

Définitions

Étant donné un groupe quelconque, le groupe constitué uniquement de l'élément d'identité est un sous - groupe de et, étant le groupe trivial, est appelé lesous - groupe trivial de

Le terme, lorsqu'il est mentionné " n'a pas de sous-groupes propres non triviaux " se réfère aux seuls sous-groupes d' être le groupe trivial et le groupe lui-même.

Propriétés

Le groupe trivial est cyclique d'ordre ; en tant que tel, il peut être noté ou Si l'opération de groupe est appelée addition, le groupe trivial est généralement noté Si l'opération de groupe est appelée multiplication, alors 1 peut être une notation pour le groupe trivial. Leur combinaison conduit à l' anneau trivial dans lequel les opérations d'addition et de multiplication sont identiques et

Le groupe trivial sert d' objet zéro dans la catégorie des groupes , c'est-à-dire qu'il est à la fois un objet initial et un objet terminal .

Le groupe trivial peut être transformé en un groupe (bi-) ordonné en l'équipant de l'ordre trivial non strict

Voir également

Les références

  • Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Trivial Group" . MathWorld .