Les formules de Vieta - Vieta's formulas

En mathématiques , les formules de Vieta sont des formules qui relient les coefficients d'un polynôme aux sommes et aux produits de ses racines . Nommé d'après François Viète (plus communément appelé par la forme latinisée de son nom, "Franciscus Vieta"), les formules sont utilisées spécifiquement en algèbre .

Formules de base

Tout polynôme général de degré n

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

(avec les coefficients étant des nombres réels ou complexes et un _n 0 ) est connu par le théorème fondamental de l'algèbre pour avoir n racines complexes (pas nécessairement distinctes) r ₁ , r ₂ , ..., r _n . Les formules de Vieta relient les coefficients du polynôme aux sommes signées des produits des racines r ₁ , r ₂ , ..., r _n comme suit :

${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n }}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2 }r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}} }\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}} .\end{cas}}}$

Les formules de Vieta peuvent être écrites de manière équivalente sous la forme

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{ j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{nk}}{a_{n}}},}$

pour k = 1, 2, ..., n (les indices i _k sont triés par ordre croissant pour s'assurer que chaque produit de k racines est utilisé exactement une fois).

Les membres de gauche des formules de Vieta sont les polynômes symétriques élémentaires des racines.

Généralisation aux anneaux

Les formules de Vieta sont fréquemment utilisées avec des polynômes avec des coefficients dans n'importe quel domaine intégral R . Ensuite, les quotients appartiennent à l' anneau des fractions de R (et sont éventuellement dans R lui-même s'il s'avère inversible dans R ) et les racines sont prises dans une extension algébriquement fermée . Typiquement, R est l'anneau des entiers , le corps des fractions est le corps des nombres rationnels et le corps algébriquement clos est le corps des nombres complexes . ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage r_{i}}$

Les formules de Vieta sont alors utiles car elles fournissent des relations entre les racines sans avoir à les calculer.

Pour les polynômes sur un anneau commutatif qui n'est pas un domaine intégral, les formules de Vieta ne sont valides que lorsque est un diviseur non nul et des facteurs tels que . Par exemple, dans l'anneau des entiers modulo 8, le polynôme a quatre racines : 1, 3, 5 et 7. Les formules de Vieta ne sont pas vraies si, disons, et , parce que . Cependant, le facteur as et as , et les formules de Vieta sont valables si nous définissons soit et ou et . ${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage P(x)}$${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$${\style d'affichage P(x)=x^{2}-1}$${\style d'affichage r_{1}=1}$${\style d'affichage r_{2}=3}$${\style d'affichage P(x)\neq (x-1)(x-3)}$${\style d'affichage P(x)}$${\style d'affichage (x-1)(x-7)}$${\style d'affichage (x-3)(x-5)}$${\style d'affichage r_{1}=1}$${\style d'affichage r_{2}=7}$${\style d'affichage r_{1}=3}$${\style d'affichage r_{2}=5}$

Exemple

Les formules de Vieta appliquées au polynôme quadratique et cubique :

Les racines du polynôme quadratique satisfont ${\style d'affichage r_{1},r_{2}}$ ${\style d'affichage P(x)=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$

La première de ces équations permet de trouver le minimum (ou le maximum) de P ; voir Équation quadratique § Formules de Vieta .

Les racines du polynôme cubique satisfont ${\style d'affichage r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+ r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

Preuve

Les formules de Vieta peuvent être prouvées en développant l'égalité

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{ 1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$

(ce qui est vrai puisque sont toutes les racines de ce polynôme), en multipliant les facteurs du membre de droite, et en identifiant les coefficients de chaque puissance de${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$${\style d'affichage x.}$

Formellement, si l'on développe les termes sont précisément où est 0 ou 1, selon qu'il est inclus dans le produit ou non, et k est le nombre de qui sont exclus, donc le nombre total de facteurs dans le produit est n (compter avec la multiplicité k ) – comme il y a n choix binaires (inclus ou x ), il y a des termes – géométriquement, ceux-ci peuvent être compris comme les sommets d'un hypercube. Le regroupement de ces termes par degré donne les polynômes symétriques élémentaires en - pour x ^k , tous les produits k- fold distincts de${\style d'affichage (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$${\displaystyle (-1)^{nk}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$${\style d'affichage b_{i}}$${\style d'affichage r_{i}}$${\style d'affichage r_{i}}$${\style d'affichage x^{k}}$${\style d'affichage r_{i}}$${\style d'affichage 2^{n}}$${\style d'affichage r_{i}}$${\style d'affichage r_{i}.}$

A titre d'exemple, considérons le quadratique . En comparant des puissances identiques de , nous trouvons , et , avec lesquelles nous pouvons par exemple identifier et , qui sont les formules de Vieta pour . ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})= a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2})}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage a_{2}=a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$${\style d'affichage n=2}$

Histoire

Comme en témoigne le nom, les formules ont été découvertes par le mathématicien français du XVIe siècle François Viète , pour le cas des racines positives.

De l'avis du mathématicien britannique du XVIIIe siècle Charles Hutton , cité par Funkhouser, le principe général (pas seulement pour les racines réelles positives) a été compris pour la première fois par le mathématicien français du XVIIe siècle Albert Girard :

...[Girard fut] la première personne qui comprit la doctrine générale de la formation des coefficients des puissances à partir de la somme des racines et de leurs produits. Il fut le premier à découvrir les règles pour additionner les puissances des racines de n'importe quelle équation.

Voir également

• Les identités de Newton
• Polynôme symétrique élémentaire
• Polynôme symétrique
• Contenu (algèbre)
• Propriétés des racines polynomiales
• Théorème de Gauss-Lucas
• Théorème de la racine rationnelle

Les références

• " Théorème de Viète " , Encyclopédie des Mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7) : 357-365, doi : 10.2307/2299273 , JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Un cours d'algèbre , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; et al. (2006), Le compendium de l'OMI : une collection de problèmes suggérés pour les Olympiades internationales de mathématiques, 1959-2004 , Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6