Espace à deux dimensions - Two-dimensional space

Un espace à deux dimensions (également connu sous le nom d' espace 2D , 2-espace , ou espace bidimensionnel ) est un paramètre géométrique dans laquelle deux valeurs (appelés paramètres ) sont nécessaires pour déterminer la position d'un élément ( par exemple, le point ). L'ensemble de paires de nombres réels avec une structure appropriée sert souvent d'exemple canonique d'un espace euclidien à deux dimensions. Pour une généralisation du concept, voir dimension .

L'espace bidimensionnel peut être vu comme une projection de l' univers physique sur un plan . Habituellement, il est considéré comme un espace euclidien et les deux dimensions sont appelées longueur et largeur.

Histoire

Les livres I à IV et VI des Éléments d' Euclide traitaient de la géométrie bidimensionnelle, développant des notions telles que la similitude des formes, le théorème de Pythagore (Proposition 47), l'égalité des angles et des aires , le parallélisme, la somme des angles d'un triangle, et les trois cas dans lesquels les triangles sont « égaux » (ont la même aire), parmi de nombreux autres sujets.

Plus tard, le plan a été décrit dans un système de coordonnées dit cartésien , un système de coordonnées qui spécifie chaque point de manière unique dans un plan par une paire de coordonnées numériques , qui sont les distances signées du point à deux lignes dirigées perpendiculaires fixes , mesurées en la même unité de longueur . Chaque ligne de référence est appelée un axe de coordonnées ou simplement un axe du système, et le point où elles se rencontrent est son origine , généralement au niveau de la paire ordonnée (0, 0). Les coordonnées peuvent également être définies comme les positions des projections perpendiculaires du point sur les deux axes, exprimées en distances signées de l'origine.

L'idée de ce système a été développée en 1637 dans les écrits de Descartes et indépendamment par Pierre de Fermat , bien que Fermat a également travaillé en trois dimensions, et n'a pas publié la découverte. Les deux auteurs ont utilisé un seul axe dans leurs traitements et ont une longueur variable mesurée en référence à cet axe. Le concept d'utiliser une paire d'axes a été introduit plus tard, après La Géométrie de Descartes a été traduit en latin en 1649 par Frans van Schooten et ses étudiants. Ces commentateurs ont introduit plusieurs concepts en essayant de clarifier les idées contenues dans l'œuvre de Descartes.

Plus tard, l'avion a été considéré comme un champ , où deux points pouvaient être multipliés et, à l'exception de 0, divisés. C'était ce qu'on appelait le plan complexe . Le plan complexe est parfois appelé plan d'Argand car il est utilisé dans les diagrammes d'Argand. Ils portent le nom de Jean-Robert Argand (1768-1822), bien qu'ils aient été décrits pour la première fois par l'arpenteur-géomètre et mathématicien dano-norvégien Caspar Wessel (1745-1818). Les diagrammes d'Argand sont fréquemment utilisés pour tracer les positions des pôles et des zéros d'une fonction dans le plan complexe.

En géométrie

Systèmes de coordonnées

En mathématiques, la géométrie analytique (également appelée géométrie cartésienne) décrit chaque point de l'espace à deux dimensions au moyen de deux coordonnées. Deux axes de coordonnées perpendiculaires sont donnés qui se croisent à l' origine . Ils sont généralement étiquetés x et y . Par rapport à ces axes, la position de tout point dans l'espace à deux dimensions est donnée par une paire ordonnée de nombres réels, chaque nombre donnant la distance de ce point à l' origine mesurée le long de l'axe donné, qui est égale à la distance de ce point de l'autre axe.

Un autre système de coordonnées largement utilisé est le système de coordonnées polaires , qui spécifie un point en fonction de sa distance par rapport à l'origine et de son angle par rapport à un rayon de référence vers la droite.

Polytopes

En deux dimensions, il existe une infinité de polytopes : les polygones. Les premiers réguliers sont présentés ci-dessous :

Convexe

Le symbole de Schläfli {p} représente un p -gon régulier .

Nom Triangle
( 2-simple )
Carré
( 2-orthoplex )
( 2-cube )
Pentagone Hexagone Heptagone Octogone
Schläfli {3} {4} {5} {6} {7} {8}
Image Triangle régulier.svg Quadrilatère régulier.svg Pentagone régulier.svg Hexagone régulier.svg Heptagone régulier.svg Octogone régulier.svg
Nom Nonagon Décagone Hendécagone dodécagone Tridécagone Tétradécagone
Schläfli {9} {dix} {11} {12} {13} {14}
Image Nonagon.svg régulier decagon.svg régulier hendecagon.svg régulier dodecagon.svg régulier tridecagon.svg régulier tétradécagone régulier.svg
Nom Pentadécagone Hexadécagone Heptadécagone Octadécagone Ennéadécagone Icosagone ... n-gon
Schläfli {15} {16} {17} {18} {19} {20} { n }
Image Pentadécagone régulier.svg Hexadécagone régulier.svg Heptadécagone régulier.svg Octadécagone régulier.svg Ennéadécagon régulier.svg icosagon.svg régulier

Dégénéré (sphérique)

Le monogone régulier (ou hénagone) {1} et le digone régulier {2} peuvent être considérés comme des polygones réguliers dégénérés et existent de manière non dégénérée dans des espaces non euclidiens comme un 2-sphère , un 2-tore ou un cylindre circulaire droit .

Nom Monogone Digon
Schläfli {1} {2}
Image Monogone.svg Digon.svg

Non convexe

Il existe une infinité de polytopes réguliers non convexes à deux dimensions, dont les symboles de Schläfli sont constitués de nombres rationnels {n/m}. Ils sont appelés polygones en étoile et partagent les mêmes arrangements de sommets que les polygones réguliers convexes.

En général, pour tout nombre naturel n, il existe des étoiles polygonales régulières non convexes à n pointes avec des symboles de Schläfli { n / m } pour tout m tel que m < n /2 (à proprement parler { n / m } = { n / ( nm )}) et m et n sont premiers entre eux .

Nom Pentacle Heptagrammes Octagramme Ennéagrammes Décagramme ... n-agrammes
Schläfli {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} { n/m }
Image Polygone étoilé 5-2.svg Polygone étoilé 7-2.svg Polygone étoilé 7-3.svg Polygone étoilé 8-3.svg Polygone étoilé 9-2.svg Polygone étoilé 9-4.svg Polygone étoilé 10-3.svg  

Cercle

CERCLE 1.svg

L' hypersphère en 2 dimensions est un cercle , parfois appelé 1-sphère ( S 1 ) car c'est une variété unidimensionnelle . Dans un plan euclidien, il a la longueur 2π r et l' aire de son intérieur est

où est le rayon.

D'autres formes

Il existe une infinité d'autres formes courbes en deux dimensions, dont notamment les sections coniques : l' ellipse , la parabole et l' hyperbole .

En algèbre linéaire

Une autre façon mathématique de voir l'espace à deux dimensions se trouve dans l'algèbre linéaire , où l'idée d'indépendance est cruciale. Le plan a deux dimensions car la longueur d'un rectangle est indépendante de sa largeur. Dans le langage technique de l'algèbre linéaire, le plan est à deux dimensions car chaque point du plan peut être décrit par une combinaison linéaire de deux vecteurs indépendants .

Produit scalaire, angle et longueur

Le produit scalaire de deux vecteurs A = [ A 1 , A 2 ] et B = [ B 1 , B 2 ] est défini comme :

Un vecteur peut être représenté par une flèche. Sa grandeur est sa longueur et sa direction est la direction de la flèche. L'amplitude d'un vecteur A est notée . Dans cette perspective, le produit scalaire de deux vecteurs euclidiens A et B est défini par

où est l' angle entre A et B .

Le produit scalaire d'un vecteur A par lui-même est

qui donne

la formule de la longueur euclidienne du vecteur.

En calcul

Pente

Dans un système de coordonnées rectangulaires, le gradient est donné par

Intégrales linéaires et intégrales doubles

Pour certains champ scalaire f  : UR 2R , l'intégrale de ligne le long d' une lisse par morceaux courbe CU est défini comme étant

r : [a, b] → C est une paramétrisation bijective arbitraire de la courbe C telle que r ( a ) et r ( b ) donnent les extrémités de C et .

Pour un champ de vecteurs F  : UR 2R 2 , l'intégrale de ligne le long d' une lisse par morceaux courbe CU , dans le sens de r , est définie comme

où · est le produit scalaire et r : [a, b] → C est une paramétrisation bijective de la courbe C telle que r ( a ) et r ( b ) donnent les extrémités de C .

Une intégrale double fait référence à une intégrale dans une région D dans R 2 d'une fonction et s'écrit généralement comme suit :

Théorème fondamental des intégrales de droites

Le théorème fondamental des intégrales de ligne dit qu'une intégrale de ligne à travers un champ de gradient peut être évaluée en évaluant le champ scalaire d'origine aux extrémités de la courbe.

Laissez . Puis

Le théorème de Green

Soit C soit une positivement orientée , lisse par morceaux , courbe fermée simple , dans un plan , et que D soit la région délimitée par C . Si L et M sont des fonctions de ( x , y ) définies sur une région ouverte contenant D et y ont des dérivées partielles continues , alors

où le chemin d'intégration le long de C est dans le sens antihoraire .

En topologie

En topologie , le plan est caractérisé comme étant l'unique 2-variété contractile .

Sa dimension est caractérisée par le fait que la suppression d'un point du plan laisse un espace qui est connecté, mais pas simplement connecté .

En théorie des graphes

En théorie des graphes , un graphe planaire est un graphe qui peut être noyé dans le plan, c'est-à-dire qu'il peut être dessiné sur le plan de telle sorte que ses arêtes se coupent uniquement à leurs extrémités. En d'autres termes, il peut être dessiné de telle sorte qu'aucun bord ne se croise. Un tel dessin est appelé un graphe plan ou un plongement planaire du graphe . Un graphe plan peut être défini comme un graphe planaire avec un mappage de chaque nœud à un point sur un plan, et de chaque bord à une courbe plane sur ce plan, de telle sorte que les points extrêmes de chaque courbe sont les points mappés à partir de son extrémité nœuds, et toutes les courbes sont disjointes sauf sur leurs points extrêmes.

Voir également

Les références

  1. ^ "Géométrie analytique". Encyclopdia Britannica (Encyclopdia Britannica rédacteur en ligne). 2008.
  2. ^ Burton 2011 , p. 374
  3. ^ Les mémoires de Wessel ont été présentés à l'Académie danoise en 1797 ; L'article d'Argand a été publié en 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
  4. ^ S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Algèbre linéaire (Les contours de Schaum) (4e éd.). Colline McGraw. ISBN 978-0-07-154352-1.
  5. ^ M. Spiegel; S. Lipschutz ; D. Spellman (2009). Analyse vectorielle (Schaum's Outlines) (2e éd.). Colline McGraw. ISBN 978-0-07-161545-7.
  6. ^ Méthodes mathématiques pour la physique et l'ingénierie, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
  7. ^ Analyse vectorielle (2e édition), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (États-Unis), 2009, ISBN  978-0-07-161545-7
  8. ^ Trudeau, Richard J. (1993). Introduction à la théorie des graphes (Corrigé, réédition élargie. éd.). New York : Douvres Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Récupéré le 8 août 2012 . Ainsi, un graphe planaire, lorsqu'il est dessiné sur une surface plane, n'a pas de croisements d'arêtes ou peut être redessiné sans eux.