Jusqu'à - Up to

En haut: dans un ensemble de sommets hexagonaux, il y a 20 partitions qui ont un sous-ensemble à trois éléments (vert) et trois sous-ensembles à un élément (non colorés). En bas: Parmi ceux-ci, il y a 4 partitions jusqu'à la rotation et 3 partitions jusqu'à la rotation et la réflexion.

Deux objets mathématiques a et b sont appelés égaux jusqu'à une relation d'équivalence R

  • si a et b sont liés par R , c'est-à-dire
  • si aRb tient, c'est-à-dire
  • si les classes d'équivalence de a et b par rapport à R sont égales.

Cette figure de style est principalement utilisée en relation avec des expressions dérivées de l'égalité, telles que l'unicité ou le nombre. Par exemple, x est jusqu'à unique de R signifie que tous les objets x en cours d' examen sont dans la même classe d'équivalence par rapport à la relation R .

De plus, la relation d'équivalence R est souvent désignée de manière plutôt implicite par une condition génératrice ou une transformation. Par exemple, l'énoncé «la factorisation des nombres premiers d'un entier est unique jusqu'à l'ordre» est une manière concise de dire que deux listes de facteurs premiers d'un entier donné sont équivalentes par rapport à la relation R qui relie deux listes si l'on peut en obtenir une en réordonnant ( permutation ) de l'autre. Comme autre exemple, l'énoncé "la solution à une intégrale indéfinie est sin ( x ), jusqu'à l'addition par une constante" emploie tacitement la relation d'équivalence R entre fonctions, définie par fRg si f - g est une fonction constante, et signifie que la solution et la fonction sin ( x ) sont égaux à cette R . Dans l'image, "il y a 4 partitions jusqu'à rotation" signifie que l'ensemble P a 4 classes d'équivalence par rapport à R défini par aRb si b peut être obtenu à partir de a par rotation; un représentant de chaque classe est montré dans la partie inférieure gauche de l'image.

Les relations d'équivalence sont souvent utilisées pour ignorer d'éventuelles différences d'objets, de sorte que "jusqu'à R " peut être compris de manière informelle comme "ignorer les mêmes subtilités que R ". Dans l'exemple de factorisation, «jusqu'à la commande» signifie «ignorer la commande particulière».

D'autres exemples comprennent «jusqu'à l'isomorphisme», «jusqu'aux permutations» et «jusqu'aux rotations», qui sont décrits dans la section des exemples .

Dans des contextes informels, les mathématiciens utilisent souvent le mot modulo (ou simplement "mod") à des fins similaires, comme dans "modulo isomorphism".

Exemples

Tetris

Pièces Tetris I, J, L, O, S, T, Z

Un exemple simple est "il y a sept tétrominos réfléchissants , jusqu'à des rotations", qui fait référence aux sept arrangements contigus possibles de tétrominos (ensembles de quatre carrés unitaires disposés pour se connecter sur au moins un côté) et qui sont souvent considérés comme les sept pièces Tetris (O, I, L, J, T, S, Z). On pourrait aussi dire "il y a cinq tétrominos, jusqu'aux reflets et aux rotations", ce qui prendrait alors en compte la perspective selon laquelle L et J (ainsi que S et Z) peuvent être considérés comme la même pièce lorsqu'ils sont réfléchis. Le jeu Tetris ne permet pas les réflexions, donc la déclaration précédente est susceptible de sembler plus pertinente.

Pour ajouter au décompte exhaustif, il n'y a pas de notation formelle pour le nombre de morceaux de tétrominos. Cependant, il est courant d'écrire qu '"il y a sept tétrominos réfléchissants (= 19 au total) jusqu'à des rotations". Ici, Tetris fournit un excellent exemple, car on pourrait simplement compter 7 pièces × 4 rotations comme 28, mais certaines pièces (comme le 2 × 2 O) ont évidemment moins de quatre états de rotation.

Huit reines

Une solution au problème des huit reines

Dans le casse - tête des huit reines , si les huit reines sont considérées comme distinctes, alors il y a 3709440 solutions distinctes. Normalement, cependant, les reines sont considérées comme identiques, et on dit généralement "il y a 92 ( ) solutions uniques jusqu'aux permutations des reines", ou "il y a 92 solutions modifient les noms des reines", signifiant que deux différents arrangements des reines sont considérés comme équivalents si les reines ont été permutées, mais les mêmes cases sur l' échiquier sont occupées par elles.

Si, en plus de traiter les reines comme identiques, les rotations et les réflexions de la planche étaient autorisées, nous n'aurions que 12 solutions distinctes jusqu'à la symétrie et la dénomination des reines , ce qui signifie que deux arrangements symétriques l'un par rapport à l'autre sont considérés comme équivalents. (pour en savoir plus, voir Huit reines puzzle § Solutions ).

Polygones

Le n -gon régulier , pour n donné , est unique jusqu'à la similitude . En d'autres termes, si tous les n -gons similaires sont considérés comme des instances du même n -gon, alors il n'y a qu'un seul n -gon régulier .

Théorie des groupes

Dans la théorie des groupes , on peut avoir un groupe G agissant sur un ensemble X , auquel cas on pourrait dire que deux éléments de X sont équivalents «jusqu'à l'action de groupe» - s'ils se trouvent dans la même orbite .

Un autre exemple typique est l'affirmation selon laquelle "il y a deux groupes différents d'ordre 4 jusqu'à l' isomorphisme ", ou " modulo isomorphisme, il y a deux groupes d'ordre 4". Cela signifie qu'il existe deux classes d'équivalence de groupes d'ordre 4 - en supposant que l'on considère les groupes comme équivalents s'ils sont isomorphes .

Analyse non standard

Un hyperréel x et sa partie standard st ( x ) sont égaux jusqu'à une différence infinitésimale .

L'informatique

En informatique, le terme up-to techniques est une notion définie avec précision qui fait référence à certaines techniques de preuve pour la bisimulation (faible) , et pour relier des processus qui ne se comportent de manière similaire que jusqu'à des étapes non observables.

Voir également

Les références

  1. ^ Nekovář, janvier (2011). "Anglais mathématique (un bref résumé)" (PDF) . Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche . Récupéré 21/11/2019 .
  2. ^ un b "Le Glossaire Définitif du Jargon Mathématique Supérieur - Jusqu'à" . Math Vault . 01/08/2019 . Récupéré 21/11/2019 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Tetromino" . mathworld.wolfram.com . Récupéré 21/11/2019 .
  4. ^ Damien Pous, Up-to techniques pour la bisimulation faible , Proc. 32e ICALP, Notes de cours en informatique , vol. 3580, Springer Verlag (2005), pp. 730–741

Lectures complémentaires