Algèbre sur un champ - Algebra over a field

Structures algébriques
groupe -comme Grouper Semi-groupe  / Monoïde Rack et quandle Quasigroupe et boucle groupe abélien Magma Groupe de mensonges Théorie des groupes
Anneau- comme Anneau Rng Semiring Près de l'anneau Anneau commutatif Domaine intégral Champ Anneau de division Théorie des anneaux
comme en treillis Treillis Semi-treillis Treillis complémentaire Commande totale Heyting algèbre Algèbre de Boole Carte des treillis Théorie des réseaux
Module- like Module Groupe avec opérateurs Espace vectoriel Algèbre linéaire
comme l' algèbre Algèbre Associatif Non associatif Algèbre de composition algèbre de mensonge Noté Bialgèbre
v t e

En mathématiques , une algèbre sur un corps (souvent simplement appelée algèbre ) est un espace vectoriel équipé d'un produit bilinéaire . Ainsi, une algèbre est une structure algébrique constituée d'un ensemble conjointement avec les opérations de multiplication et d' addition et multiplication scalaire par des éléments d'un champ et satisfaisant les axiomes implicites par « espace vectoriel » et « bilinéaire ».

L'opération de multiplication dans une algèbre peut être associative ou non , conduisant aux notions d' algèbres associatives et d' algèbres non associatives . Étant donné un entier n , le cycle de véritables matrices carrées d'ordre n est un exemple d'une algèbre associative sur le corps des nombres réels sous addition de la matrice et la multiplication matricielle puisque la multiplication matricielle est associative. L' espace euclidien tridimensionnel avec multiplication donnée par le produit vectoriel vectoriel est un exemple d'algèbre non associative sur le champ des nombres réels puisque le produit vectoriel vectoriel est non associatif, satisfaisant plutôt l' identité de Jacobi .

Une algèbre est unitaire ou unitaire si elle a un élément d'identité par rapport à la multiplication. L'anneau des matrices carrées réelles d'ordre n forme une algèbre unitaire puisque la matrice identité d'ordre n est l'élément identité par rapport à la multiplication matricielle. C'est un exemple d'algèbre associative unitaire, un anneau (unitaire) qui est aussi un espace vectoriel.

De nombreux auteurs utilisent le terme algèbre pour désigner l' algèbre associative , ou l' algèbre associative unitaire , ou dans certains sujets tels que la géométrie algébrique , l' algèbre associative commutative unitaire .

Le remplacement du champ des scalaires par un anneau commutatif conduit à la notion plus générale d'une algèbre sur un anneau . Les algèbres ne sont pas à confondre avec les espaces vectoriels dotés d'une forme bilinéaire , comme les espaces produits internes , car, pour un tel espace, le résultat d'un produit n'est pas dans l'espace, mais plutôt dans le domaine des coefficients.

Définition et motivation

Exemples motivants

Algèbre	espace vectoriel	opérateur bilinéaire	associativité	commutativité
nombres complexes	${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	produit de nombres complexes ${\displaystyle \left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)}$	Oui	Oui
produit croisé de vecteurs 3D	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	produit croisé ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$	Non	Non ( anticommutatif )
quaternions	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	Produit Hamilton ${\style d'affichage (a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})}$	Oui	Non

Définition

Soit K un corps, et A un espace vectoriel sur K muni d'une opération binaire supplémentaire de A × A vers A , notée ici · (c'est-à-dire, si x et y sont deux éléments quelconques de A , alors x · y est un élément de A qui est appelé le produit de x et y ). Alors A est une algèbre sur K si les identités suivantes sont valables pour tous les éléments x , y , z dans A , et tous les éléments (souvent appelés scalaires ) a et b dans K :

• Distributivité à droite : ( x + y ) · z = x · z + y · z
• Distributivité à gauche : z · ( x + y ) = z · x + z · y
• Compatibilité avec les scalaires : ( ax ) · ( by ) = ( ab ) ( x · y ) .

Ces trois axiomes sont une autre façon de dire que l'opération binaire est bilinéaire . Une algèbre sur K est parfois aussi appelée une K -algèbre , et K est appelé le corps de base de A . L'opération binaire est souvent appelée multiplication dans A . La convention adoptée dans cet article est que la multiplication des éléments d'une algèbre n'est pas nécessairement associative , bien que certains auteurs utilisent le terme algèbre pour désigner une algèbre associative .

Lorsqu'une opération binaire sur un espace vectoriel est commutative , la distributivité à gauche et la distributivité à droite sont équivalentes, et, dans ce cas, une seule distributivité nécessite une preuve. En général, pour les opérations non commutatives, la distributivité à gauche et la distributivité à droite ne sont pas équivalentes et nécessitent des preuves séparées.

Concepts de base

Homomorphismes algébriques

Étant donné K de A et B , un K -algèbre homomorphism est un K - linéaire f : A → B tel que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) pour tout x , y dans A . L'espace de tous les homomorphismes de K -algèbre entre A et B est fréquemment écrit comme

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).}$

Un isomorphisme de K -algèbre est un homomorphisme bijectif de K -algèbre. À toutes fins utiles, les algèbres isomorphes ne diffèrent que par la notation.

Sous-algèbres et idéaux

Une sous - algèbre d'une algèbre sur un corps K est un sous - espace linéaire qui a la propriété que le produit de deux de ses éléments est à nouveau dans le sous-espace. En d'autres termes, une sous-algèbre d'une algèbre est un sous-ensemble non vide d'éléments fermé par addition, multiplication et multiplication scalaire. En symboles, on dit qu'un sous-ensemble L d'une K -algèbre A est une sous-algèbre si pour tout x , y dans L et c dans K , on a que x · y , x + y et cx sont tous dans L .

Dans l'exemple ci-dessus des nombres complexes considérés comme une algèbre à deux dimensions sur les nombres réels, la ligne réelle à une dimension est une sous-algèbre.

Un idéal à gauche d'une K -algèbre est un sous-espace linéaire qui a la propriété que tout élément du sous-espace multiplié à gauche par n'importe quel élément de l'algèbre produit un élément du sous-espace. En symboles, on dit qu'un sous-ensemble L d'une K -algèbre A est un idéal à gauche si pour tout x et y dans L , z dans A et c dans K , on a les trois énoncés suivants.

1. x + y est dans L ( L est fermé par addition),
2. cx est dans L ( L est fermé par multiplication scalaire),
3. z · x est dans L ( L est fermé par multiplication à gauche par des éléments arbitraires).

Si (3) était remplacé par x · z est dans L , alors cela définirait un idéal droit . Un idéal bilatéral est un sous-ensemble qui est à la fois un idéal de gauche et un idéal de droite. Le terme idéal en lui-même est généralement interprété comme un idéal biface. Bien sûr lorsque l'algèbre est commutative, alors toutes ces notions d'idéal sont équivalentes. Notez que les conditions (1) et (2) sont équivalentes à L étant un sous-espace linéaire de A . Il résulte de la condition (3) que tout idéal de gauche ou de droite est une sous-algèbre.

Il est important de noter que cette définition est différente de la définition d'un idéal d'anneau , en ce que nous demandons ici la condition (2). Bien sûr si l'algèbre est unitaire, alors la condition (3) implique la condition (2).

Extension des scalaires

Si nous avons une extension de champ F / K , c'est - à - dire un plus grand champ F qui contient K , alors il existe un moyen naturel de construire une algèbre sur F à partir de n'importe quelle algèbre sur K . C'est la même construction que l'on utilise pour créer un espace vectoriel sur un champ plus grand, à savoir le produit tensoriel . Donc si A est une algèbre sur K , alors est une algèbre sur F . ${\displaystyle V_{F}:=V\otimes _{K}F}$${\style d'affichage A_{F}}$

Types d'algèbres et exemples

Les algèbres sur les corps se présentent sous de nombreux types différents. Ces types sont spécifiés en insistant sur certains autres axiomes, tels que la commutativité ou l' associativité de l'opération de multiplication, qui ne sont pas nécessaires dans la définition large d'une algèbre. Les théories correspondant aux différents types d'algèbres sont souvent très différentes.

Algèbre unitaire

Une algèbre est unitaire ou unitaire si elle a une unité ou un élément d'identité I avec Ix = x = xI pour tout x dans l'algèbre.

Zéro algèbre

Une algèbre est dite algèbre nulle si uv = 0 pour tout u , v dans l'algèbre, à ne pas confondre avec l'algèbre à un élément. Il est intrinsèquement non unitaire (sauf dans le cas d'un seul élément), associatif et commutatif.

On peut définir une algèbre unitaire zéro en prenant la somme directe des modules d'un corps (ou plus généralement un anneau) K et un K -espace vectoriel (ou module) V , et en définissant le produit de chaque paire d'éléments de V à être zéro. Autrement dit, si λ , μ ∈ K et u , v ∈ V , puis ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + uU ) . Si e ₁ , ... e _d est une base de V , l' algèbre unitaire zéro est le quotient de l' anneau polynomial K [ E ₁ , ..., E _n ] par l' idéal engendré par les E _i E _j pour tout paire ( i , j ) .

Un exemple d'algèbre unitaire zéro est l'algèbre des nombres doubles , l'algèbre R unitaire zéro construite à partir d'un espace vectoriel réel à une dimension.

Ces algèbres unitaires à zéro peuvent être plus généralement utiles, car elles permettent de traduire n'importe quelle propriété générale des algèbres en propriétés d'espaces vectoriels ou de modules . Par exemple, la théorie des bases de Gröbner a été introduite par Bruno Buchberger pour des idéaux dans un anneau polynomial R = K [ x ₁ , ..., x _n ] sur un corps. La construction de l'algèbre unitaire zéro sur un R -module libre permet d'étendre cette théorie en tant que théorie de base de Gröbner pour les sous-modules d'un module libre. Cette extension permet, pour calculer une base de Gröbner d'un sous-module, d'utiliser, sans aucune modification, n'importe quel algorithme et n'importe quel logiciel de calcul des bases d'idéaux de Gröbner.

Algèbre associative

Des exemples d'algèbres associatives comprennent

• l'algèbre de toutes les matrices n par n sur un corps (ou anneau commutatif) K . Ici, la multiplication est une multiplication matricielle ordinaire .
• algèbres de groupe , où un groupe sert de base à l'espace vectoriel et la multiplication algébrique étend la multiplication de groupe.
• l'algèbre commutative K [ x ] de tous les polynômes sur K (voir anneau polynomial ).
• des algèbres de fonctions , telles que la R -algèbre de toutes les fonctions continues à valeurs réelles définies sur l' intervalle [0,1], ou la C -algèbre de toutes les fonctions holomorphes définies sur un ensemble ouvert fixe dans le plan complexe . Ceux-ci sont également commutatifs.
• Les algèbres d'incidence sont construites sur certains ensembles partiellement ordonnés .
• algèbres d' opérateurs linéaires , par exemple sur un espace de Hilbert . Ici, la multiplication algébrique est donnée par la composition des opérateurs. Ces algèbres portent aussi une topologie ; beaucoup d'entre eux sont définis sur un espace de Banach sous-jacent , ce qui les transforme en algèbres de Banach . Si une involution est également donnée, on obtient des B*-algèbres et des C*-algèbres . Ceux-ci sont étudiés en analyse fonctionnelle .

Algèbre non associative

Une algèbre non associative (ou algèbre distributive ) sur un corps K est un K -espace vectoriel A muni d'une application K - bilinéaire . L'utilisation de "non associatif" ici est destinée à indiquer que l'associativité n'est pas supposée, mais cela ne signifie pas qu'elle est interdite - c'est-à-dire que cela signifie "pas nécessairement associatif". ${\displaystyle A\fois A\rightarrow A}$

Les exemples détaillés dans l'article principal incluent :

• Espace euclidien R ³ avec multiplication donnée par le produit vectoriel vectoriel
• Octonions
• Algèbres de Lie
• algèbres de Jordanie
• Algèbres alternatives
• Algèbres flexibles
• Algèbres associatives de puissance

Algèbres et anneaux

La définition d'une K -algèbre associative avec unité est aussi fréquemment donnée de manière alternative. Dans ce cas, une algèbre sur un corps K est un anneau A avec un homomorphisme d'anneau

${\displaystyle \eta \colon K\à Z(A),}$

où Z ( A ) est le centre de A . Puisque η est un homomorphisme d'anneaux, alors on doit avoir soit que A est l' anneau zéro , soit que η est injectif . Cette définition est équivalente à celle ci-dessus, avec la multiplication scalaire

${\displaystyle K\fois A\à A}$

donné par

${\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}$

Étant donné deux telles K -algèbres unitaires associatives A et B , un homomorphisme unitaire de K -algèbre f : A → B est un homomorphisme d'anneaux qui commute avec la multiplication scalaire définie par η , que l'on peut écrire comme

${\style d'affichage f(ka)=kf(a)}$

pour tous et . En d'autres termes, le diagramme suivant commute : ${\displaystyle k\in K}$${\style d'affichage a\dans A}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end {matrice}}&&B\end{matrice}}}$

Coefficients de structure

Pour les algèbres sur un corps, la multiplication bilinéaire de A × A vers A est complètement déterminée par la multiplication des éléments de base de A . Inversement, une fois qu'une base pour A a été choisie, les produits des éléments de base peuvent être fixés arbitrairement, puis étendus de manière unique à un opérateur bilinéaire sur A , c'est-à-dire que la multiplication résultante satisfait les lois de l'algèbre.

Ainsi, compte tenu du domaine K , toute algèbre de dimension finie peut être spécifiée jusqu'à isomorphisme en donnant sa dimension (disons n ), et la spécification n ³ coefficients de structure c _{i , j , k} , qui sont des scalaires . Ces coefficients de structure déterminent la multiplication dans A via la règle suivante :

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k }}$

où e ₁ ,..., e _n forment une base de A .

Notez cependant que plusieurs ensembles différents de coefficients de structure peuvent donner lieu à des algèbres isomorphes.

En physique mathématique , les coefficients de structure sont généralement écrits avec des indices supérieurs et inférieurs, de manière à distinguer leurs propriétés de transformation sous des transformations de coordonnées. Plus précisément, les indices inférieurs sont des indices covariants et se transforment via des pullbacks , tandis que les indices supérieurs sont contravariants , se transformant sous pushforwards . Ainsi, les coefficients de structure sont souvent écrits c _{i , j} ^k , et leur règle définissant est écrite en utilisant la notation Einstein comme

e _i e _j = c _{i , j} ^k e _k .

Si vous appliquez ceci à des vecteurs écrits en notation index , cela devient

( xy ) ^k = c _{i , j} ^k x ⁱ y ^j .

Si K n'est qu'un anneau commutatif et non un corps, alors le même processus fonctionne si A est un module libre sur K . Si ce n'est pas le cas, alors la multiplication est encore complètement déterminée par son action sur un ensemble qui s'étend sur A ; cependant, les constantes de structure ne peuvent pas être spécifiées arbitrairement dans ce cas, et ne connaître que les constantes de structure ne spécifie pas l'algèbre jusqu'à l'isomorphisme.

Classification des algèbres associatives unitaires de faible dimension sur les nombres complexes

Les algèbres associatives unitaires bidimensionnelles, tridimensionnelles et quadridimensionnelles sur le domaine des nombres complexes ont été complètement classées jusqu'à l'isomorphisme par Eduard Study .

Il existe deux de ces algèbres à deux dimensions. Chaque algèbre se compose de combinaisons linéaires (avec des coefficients complexes) de deux éléments de base, 1 (l'élément d'identité) et a . Selon la définition d'un élément d'identité,

${\displaystyle \textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.}$

Il reste à préciser

${\displaystyle \textstyle aa=1}$   pour la première algèbre,

${\displaystyle \textstyle aa=0}$   pour la deuxième algèbre.

Il existe cinq de ces algèbres tridimensionnelles. Chaque algèbre se compose de combinaisons linéaires de trois éléments de base, 1 (l'élément d'identité), a et b . Compte tenu de la définition d'un élément d'identité, il suffit de préciser

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0}$   pour la première algèbre,

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   pour la deuxième algèbre,

${\displaystyle \textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   pour la troisième algèbre,

${\displaystyle \textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b}$   pour la quatrième algèbre,

${\displaystyle \textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   pour la cinquième algèbre.

La quatrième de ces algèbres est non commutative et les autres sont commutatives.

Généralisation : algèbre sur un anneau

Dans certains domaines des mathématiques, tels que l' algèbre commutative , il est courant de considérer le concept plus général d'une algèbre sur un anneau , où un anneau unitaire commutatif R remplace le champ K . La seule partie de la définition qui change est que A est supposé être un R -module (au lieu d'un espace vectoriel sur K ).

Algèbres associatives sur anneaux

Un anneau A est toujours une algèbre associative sur son centre , et sur les entiers . Un exemple classique d'une algèbre sur son centre, est l' algèbre split-biquaternion , qui est isomorphe à , le produit direct de deux algèbres quaternioniques . Le centre de cet anneau est , et par conséquent il a la structure d'une algèbre sur son centre, qui n'est pas un champ. Notez que l'algèbre split-biquaternion est aussi naturellement une -algèbre à 8 dimensions . ${\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

En algèbre commutative, si A est un anneau commutatif , alors tout homomorphisme d'anneau unitaire définit une structure R -module sur A , et c'est ce qu'on appelle la structure R -algèbre. Ainsi, un anneau est livré avec une structure de module naturel , puisqu'on peut prendre l'homomorphisme unique . D'autre part, tous les anneaux ne peuvent pas avoir la structure d'une algèbre sur un corps (par exemple les entiers). Voir Champ avec un élément pour une description d'une tentative de donner à chaque anneau une structure qui se comporte comme une algèbre sur un champ. ${\style d'affichage R\à A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to A}$

Voir également

• Algèbre sur une opérade
• Algèbre alternative
• algèbre de Clifford
• Algèbre différentielle
• Algèbre libre
• Algèbre géométrique
• Algèbre max-plus
• Mutation (algèbre)
• Algèbre des opérateurs
• Lemme de Zariski

Remarques

Les références

• Hazewinkel, Michiel ; Gubaréni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algèbres, anneaux et modules . 1 . Springer. ISBN 1-4020-2690-0.