Ensemble Vitali - Vitali set

En mathématiques , un ensemble de Vitali est un exemple élémentaire d'ensemble de nombres réels non mesurables de Lebesgue , trouvé par Giuseppe Vitali en 1905. Le théorème de Vitali est le théorème d'existence selon lequel il existe de tels ensembles. Il existe un nombre incalculable d' ensembles Vitali, et leur existence dépend de l' axiome du choix . En 1970, Robert Solovay a construit un modèle de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix où tous les ensembles de nombres réels sont mesurables de Lebesgue, en supposant l'existence d'un cardinal inaccessible (voir modèle Solovay ).

Ensembles mesurables

Certains ensembles ont une « longueur » ou une « masse » définie. Par exemple, l' intervalle [0, 1] est réputé avoir une longueur 1 ; plus généralement, un intervalle [ a , b ], a ≤ b , est réputé de longueur b  −  a . Si nous considérons de tels intervalles comme des tiges métalliques de densité uniforme, ils ont également des masses bien définies. L'ensemble [0, 1] [2, 3] est composé de deux intervalles de longueur un, nous prenons donc sa longueur totale égale à 2. En termes de masse, nous avons deux tiges de masse 1, donc la masse totale est 2.

Il y a une question naturelle ici : si E est un sous-ensemble arbitraire de la ligne réelle, a-t-il une « masse » ou une « longueur totale » ? À titre d'exemple, nous pourrions demander quelle est la masse de l'ensemble des nombres rationnels , étant donné que la masse de l'intervalle [0, 1] est 1. Les rationnels sont denses dans les réels, donc toute valeur comprise entre 0 et 1 peut paraître raisonnable.

Cependant, la généralisation la plus proche de la masse est l' additivité sigma , qui donne naissance à la mesure de Lebesgue . Il attribue une mesure de b − a à l'intervalle [ a , b ] , mais attribuera une mesure de 0 à l'ensemble des nombres rationnels car il est dénombrable . Tout ensemble qui a une mesure de Lebesgue bien définie est dit « mesurable », mais la construction de la mesure de Lebesgue (par exemple en utilisant le théorème d'extension de Carathéodory ) ne rend pas évident l'existence d'ensembles non mesurables. La réponse à cette question implique l' axiome du choix .

Construction et preuve

Un ensemble de Vitali est un sous-ensemble de l' intervalle [0, 1] de nombres réels tel que, pour chaque nombre réel , il existe exactement un nombre tel qu'il soit un nombre rationnel . Les ensembles de Vitali existent parce que les nombres rationnels Q forment un sous - groupe normal des nombres réels R par addition , et cela permet la construction du groupe quotient additif R / Q de ces deux groupes qui est le groupe formé par les cosets des nombres rationnels comme un sous-groupe des nombres réels sous addition. Ce groupe R / Q est constitué de "copies décalées" disjointes de Q dans le sens où chaque élément de ce groupe quotient est un ensemble de la forme Q + r pour un certain r dans R . Les innombrables éléments de R / Q divisent R , et chaque élément est dense dans R . Chaque élément de R / Q coupe [0, 1], et l' axiome de choix garantit l'existence d'un sous-ensemble de [0, 1] contenant exactement un représentant de chaque élément de R / Q . Un ensemble formé de cette façon est appelé un ensemble Vitali. ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage r}$${\style d'affichage v\dans V}$${\displaystyle vr}$

Chaque ensemble Vitali est indénombrable et irrationnel pour tout . ${\style d'affichage V}$${\displaystyle vu}$${\displaystyle u,v\in V,u\neq v}$

Non mesurabilité

Une énumération possible des nombres rationnels

Un ensemble Vitali n'est pas mesurable. Pour montrer cela, nous supposons que V est mesurable et nous en dérivons une contradiction. Soit q ₁ , q ₂ , ... une énumération des nombres rationnels dans [−1, 1] (rappelons que les nombres rationnels sont dénombrables ). A partir de la construction de V , notez que les ensembles traduits , k = 1, 2, ... sont deux à deux disjoints, et notez en outre que ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]}$.

Pour voir la première inclusion, considérons n'importe quel nombre réel r dans [0, 1] et soit v le représentant dans V pour la classe d'équivalence [ r ] ; alors r - v = q _i pour un certain nombre rationnel q _i dans [-1, 1] ce qui implique que r est dans V _i .

Appliquer la mesure de Lebesgue à ces inclusions en utilisant l' additivité sigma :

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

Parce que la mesure de Lebesgue est invariante par translation, et donc ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

Mais c'est impossible. La somme d'un nombre infini de copies de la constante λ( V ) donne soit zéro soit l'infini, selon que la constante est nulle ou positive. Dans aucun des cas, la somme dans [1, 3]. Donc V ne peut pas avoir été mesurable après tout, c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue λ ne doit pas définir de valeur pour λ( V ).

Voir également

• Ensemble non mesurable
• Paradoxe Banach-Tarski

Les références

Bibliographie

• Herrlich, Horst (2006). Axiome du choix . Springer. p. 120 .
• Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologne, Astuce. Gamberini et Parmeggiani .