Cellule unitaire - Unit cell
En géométrie , biologie , minéralogie et physique de l'état solide , une cellule unitaire est une unité répétitive formée par les vecteurs couvrant les points d'un réseau. Malgré son nom évocateur, la maille unitaire (contrairement à un vecteur unitaire par exemple) n'a pas forcément de taille unitaire, ni même de taille particulière. Au contraire, la cellule primitive est l'analogie la plus proche d'un vecteur unitaire, car elle a une taille déterminée pour un réseau donné et est le bloc de construction de base à partir duquel les cellules plus grandes sont construites.
Le concept est utilisé en particulier pour décrire la structure cristalline en deux et trois dimensions, bien qu'il ait un sens dans toutes les dimensions. Un réseau peut être caractérisé par la géométrie de sa maille élémentaire. La maille élémentaire est une section du pavage (un parallélogramme ou un parallélépipède ) qui génère l'ensemble du pavage en utilisant uniquement des translations.
Il existe deux cas particuliers de maille élémentaire : la maille primitive et la maille conventionnelle . La maille primitive est une maille unitaire correspondant à un seul point du réseau , c'est la maille unitaire la plus petite possible. Dans certains cas, la symétrie complète d'une structure cristalline n'est pas évidente à partir de la cellule primitive, auquel cas une cellule conventionnelle peut être utilisée. Une cellule conventionnelle (qui peut être primitive ou non) est une cellule unitaire avec la symétrie complète du réseau et peut inclure plus d'un point de réseau. Les mailles unitaires classiques sont parallélotopiques en n dimensions.
Cellule primitive
Une cellule primitive est une cellule unitaire qui contient exactement un point de réseau. Pour les cellules unitaires en général, les points de réseau partagés par n cellules sont comptés comme1/mdes points de réseau contenus dans chacune de ces cellules ; ainsi, par exemple, une cellule unitaire primitive en trois dimensions qui n'a de points de réseau qu'à ses huit sommets est considérée comme contenant1/8de chacun d'eux. Une autre conceptualisation consiste à choisir systématiquement un seul des n points de réseau pour appartenir à la cellule unitaire donnée (de sorte que les autres points de réseau 1-n appartiennent à des cellules unitaires adjacentes).
Les vecteurs de translation primitifs a → 1 , a → 2 , a → 3 couvrent une cellule de réseau de plus petit volume pour un réseau tridimensionnel particulier, et sont utilisés pour définir un vecteur de translation cristallin
où u 1 , u 2 , u 3 sont des entiers, dont la translation laisse le réseau invariant. C'est-à-dire que pour un point du réseau r , la disposition des points apparaît la même de r′ = r + T → que de r .
Puisque la cellule primitive est définie par les axes primitifs (vecteurs) a → 1 , a → 2 , a → 3 , le volume V p de la cellule primitive est donné par le parallélépipède des axes ci-dessus comme
Habituellement, les cellules primitives en deux et trois dimensions sont choisies pour prendre la forme de parallélogrammes et de parallélépipèdes, avec un atome à chaque coin de la cellule. Ce choix de cellule primitive n'est pas unique, mais le volume des cellules primitives sera toujours donné par l'expression ci-dessus.
Cellule Wigner-Seitz
En plus des cellules primitives parallélépipédiques, pour chaque réseau de Bravais, il existe un autre type de cellule primitive appelée cellule de Wigner-Seitz. Dans la cellule de Wigner-Seitz, le point du réseau est au centre de la cellule, et pour la plupart des réseaux de Bravais, la forme n'est pas un parallélogramme ou un parallélépipède. Il s'agit d'un type de cellule de Voronoï . La cellule de Wigner-Seitz du réseau réciproque dans l' espace des impulsions est appelée la zone de Brillouin .
Cellule conventionnelle
Pour chaque réseau particulier, une cellule conventionnelle a été choisie au cas par cas par les cristallographes en fonction de la commodité du calcul. Ces alvéoles classiques peuvent comporter des points de treillis supplémentaires situés au milieu des faces ou du corps de l'alvéole. Le nombre de points de réseau, ainsi que le volume, de la cellule conventionnelle est un multiple entier (1, 2, 3 ou 4) de celui de la cellule primitive.
Deux dimensions
Pour tout réseau bidimensionnel, les cellules unitaires sont des parallélogrammes , qui dans des cas particuliers peuvent avoir des angles orthogonaux, ou des longueurs égales, ou les deux. Quatre des cinq réseaux de Bravais bidimensionnels sont représentés à l'aide de cellules primitives conventionnelles, comme indiqué ci-dessous.
Cellule primitive conventionnelle | ||||
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Nom de la forme | Parallélogramme | Rectangle | Carré | Rhombe |
Treillis de Bravais | Oblique Primitif | Primitif Rectangulaire | Carré Primitif | Hexagonale primitive |
Le réseau rectangulaire centré comporte également une cellule primitive en forme de losange, mais afin de permettre une discrimination aisée sur la base de la symétrie, il est représenté par une cellule classique qui contient deux points de réseau.
Cellule primitive | |
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Nom de la forme | Rhombe |
Cellule conventionnelle | |
Treillis de Bravais | Centré Rectangulaire |
Trois dimensions
Pour tout réseau tridimensionnel, les cellules unitaires conventionnelles sont des parallélépipèdes , qui dans des cas particuliers peuvent avoir des angles orthogonaux, ou des longueurs égales, ou les deux. Sept des quatorze réseaux de Bravais tridimensionnels sont représentés à l'aide de cellules primitives conventionnelles, comme indiqué ci-dessous.
Cellule primitive conventionnelle | |||||||
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Nom de la forme | Parallélépipède | Prisme rectangulaire oblique | Cuboïde rectangulaire | Cuboïde carré | Trapézoèdre trigonal | cube | |
Treillis de Bravais | Triclinique Primitive | Monoclinique Primitive | Orthorhombique primitif | Tétragonal primitif | Rhomboédrique primitif | Cubique primitif | Hexagonal Primitif |
Les sept autres réseaux de Bravais (dits réseaux centrés) ont également des cellules primitives en forme de parallélépipède, mais afin de permettre une discrimination aisée sur la base de la symétrie, ils sont représentés par des cellules classiques qui contiennent plus d'un point de réseau.
Cellule primitive | |||||||
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Nom de la forme | Prisme rhombique oblique | Prisme rhombique droit | |||||
Cellule conventionnelle | |||||||
Treillis de Bravais | Monoclinique centrée | Orthorhombique à base centrée | Orthorhombique centré sur le corps | Orthorhombique centrée sur le visage | Tétragonal centré sur le corps | Cubique centré sur le corps | Cubique centré |