Espace Tychonoff - Tychonoff space

Axiomes de séparation
dans les espaces topologiques
Classement de Kolmogorov
T 0  (Kolmogorov)
T 1  (Fréchet)
T 2  (Hausdorff)
T 2 ½ (Urysohn)
complètement T 2  (entièrement Hausdorff)
T 3  (régulier Hausdorff)
T (Tychonoff)
T 4  (Hausdorff normal)
T 5  (
 Hausdorff tout à fait normal )
T 6  (
 Hausdorff parfaitement normal )

Dans la topologie et les branches connexes des mathématiques , les espaces de Tychonoff et les espaces complètement réguliers sont des sortes d' espaces topologiques . Ces conditions sont des exemples d' axiomes de séparation .

Les espaces Tychonoff sont nommés d'après Andrey Nikolayevich Tychonoff , dont le nom russe (Тихонов) est diversement traduit par "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov" etc, qui les a introduits en 1930 afin d'éviter la situation pathologique de Hausdorff espaces dont les seules fonctions continues à valeur réelle sont des applications constantes.

Définitions

Séparation d'un point d'un ensemble fermé via une fonction continue.

Un espace topologique est appelé complètement régulier si les points peuvent être séparés des ensembles fermés via des fonctions continues à valeurs réelles (limitées). En termes techniques, cela signifie : pour tout ensemble fermé et tout point, il existe une fonction continue à valeur réelle telle que et (de manière équivalente, on peut choisir deux valeurs au lieu de et et même exiger qu'il s'agisse d'une fonction bornée.)

Un espace topologique est appelé un espace Tychonoff ( en variante: T de l'espace , ou T de l'espace , ou complètement T 3 d' espace ) si elle est complètement régulier espace séparé .

Remarque. Les espaces complètement réguliers et les espaces de Tychonoff sont liés par la notion d' équivalence de Kolmogorov . Un espace topologique est Tychonoff si et seulement s'il est à la fois complètement régulier et T 0 . En revanche, un espace est parfaitement régulier si et seulement si son quotient de Kolmogorov est Tychonoff.

Conventions de nommage

Dans la littérature mathématique, différentes conventions sont appliquées lorsqu'il s'agit du terme "complètement régulier" et des axiomes "T". Les définitions de cette section sont dans l'usage moderne typique. Certains auteurs, cependant, changent le sens des deux types de termes ou utilisent tous les termes de manière interchangeable. Dans Wikipédia, les termes « complètement régulier » et « Tychonoff » sont utilisés librement et la notation « T » est généralement évitée. Dans la littérature standard, la prudence est donc de mise pour savoir quelles définitions l'auteur utilise. Pour en savoir plus sur cette question, voir Historique des axiomes de séparation .

Exemples et contre-exemples

Presque tous les espaces topologiques étudiés en analyse mathématique sont Tychonoff, ou du moins complètement réguliers. Par exemple, la vraie ligne est Tychonoff sous la topologie euclidienne standard . D'autres exemples incluent :

Propriétés

Préservation

La régularité complète et la propriété de Tychonoff se comportent bien par rapport aux topologies initiales . Plus précisément, la régularité complète est préservée en prenant des topologies initiales arbitraires et la propriété de Tychonoff est préservée en prenant des topologies initiales de séparation de points. Il s'ensuit que :

  • Chaque sous - espace d'un espace complètement régulier ou de Tychonoff a la même propriété.
  • Un espace produit non vide est complètement régulier (respectivement Tychonoff) si et seulement si chaque espace facteur est complètement régulier (respectivement Tychonoff).

Comme tous les axiomes de séparation, la régularité complète n'est pas préservée en prenant des topologies finales . En particulier, les quotients d'espaces complètement réguliers n'ont pas besoin d'être réguliers . Les quotients des espaces de Tychonoff n'ont même pas besoin d'être Hausdorff . Il existe des quotients fermés du plan de Moore qui fournissent des contre-exemples.

Fonctions continues à valeur réelle

Pour tout espace topologique X , laissez - C ( X ) désignent la famille des valeurs réelles des fonctions continues sur X et soit C b ( X ) le sous - ensemble de bornés fonctions continues à valeur réelle.

Les espaces complètement réguliers peuvent être caractérisés par le fait que leur topologie est complètement déterminée par C ( X ) ou C b ( X ). En particulier:

  • Un espace X est parfaitement régulier si et seulement s'il a la topologie initiale induite par C ( X ) ou C b ( X ).
  • Un espace X est complètement régulier si et seulement si chaque ensemble fermé peut être écrit comme l'intersection d'une famille d' ensembles zéro dans X (c'est-à-dire que les ensembles zéro forment une base pour les ensembles fermés de X ).
  • Un espace X est complètement régulier si et seulement si les ensembles cozéro de X forment une base pour la topologie de X .

Étant donné un espace topologique arbitraire ( X , ) il existe une manière universelle d'associer un espace complètement régulier à ( X , τ). Soit ρ la topologie initiale sur X induite par C τ ( X ) ou, de manière équivalente, la topologie générée par la base des ensembles cozéro dans ( X , τ). Alors ρ sera la topologie complètement régulière la plus fine sur X qui est plus grossière que τ. Cette construction est universelle en ce sens que toute fonction continue

à un espace parfaitement régulier Y sera continue sur ( X , ρ). Dans le langage de la théorie des catégories , le foncteur qui envoie ( X , ) à ( X , ρ ) est adjoint à gauche au foncteur d' inclusion CRegTop . Ainsi la catégorie des espaces complètement réguliers CReg est une sous - catégorie réflexive de Top , la catégorie des espaces topologiques . En prenant les quotients de Kolmogorov , on voit que la sous-catégorie des espaces de Tychonoff est aussi réflexive.

On peut montrer que C τ ( X ) = C ρ ( X ) dans la construction ci - dessus pour que les anneaux C ( X ) et C b ( X ) sont généralement étudiés que pour les espaces complètement réguliers X .

La catégorie des espaces de Tychonoff réels compacts est anti-équivalente à la catégorie des anneaux C ( X ) (où X est réel compact) avec les homomorphismes d'anneaux comme applications. Par exemple on peut reconstruire X à partir de C ( X ) lorsque X est (réel) compact. La théorie algébrique de ces anneaux fait donc l'objet d'études intensives. Une vaste généralisation de cette classe d'anneaux qui ressemble encore à de nombreuses propriétés des espaces de Tychonoff, mais est également applicable en géométrie algébrique réelle , est la classe des anneaux fermés réels .

Incrustations

Les espaces Tychonoff sont précisément ces espaces qui peuvent être intégrés dans des espaces Hausdorff compacts . Plus précisément, pour tout espace de Tychonoff X , il existe un espace de Hausdorff compact K tel que X est homéomorphe à un sous-espace de K .

En fait, on peut toujours choisir K comme un cube de Tychonoff (c'est-à-dire un produit éventuellement infini d' intervalles unitaires ). Chaque cube de Tychonoff est Hausdorff compact en conséquence du théorème de Tychonoff . Puisque chaque sous-espace d'un espace de Hausdorff compact est Tychonoff, on a :

Un espace topologique est Tychonoff si et seulement si il peut être noyé dans un cube de Tychonoff .

Compactage

Les plongements dans lesquels l'image de X est dense dans K sont particulièrement intéressants ; celles-ci sont appelées compactifications de Hausdorff de X . Etant donné tout plongement d'un espace de Tychonoff X dans un espace de Hausdorff compact K la clôture de l'image de X dans K est une compactification de X . Dans le même article de 1930 où Tychonoff définissait des espaces complètement réguliers, il prouvait également que tout espace de Tychonoff a une compactification de Hausdorff.

Parmi ces compactifications de Hausdorff, il y en a une unique "la plus générale", la compactification Stone-Čech β X . Il est caractérisé par la propriété universelle que, étant donné une application continue f de X à tout autre espace de Hausdorff compact Y , il existe une unique application continue g de β X à Y qui prolonge f dans le sens où f est la composition de g et j .

Structures uniformes

La régularité complète est exactement la condition nécessaire à l'existence de structures uniformes sur un espace topologique. En d'autres termes, tout espace uniforme a une topologie complètement régulière et tout espace complètement régulier X est uniformisable . Un espace topologique admet une structure uniforme séparée si et seulement si c'est Tychonoff.

Étant donné un espace X complètement régulier, il existe généralement plus d'une uniformité sur X compatible avec la topologie de X . Cependant, il y aura toujours une uniformité compatible la plus fine, appelée uniformité fine sur X . Si X est Tychonoff, alors la structure uniforme peut être choisie de telle sorte que β X devienne la complétion de l'espace uniforme X .

Citations

Bibliographie

  • Gillman, Léonard ; Jerison, Meyer (1960). Anneaux de fonctions continues . Textes d'études supérieures en mathématiques, n° 43 (éd. réimpression de Douvres). NY : Springer-Verlag. p. xiii. ISBN 978-048681688-3.
  • Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Willard, Stephen (1970). Topologie générale (Dover réimpression éd.). Reading, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.