Longueur d'onde - Wavelength

La longueur d'onde d'une onde sinusoïdale , , peut être mesurée entre deux points quelconques avec la même phase , comme entre les crêtes (en haut) ou les creux (en bas) ou les passages à zéro correspondants, comme indiqué.

En physique , la longueur d'onde est la période spatiale d'une onde périodique, c'est-à-dire la distance sur laquelle la forme de l'onde se répète. C'est la distance entre des points correspondants consécutifs de la même phase sur l'onde, tels que deux crêtes, creux ou passages par zéro adjacents , et est une caractéristique à la fois des ondes progressives et des ondes stationnaires , ainsi que d'autres modèles d'ondes spatiales. L' inverse de la longueur d'onde s'appelle la fréquence spatiale . La longueur d'onde est communément désignée par la lettre grecque lambda (λ). Le terme longueur d'onde est aussi parfois appliqué aux ondes modulées , et aux enveloppes sinusoïdales d'ondes modulées ou formées par interférence de plusieurs sinusoïdes.

En supposant qu'une onde sinusoïdale se déplace à une vitesse d'onde fixe, la longueur d'onde est inversement proportionnelle à la fréquence de l'onde : les ondes avec des fréquences plus élevées ont des longueurs d'onde plus courtes et les fréquences plus basses ont des longueurs d'onde plus longues.

La longueur d'onde dépend du milieu (par exemple, le vide, l'air ou l'eau) traversé par une onde. Des exemples d'ondes sont les ondes sonores , la lumière , les ondes d'eau et les signaux électriques périodiques dans un conducteur . Une onde sonore est une variation de la pression de l' air , tandis que dans la lumière et d'autres rayonnements électromagnétiques, la force du champ électrique et magnétique varie. Les vagues d'eau sont des variations de la hauteur d'un plan d'eau. Dans une vibration de réseau cristallin , les positions atomiques varient.

La gamme de longueurs d'onde ou de fréquences pour les phénomènes ondulatoires est appelée un spectre . Le nom provient du spectre de la lumière visible mais peut maintenant être appliqué à l'ensemble du spectre électromagnétique ainsi qu'à un spectre sonore ou à un spectre de vibration .

Ondes sinusoïdales

Dans les milieux linéaires , tout modèle d'onde peut être décrit en termes de propagation indépendante de composantes sinusoïdales. La longueur d' onde λ d'une forme d' onde sinusoïdale se déplaçant à vitesse constante v est donnée par

v est appelé la vitesse de phase (amplitude de la vitesse de phase ) de l'onde et f est la fréquence de l'onde . Dans un milieu dispersif , la vitesse de phase elle-même dépend de la fréquence de l'onde, ce qui rend la relation entre la longueur d'onde et la fréquence non linéaire.

Dans le cas d' un rayonnement électromagnétique —comme la lumière— en espace libre , la vitesse de phase est la vitesse de la lumière , environ 3×10 8  m/s. Ainsi la longueur d'onde d'une onde électromagnétique (radio) de 100 MHz est d'environ : 3×10 8  m/s divisé par 10 8  Hz = 3 mètres. La longueur d'onde de la lumière visible va du rouge foncé , environ 700 nm , au violet , environ 400 nm (pour d'autres exemples, voir spectre électromagnétique ).

Pour les ondes sonores dans l'air, la vitesse du son est de 343 m/s (à température ambiante et pression atmosphérique ). Les longueurs d'onde des fréquences sonores audibles par l'oreille humaine (20  Hz –20 kHz) sont ainsi comprises respectivement entre 17 m et 17  mm environ  . Des fréquences un peu plus élevées sont utilisées par les chauves-souris afin qu'elles puissent résoudre des cibles inférieures à 17 mm. Les longueurs d'onde du son audible sont beaucoup plus longues que celles de la lumière visible.

Les ondes stationnaires sinusoïdales dans une boîte qui contraint les points d'extrémité à être des nœuds auront un nombre entier de demi-longueurs d'onde adaptées à la boîte.
Une onde stationnaire (noir) représentée comme la somme de deux ondes se propageant se déplaçant dans des directions opposées (rouge et bleu)

Ondes stationnaires

Une onde stationnaire est un mouvement ondulatoire qui reste au même endroit. Une onde stationnaire sinusoïdale comprend des points stationnaires sans mouvement, appelés nœuds , et la longueur d'onde est le double de la distance entre les nœuds.

La figure du haut montre trois ondes stationnaires dans une boîte. On considère que les parois de la boîte nécessitent que l'onde ait des nœuds sur les parois de la boîte (un exemple de conditions aux limites ) déterminant quelles longueurs d'onde sont autorisées. Par exemple, pour une onde électromagnétique, si la boîte a des parois métalliques idéales, la condition de nœuds aux parois résulte du fait que les parois métalliques ne peuvent pas supporter un champ électrique tangentiel, forçant l'onde à avoir une amplitude nulle au niveau de la paroi.

L'onde stationnaire peut être considérée comme la somme de deux ondes sinusoïdales progressives de vitesses opposées. Par conséquent, la longueur d'onde, la période et la vitesse de l'onde sont liées comme pour une onde progressive. Par exemple, la vitesse de la lumière peut être déterminée à partir de l'observation d'ondes stationnaires dans une boîte métallique contenant un vide idéal.

Représentation mathématique

Voyager ondes sinusoïdales sont souvent représentés mathématiquement en fonction de leur vitesse v (dans la direction x), la fréquence f et de longueur d' onde λ en tant que:

y est la valeur de l'onde à n'importe quelle position x et temps t , et A est l' amplitude de l'onde. Ils sont aussi communément exprimés en termes de nombre d' onde k (2π fois la réciproque de la longueur d'onde) et de fréquence angulaire ω (2π fois la fréquence) comme :

dans laquelle la longueur d'onde et le nombre d'onde sont liés à la vitesse et à la fréquence comme :

ou

Dans la deuxième forme donnée ci-dessus, la phase ( kxωt ) est souvent généralisée à ( krωt ) , en remplaçant le nombre d'onde k par un vecteur d'onde qui spécifie la direction et le nombre d'onde d'une onde plane dans l' espace 3 , paramétré par le vecteur de position r . Dans ce cas, le nombre d'onde k , l'amplitude de k , est toujours dans la même relation avec la longueur d'onde comme indiqué ci-dessus, v étant interprété comme la vitesse scalaire dans la direction du vecteur d'onde. La première forme, utilisant la longueur d'onde réciproque dans la phase, ne se généralise pas aussi facilement à une onde dans une direction arbitraire.

Les généralisations aux sinusoïdes d'autres phases et aux exponentielles complexes sont également courantes ; voir onde plane . La convention typique d'utiliser la phase de cosinus au lieu de la phase de sinus lors de la description d'une onde est basée sur le fait que le cosinus est la partie réelle de l'exponentielle complexe dans l'onde

Médias généralistes

La longueur d'onde est diminuée dans un milieu à propagation plus lente.
Réfraction : en entrant dans un milieu où sa vitesse est plus faible, l'onde change de direction.
Séparation des couleurs par un prisme (cliquez pour l'animation)

La vitesse d'une onde dépend du milieu dans lequel elle se propage. En particulier, la vitesse de la lumière dans un milieu est inférieure à celle dans le vide , ce qui signifie qu'une même fréquence correspondra à une longueur d'onde plus courte dans le milieu que dans le vide, comme le montre la figure de droite.

Ce changement de vitesse lors de l'entrée dans un milieu provoque une réfraction , ou un changement de direction des ondes qui rencontrent l'interface entre les médias sous un certain angle. Pour les ondes électromagnétiques , cette modification de l'angle de propagation est régie par la loi de Snell .

La vitesse d'onde dans un milieu peut non seulement différer de celle d'un autre, mais la vitesse varie généralement avec la longueur d'onde. En conséquence, le changement de direction lors de l'entrée dans un milieu différent change avec la longueur d'onde de l'onde.

Pour les ondes électromagnétiques, la vitesse dans un milieu est régie par son indice de réfraction selon

c est la vitesse de la lumière dans le vide et n0 ) est l'indice de réfraction du milieu à la longueur d'onde λ 0 , où ce dernier est mesuré dans le vide plutôt que dans le milieu. La longueur d'onde correspondante dans le milieu est

Lorsque des longueurs d'onde de rayonnement électromagnétique sont citées, la longueur d'onde dans le vide est généralement visée à moins que la longueur d'onde ne soit spécifiquement identifiée comme la longueur d'onde dans un autre milieu. En acoustique, où un milieu est essentiel pour que les ondes existent, la valeur de longueur d'onde est donnée pour un milieu spécifié.

La variation de la vitesse de la lumière avec la longueur d'onde est connue sous le nom de dispersion , et est également responsable du phénomène familier dans lequel la lumière est séparée en couleurs composantes par un prisme . La séparation se produit lorsque l'indice de réfraction à l'intérieur du prisme varie avec la longueur d'onde, de sorte que différentes longueurs d'onde se propagent à différentes vitesses à l'intérieur du prisme, les obligeant à se réfracter à différents angles. La relation mathématique qui décrit comment la vitesse de la lumière dans un milieu varie avec la longueur d'onde est connue sous le nom de relation de dispersion .

Médias non uniformes

Diverses longueurs d'onde locales sur une base de crête à crête dans une vague océanique approchant le rivage

La longueur d'onde peut être un concept utile même si l'onde n'est pas périodique dans l'espace. Par exemple, dans une vague océanique approchant le rivage, illustrée sur la figure, la vague entrante ondule avec une longueur d'onde locale variable qui dépend en partie de la profondeur du fond marin par rapport à la hauteur de la vague. L'analyse de la vague peut être basée sur la comparaison de la longueur d'onde locale avec la profondeur de l'eau locale.

Une onde sinusoïdale se déplaçant dans un milieu non uniforme, avec perte

Les ondes qui sont sinusoïdales dans le temps mais se propagent dans un milieu dont les propriétés varient avec la position (un milieu non homogène ) peuvent se propager à une vitesse qui varie avec la position et, par conséquent, peuvent ne pas être sinusoïdales dans l'espace. La figure de droite montre un exemple. Au fur et à mesure que l'onde ralentit, la longueur d'onde se raccourcit et l'amplitude augmente ; après un lieu de réponse maximale, la courte longueur d'onde est associée à une perte élevée et l'onde s'éteint.

L'analyse des équations différentielles de tels systèmes se fait souvent de manière approximative, en utilisant la méthode WKB (également connue sous le nom de méthode de Liouville-Green ). La méthode intègre la phase à travers l'espace en utilisant un nombre d'onde local , qui peut être interprété comme indiquant une "longueur d'onde locale" de la solution en fonction du temps et de l'espace. Cette méthode traite le système localement comme s'il était uniforme avec les propriétés locales ; en particulier, la vitesse d'onde locale associée à une fréquence est la seule chose nécessaire pour estimer le nombre d'onde ou la longueur d'onde locale correspondante. De plus, la méthode calcule une amplitude changeant lentement pour satisfaire d'autres contraintes des équations ou du système physique, comme pour la conservation de l'énergie dans l'onde.

Cristaux

Une onde sur une ligne d'atomes peut être interprétée selon une variété de longueurs d'onde.

Les ondes dans les solides cristallins ne sont pas continues, car elles sont composées de vibrations de particules discrètes disposées en un réseau régulier. Cela produit un repliement car la même vibration peut être considérée comme ayant une variété de longueurs d'onde différentes, comme le montre la figure. Les descriptions utilisant plus d'une de ces longueurs d'onde sont redondantes ; il est classique de choisir la longueur d'onde la plus longue qui correspond au phénomène. La gamme de longueurs d'onde suffisante pour décrire toutes les ondes possibles dans un milieu cristallin correspond aux vecteurs d'onde confinés à la zone de Brillouin .

Cette indétermination de la longueur d'onde dans les solides est importante dans l'analyse des phénomènes ondulatoires tels que les bandes d'énergie et les vibrations du réseau . C'est mathématiquement équivalent au repliement d'un signal qui est échantillonné à intervalles discrets.

Formes d'onde plus générales

Vagues quasi-périodiques sur des eaux peu profondes

Le concept de longueur d'onde est le plus souvent appliqué aux ondes sinusoïdales ou presque sinusoïdales, car dans un système linéaire, la sinusoïde est la forme unique qui se propage sans changement de forme - juste un changement de phase et potentiellement un changement d'amplitude. La longueur d'onde (ou alternativement nombre d'onde ou vecteur d'onde ) est une caractérisation de l'onde dans l'espace, qui est fonctionnellement liée à sa fréquence, telle que contrainte par la physique du système. Les sinusoïdes sont les solutions d' ondes progressives les plus simples , et des solutions plus complexes peuvent être construites par superposition .

Dans le cas particulier des milieux sans dispersion et uniformes, les ondes autres que les sinusoïdes se propagent avec une forme constante et une vitesse constante. Dans certaines circonstances, des ondes de forme immuable peuvent également se produire dans des milieux non linéaires ; par exemple, la figure montre des vagues océaniques dans des eaux peu profondes qui ont des crêtes plus nettes et des creux plus plats que ceux d'une sinusoïde, typique d'une onde cnoïdale , une onde progressive ainsi nommée parce qu'elle est décrite par la fonction elliptique de Jacobi d' ordre m , généralement noté cn ( x ; m ) . Les ondes océaniques de grande amplitude avec certaines formes peuvent se propager sans changement, en raison des propriétés du milieu des ondes de surface non linéaires.

Longueur d'onde d'une forme d'onde périodique mais non sinusoïdale.

Si une onde progressive a une forme fixe qui se répète dans l'espace ou dans le temps, c'est une onde périodique . De telles ondes sont parfois considérées comme ayant une longueur d'onde même si elles ne sont pas sinusoïdales. Comme le montre la figure, la longueur d'onde est mesurée entre des points correspondants consécutifs sur la forme d'onde.

Paquets de vagues

Un paquet d'ondes qui se propage

Les paquets d'ondes localisés , « éclats » d'action d'ondes où chaque paquet d'ondes se déplace comme une unité, trouvent une application dans de nombreux domaines de la physique. Un paquet d'ondes a une enveloppe qui décrit l'amplitude globale de l'onde ; à l'intérieur de l'enveloppe, la distance entre des pics ou des creux adjacents est parfois appelée longueur d'onde locale . Un exemple est montré dans la figure. En général, l' enveloppe du paquet d'ondes se déplace à une vitesse différente des ondes constitutives.

En utilisant l'analyse de Fourier , les paquets d'ondes peuvent être analysés en sommes infinies (ou intégrales) d'ondes sinusoïdales de différents nombres d'ondes ou longueurs d'onde.

Louis de Broglie a postulé que toutes les particules avec une valeur spécifique de quantité de mouvement p ont une longueur d'onde = h/p , où h est la constante de Planck . Cette hypothèse était à la base de la mécanique quantique . De nos jours, cette longueur d'onde est appelée longueur d'onde de de Broglie . Par exemple, les électrons d'un écran CRT ont une longueur d'onde de De Broglie d'environ 10 -13 m. Pour éviter que la fonction d'onde d'une telle particule ne se répande dans tout l'espace, de Broglie a proposé d'utiliser des paquets d'ondes pour représenter des particules localisées dans l'espace. L'étalement spatial du paquet d'ondes et l'étalement des nombres d' ondes des sinusoïdes qui composent le paquet correspondent aux incertitudes sur la position et la quantité de mouvement de la particule, dont le produit est borné par le principe d'incertitude de Heisenberg .

Interférence et diffraction

Interférence à double fente

Modèle d'intensité lumineuse sur un écran pour la lumière passant à travers deux fentes. Les étiquettes sur la droite se réfèrent à la différence des longueurs de chemin des deux fentes, qui sont idéalisées ici comme des sources ponctuelles.

Lorsque des formes d'onde sinusoïdales s'ajoutent, elles peuvent se renforcer (interférence constructive) ou s'annuler (interférence destructive) en fonction de leur phase relative. Ce phénomène est utilisé dans l' interféromètre . Un exemple simple est une expérience due à Young où la lumière est passée à travers deux fentes . Comme le montre la figure, la lumière passe à travers deux fentes et brille sur un écran. Le trajet de la lumière vers une position sur l'écran est différent pour les deux fentes, et dépend de l'angle que fait le trajet avec l'écran. Si nous supposons que l'écran est suffisamment éloigné des fentes (c'est-à-dire que s est grand par rapport à la séparation des fentes d ) alors les chemins sont presque parallèles et la différence de chemin est simplement d sin θ. Par conséquent, la condition d'interférence constructive est :

m est un entier, et pour l'interférence destructive est :

Ainsi, si la longueur d'onde de la lumière est connue, la séparation des fentes peut être déterminée à partir du motif d'interférence ou des franges , et vice versa .

Pour plusieurs fentes, le motif est

q est le nombre de fentes et g est la constante de réseau. Le premier facteur, I 1 , est le résultat d'une seule fente, qui module le deuxième facteur variant plus rapidement qui dépend du nombre de fentes et de leur espacement. Dans la figure I 1 a été mis à l'unité, une approximation très grossière.

L'effet des interférences est de redistribuer la lumière, de sorte que l'énergie contenue dans la lumière n'est pas altérée, juste là où elle apparaît.

Diffraction à fente unique

Le motif de diffraction d'une fente double a une enveloppe à fente unique .

La notion de différence de chemin et d'interférence constructive ou destructive utilisée ci-dessus pour l'expérience à double fente s'applique également à l'affichage d'une seule fente de lumière interceptée sur un écran. Le principal résultat de cette interférence est de diffuser la lumière de la fente étroite dans une image plus large sur l'écran. Cette distribution de l'énergie des vagues est appelée diffraction .

On distingue deux types de diffraction, selon la séparation entre la source et l'écran : la diffraction de Fraunhofer ou diffraction en champ lointain à grandes séparations et la diffraction de Fresnel ou diffraction en champ proche à séparations rapprochées.

Dans l'analyse de la fente unique, la largeur non nulle de la fente est prise en compte, et chaque point de l'ouverture est pris comme source d'une contribution au faisceau lumineux ( ondelettes de Huygens ). Sur l'écran, la lumière arrivant de chaque position à l'intérieur de la fente a une longueur de trajet différente, bien qu'éventuellement une très petite différence. Par conséquent, des interférences se produisent.

Dans le diagramme de diffraction de Fraunhofer suffisamment éloigné d'une seule fente, dans une approximation aux petits angles , l'étalement d'intensité S est lié à la position x via une fonction sinc au carré :

 avec 

L est la largeur de la fente, R est la distance entre le motif (sur l'écran) et la fente et est la longueur d'onde de la lumière utilisée. La fonction S a des zéros où u est un entier non nul, où sont aux valeurs x à une proportion de séparation à la longueur d'onde.

Résolution limitée par la diffraction

La diffraction est la limitation fondamentale du pouvoir de résolution des instruments optiques, tels que les télescopes (y compris les radiotélescopes ) et les microscopes . Pour une ouverture circulaire, la tache image à diffraction limitée est connue sous le nom de disque d'Airy ; la distance x dans la formule de diffraction à fente unique est remplacée par la distance radiale r et le sinus est remplacé par 2 J 1 , où J 1 est une fonction de Bessel du premier ordre .

La taille spatiale résoluble des objets observés au microscope est limitée selon le critère de Rayleigh , du rayon au premier zéro du disque d'Airy, à une taille proportionnelle à la longueur d'onde de la lumière utilisée, et en fonction de l' ouverture numérique :

où l'ouverture numérique est définie comme pour étant le demi-angle du cône de rayons accepté par l' objectif du microscope .

La taille angulaire de la partie lumineuse centrale (rayon au premier zéro du disque d'Airy ) de l'image diffractée par une ouverture circulaire, une mesure la plus couramment utilisée pour les télescopes et les appareils photo, est :

où est la longueur d'onde des ondes focalisées pour l'imagerie, D le diamètre de la pupille d'entrée du système d'imagerie, dans les mêmes unités, et la résolution angulaire est en radians.

Comme avec d'autres motifs de diffraction, le motif évolue proportionnellement à la longueur d'onde, de sorte que des longueurs d'onde plus courtes peuvent conduire à une résolution plus élevée.

Sous-longueur d'onde

Le terme sous- longueur d' onde est utilisé pour décrire un objet ayant une ou plusieurs dimensions inférieures à la longueur de l'onde avec laquelle l'objet interagit. Par exemple, le terme fibre optique de diamètre inférieur à la longueur d'onde désigne une fibre optique dont le diamètre est inférieur à la longueur d'onde de la lumière se propageant à travers elle.

Une particule de sous-longueur d'onde est une particule plus petite que la longueur d'onde de la lumière avec laquelle elle interagit (voir diffusion Rayleigh ). Les ouvertures sous-longueur d'onde sont des trous plus petits que la longueur d'onde de la lumière se propageant à travers eux. De telles structures ont des applications dans la transmission optique extraordinaire et les guides d'ondes en mode zéro , entre autres domaines de la photonique .

La sous-longueur d'onde peut également faire référence à un phénomène impliquant des objets de sous-longueur d'onde ; par exemple, l' imagerie sous-longueur d'onde .

Longueur d'onde angulaire

Relation entre la longueur d'onde, la longueur d'onde angulaire et d'autres propriétés d'onde.

Une quantité liée à la longueur d' onde est la longueur d' onde angulaire (également connu sous le nom de longueur d' onde réduite ), le plus souvent symbolisée par ƛ (lambda-bar). Elle est égale à la « régulière » longueur d' onde « réduite » par un facteur de 2π ( ƛ = λ / 2π). Il est généralement rencontré en mécanique quantique, où il est utilisé en combinaison avec la constante de Planck réduite (symbole ħ , h-bar) et la fréquence angulaire (symbole ω ) ou le nombre d'onde angulaire (symbole k ).

Voir également

Les références

Liens externes