Unité (théorie des anneaux) - Unit (ring theory)

Dans la branche de l'algèbre abstraite connue sous le nom de théorie des anneaux , une unité d'un anneau est tout élément qui a un inverse multiplicatif dans : un élément tel que

,

1 est l' identité multiplicative . L'ensemble des unités U ( R ) d'un anneau forme un groupe en multiplication.

Moins couramment, le terme unité est également utilisé pour désigner l'élément 1 de l'anneau, dans des expressions telles que l' anneau avec une unité ou un anneau unitaire , et également par exemple une matrice «unitaire» . Pour cette raison, certains auteurs appellent 1 «unité» ou «identité», et disent que R est un «anneau avec unité» ou un «anneau avec identité» plutôt qu'un «anneau avec une unité».

Exemples

L'identité multiplicative 1 et son inverse additif -1 sont toujours des unités. Plus généralement, toute racine d'unité dans un anneau R est une unité: si r n = 1 , alors r n  - 1 est un inverse multiplicatif de r . Dans un anneau non nul , l' élément 0 n'est pas une unité, donc U ( R ) n'est pas fermé sous addition. Un anneau R dans lequel chaque élément différent de zéro est une unité (c'est-à-dire U ( R ) = R - {0} ) est appelé un anneau de division (ou un champ oblique). Un anneau de division commutative est appelé un champ . Par exemple, le groupe de base du champ des nombres réels R est R - {0 }.

Entiers

Dans l'anneau des entiers Z , les seules unités sont 1 et -1 .

L' anneau d'entiers dans un champ numérique peut avoir plus d'unités en général. Par exemple, dans l'anneau Z [ 1 + 5 / 2 ] qui résulte de l' adjonction de l'entier quadratique 1 + 5 / 2 à Z , on a

( 5 + 2) ( 5 - 2) = 1

dans l'anneau, donc 5 + 2 est une unité. (En fait, le groupe élémentaire de cet anneau est infini.)

En fait, le théorème d'unité de Dirichlet décrit précisément la structure de U ( R ) : il est isomorphe à un groupe de la forme

où est le groupe (fini, cyclique) de racines de l'unité dans R et n , le rang du groupe élémentaire est

où sont les nombres de embeddings réel et le nombre de paires de encastrements complexes de F , respectivement.

Ceci récupère l'exemple ci-dessus: le groupe unitaire de (l'anneau d'entiers de) un champ quadratique réel est infini de rang 1, puisque .

Dans l'anneau Z / n Z d' entiers modulo n , les unités sont les classes de congruence (mod n ) représentées par des entiers premiers à n . Ils constituent le groupe multiplicatif d'entiers modulo n .

Polynômes et séries de puissance

Pour un anneau commutatif R , les unités de l' anneau polynomial R [ x ] sont précisément ces polynômes

de telle sorte que est une unité dans R , et les coefficients restants sont nilpotentes éléments, à savoir, satisfaire à certaines N . En particulier, si R est un domaine (n'a pas diviseurs de zéro ), puis les unités de R [ x ] sont d' accord avec celles de R . Les unités de l' anneau de la série de puissance sont précisément ces séries de puissance

de telle sorte que est une unité dans R .

Anneaux Matrix

Le groupe élémentaire de l'anneau M n ( R ) de n  ×  n matrices sur un anneau R est le groupe GL n ( R ) de matrices inversibles . Pour un anneau commutatif R , un élément A de M n ( R ) est inversible si et seulement si le déterminant de A est inversible dans R . Dans ce cas, A −1 est explicitement donné par la règle de Cramer .

En général

Pour les éléments x et y dans un anneau R , si est inversible, alors est inversible avec l'inverse . La formule de l'inverse peut être devinée, mais non prouvée, par le calcul suivant dans un anneau de séries de puissance non commutatives:

Voir l'identité de Hua pour des résultats similaires.

Groupe d'unités

Les unités d'un anneau R forment un groupe U ( R ) pour la multiplication, le groupe d'unités de R .

Les autres notations courantes pour U ( R ) sont R , R × et E ( R ) (du terme allemand Einheit ).

Un anneau commutatif est un anneau local si R - U ( R ) est un idéal maximal .

En fait, si R - U ( R ) est un idéal, alors c'est nécessairement un idéal maximal et R est local car un idéal maximal est disjoint de U ( R ) .

Si R est un corps fini , alors U ( R ) est un groupe d'ordre cyclique .

La formulation du groupe d'unités définit un foncteur U de la catégorie des anneaux à la catégorie des groupes :

tout homomorphisme d'anneau f  : R S induit un homomorphisme de groupe U ( f ): U ( R ) → U ( S ) , puisque f mappe des unités en unités.

Ce foncteur a un adjoint à gauche qui est la construction de l' anneau de groupe intégral .

Le schéma de groupe est isomorphe au schéma de groupe multiplicatif sur n'importe quelle base, donc pour tout anneau commutatif R , les groupes et sont canoniquement isomorphes à . Notez que le foncteur (c'est-à-dire ) est représentable dans le sens: pour les anneaux commutatifs R (cela découle par exemple de la relation adjointe susmentionnée avec la construction de l'anneau de groupe). Cela signifie explicitement qu'il y a une bijection naturelle entre l'ensemble des homomorphismes d'anneau et l'ensemble des éléments unitaires de R (en revanche, représente le groupe additif , le foncteur oublieux de la catégorie des anneaux commutatifs à la catégorie des groupes abéliens).

Association

Supposons que R soit commutatif. Les éléments r et s de R sont appelés associés s'il existe une unité u dans R telle que r = us ; puis écrivez r s . Dans n'importe quel anneau, des paires d' éléments inverses additifs x et - x sont associées . Par exemple, 6 et -6 sont associés en Z . En général, ~ est une relation d'équivalence sur R .

Associatedness peut également être décrite en termes de l' action de U ( R ) sur R par multiplication: Deux éléments de R sont associés si elles sont dans le même U ( R ) - orbite .

Dans un domaine intégral , l'ensemble des associés d'un élément non nul donné a la même cardinalité que U ( R ) .

La relation d'équivalence ~ peut être considérée comme l'une des relations semigroupe de Green spécialisés à la multiplicatif semigroupe d'un anneau commutatif R .

Voir également

Remarques

Citations

Sources