D'où viennent les mathématiques -Where Mathematics Comes From

D'où viennent les mathématiques
D'où viennent les mathématiques.jpg
Auteur George Lakoff
Rafael E. Nuñez
Sujet Cognition numérique
Publié 2000
Pages 492
ISBN 978-0-465-03771-1
OCLC 44045671

D'où viennent les mathématiques : comment l'esprit incarné fait naître les mathématiques (ci-après WMCF ) est un livre de George Lakoff , un linguiste cognitif , et de Rafael E. Núñez , un psychologue . Publié en 2000, WMCF cherche à fonder une science cognitive des mathématiques , une théorie desmathématiques incarnées basée sur la métaphore conceptuelle .

Définition WMCF des mathématiques

Les mathématiques constituent cette partie du système conceptuel humain qui est spéciale de la manière suivante :

"Il est précis, cohérent, stable à travers le temps et les communautés humaines, symbolisable, calculable, généralisable, universellement disponible, cohérent dans chacun de ses sujets, et efficace en tant qu'outil général de description, d'explication et de prédiction dans un grand nombre de activités, [allant des] sports, au bâtiment, aux affaires, à la technologie et à la science." ( WMCF , p. 50, 377)

Nikolay Lobatchevsky a dit "Il n'y a pas de branche des mathématiques, aussi abstraite soit-elle, qui ne puisse un jour être appliquée aux phénomènes du monde réel." Un type courant de processus de mélange conceptuel semble s'appliquer à l'ensemble de la procession mathématique.

Cognition humaine et mathématiques

Le plan complexe : une métaphore visuelle de l'idée abstraite d'un nombre complexe , qui permet de visualiser les opérations sur des nombres complexes sous forme de mouvements simples dans l'espace ordinaire

Le but avoué de Lakoff et Núñez est de commencer à jeter les bases d'une compréhension véritablement scientifique des mathématiques, fondée sur des processus communs à toute la cognition humaine. Ils constatent que quatre processus distincts mais liés structurent métaphoriquement l'arithmétique de base : la collecte d'objets, la construction d'objets, l'utilisation d'un bâton de mesure et le déplacement le long d'un chemin.

WMCF s'appuie sur des livres antérieurs de Lakoff (1987) et de Lakoff et Johnson (1980, 1999), qui analysent de tels concepts de métaphore et de schémas d'images issus des sciences cognitives de deuxième génération . Certains des concepts de ces livres antérieurs, tels que les idées techniques intéressantes de Lakoff (1987), sont absents du WMCF .

Lakoff et Núñez soutiennent que les mathématiques résultent de l'appareil cognitif humain et doivent donc être comprises en termes cognitifs. WMCF préconise (et inclut quelques exemples de) une analyse d'idées cognitives des mathématiques qui analyse les idées mathématiques en termes d'expériences humaines, de métaphores, de généralisations et d'autres mécanismes cognitifs qui les donnent naissance. Une éducation mathématique standard ne développe pas de telles techniques d'analyse d'idées parce qu'elle ne poursuit pas les considérations de A) quelles structures de l'esprit lui permettent de faire des mathématiques ou B) la philosophie des mathématiques .

Lakoff et Núñez commencent par passer en revue la littérature psychologique, concluant que les êtres humains semblent avoir une capacité innée, appelée subitizing , à compter, additionner et soustraire jusqu'à environ 4 ou 5. Ils documentent cette conclusion en examinant la littérature, publiée dans un récent décennies, décrivant des expériences avec des sujets nourrissons. Par exemple, les nourrissons deviennent rapidement excités ou curieux lorsqu'ils sont confrontés à des situations « impossibles », telles que l'apparition de trois jouets alors que seulement deux étaient initialement présents.

Les auteurs soutiennent que les mathématiques vont bien au-delà de ce niveau très élémentaire en raison d'un grand nombre de constructions métaphoriques . Par exemple, la position pythagoricienne selon laquelle tout est nombre, et la crise de confiance associée à la découverte de l'irrationalité de la racine carrée de deux , découle uniquement d'une relation métaphorique entre la longueur de la diagonale d'un carré, et le nombre possible d'objets.

Une grande partie de WMCF traite des concepts importants d' infini et de processus limites, cherchant à expliquer comment des humains finis vivant dans un monde fini pourraient finalement concevoir l' infini réel . Ainsi, une grande partie de WMCF est, en effet, une étude des fondements épistémologiques du calcul . Lakoff et Núñez concluent que si l' infini potentiel n'est pas métaphorique, l'infini réel l'est. De plus, ils considèrent que toutes les manifestations de l'infini actuel sont des instances de ce qu'ils appellent la « métaphore de base de l'infini », telle que représentée par la séquence toujours croissante 1, 2, 3, ...

WMCF rejette catégoriquement la philosophie platonicienne des mathématiques . Ils soulignent que tout ce que nous savons et pouvons jamais connaître, ce sont les mathématiques humaines , les mathématiques issues de l'intellect humain. La question de savoir s'il existe des mathématiques "transcendantes" indépendantes de la pensée humaine est une question dénuée de sens, comme demander si les couleurs sont transcendantes de la pensée humaine - les couleurs ne sont que des longueurs d'onde de lumière variables, c'est notre interprétation des stimuli physiques qui en font des couleurs.

WMCF (p. 81) critique également l'accent mis par les mathématiciens sur le concept de fermeture . Lakoff et Núñez soutiennent que l'attente de la fermeture est un artefact de la capacité de l'esprit humain à relier des concepts fondamentalement différents via la métaphore.

La WMCF se préoccupe principalement de proposer et d'établir une vision alternative des mathématiques, une conception ancrée dans les réalités de la biologie humaine et de l'expérience. Ce n'est pas un ouvrage de mathématiques techniques ou de philosophie. Lakoff et Núñez ne sont pas les premiers à affirmer que les approches conventionnelles de la philosophie des mathématiques sont imparfaites. Par exemple, ils ne semblent pas très familiers avec le contenu de Davis et Hersh (1981), même si le livre reconnaît chaleureusement le soutien de Hersh.

Lakoff et Núñez citent Saunders Mac Lane (l'inventeur, avec Samuel Eilenberg , de la théorie des catégories ) à l'appui de leur position. Mathematics, Form and Function (1986), un aperçu des mathématiques destiné aux philosophes, propose que les concepts mathématiques soient finalement ancrés dans les activités humaines ordinaires, principalement les interactions avec le monde physique.

Les éducateurs se sont intéressés à ce que la WMCF suggère sur la façon dont les mathématiques sont apprises et sur les raisons pour lesquelles les élèves trouvent certains concepts élémentaires plus difficiles que d'autres.

Cependant, même d'un point de vue éducatif, WMCF est toujours problématique. Du point de vue de la théorie de la métaphore conceptuelle, les métaphores résident dans un domaine différent, l'abstrait, de celui du « monde réel », le concret. En d'autres termes, bien qu'ils prétendent que les mathématiques sont humaines, les connaissances mathématiques établies - ce que nous apprenons à l'école - sont supposées être et traitées comme abstraites, complètement détachées de leur origine physique. Il ne peut pas rendre compte de la manière dont les apprenants pourraient accéder à ces connaissances.

WMCF est également critiqué pour son approche moniste. Premièrement, il ignore le fait que l'expérience sensori-motrice sur laquelle notre structure linguistique - donc, les mathématiques - est supposée être basée peut varier selon les cultures et les situations. Deuxièmement, les mathématiques dont s'occupe WMCF sont "presque entièrement... C'est négliger la nature dynamique et diversifiée de l'histoire des mathématiques.

L'approche centrée sur le logo de WMCF est une autre cible pour les critiques. Bien qu'il s'intéresse principalement à l'association entre langage et mathématiques, il ne tient pas compte de la manière dont les facteurs non linguistiques contribuent à l'émergence d'idées mathématiques (voir par exemple Radford, 2009 ; Rotman, 2008).

Exemples de métaphores mathématiques

Les métaphores conceptuelles décrites dans WMCF , en plus de la métaphore de base de l'infini, comprennent :

Le raisonnement mathématique nécessite des variables s'étendant sur un univers de discours , de sorte que nous puissions raisonner sur des généralités plutôt que simplement sur des particuliers. WMCF soutient que le raisonnement avec de telles variables repose implicitement sur ce qu'il appelle la métonymie fondamentale de l'algèbre.

Exemple d'ambiguïté métaphorique

WMCF (p. 151) inclut l'exemple suivant de ce que les auteurs appellent « l'ambiguïté métaphorique ». Prenons l'ensemble Puis rappelons deux bribes de terminologie standard de la théorie des ensembles élémentaire :

  1. La construction récursive des nombres naturels ordinaux , où 0 est , et est
  2. La paire ordonnée ( a,b ), définie comme

Par (1), A est l'ensemble {1,2}. Mais (1) et (2) ensemble disent que A est aussi la paire ordonnée (0,1). Les deux déclarations ne peuvent pas être correctes ; la paire ordonnée (0,1) et la paire non ordonnée {1,2} sont des concepts totalement distincts. Lakoff et Johnson (1999) qualifient cette situation de « métaphoriquement ambiguë ». Ce simple exemple remet en cause tous les fondements platoniciens des mathématiques.

Alors que (1) et (2) ci-dessus sont certes canoniques, en particulier dans la théorie des ensembles de consensus connue sous le nom d' axiomatisation de Zermelo-Fraenkel , WMCF ne laisse pas entendre qu'ils ne sont qu'une des nombreuses définitions qui ont été proposées depuis l'aube de la théorie des ensembles . Par exemple, Frege , Principia Mathematica et New Foundations (un corps de théorie des ensembles axiomatique commencé par Quine en 1937) définissent les cardinaux et les ordinaux comme des classes d'équivalence sous les relations d' équinumérosité et de similarité , de sorte que cette énigme ne se pose pas. Dans la théorie des ensembles quinienne, A est simplement une instance du nombre 2. Pour des raisons techniques, définir la paire ordonnée comme dans (2) ci-dessus est maladroit dans la théorie des ensembles quinienne. Deux solutions ont été proposées :

  • Une variante de définition de la théorie des ensembles de la paire ordonnée plus compliquée que la définition habituelle ;
  • Prendre des paires ordonnées comme primitives.

Le roman des mathématiques

La « Romance de mathématiques » est WMCF ' terme léger s pour un point de vue philosophique pérenne sur les mathématiques que les auteurs décrivent et licencient comme un mythe intellectuel:

  • Les mathématiques sont transcendantes, c'est-à-dire qu'elles existent indépendamment des êtres humains et structurent notre univers physique actuel et tout univers possible. Les mathématiques sont le langage de la nature et constituent la principale structure conceptuelle que nous aurions en commun avec les extraterrestres, le cas échéant.
  • La preuve mathématique est la porte d'entrée vers un royaume de vérité transcendante.
  • Le raisonnement est logique , et la logique est essentiellement mathématique. Les mathématiques structurent donc tous les raisonnements possibles.
  • Parce que les mathématiques existent indépendamment des êtres humains et que le raisonnement est essentiellement mathématique, la raison elle-même est désincarnée. Par conséquent, l' intelligence artificielle est possible, du moins en principe.

C'est une question très ouverte de savoir si WMCF finira par s'avérer être le début d'une nouvelle école dans la philosophie des mathématiques . Par conséquent, la valeur principale de WMCF jusqu'à présent peut être critique : sa critique du platonisme et du romantisme en mathématiques.

Réponse critique

De nombreux mathématiciens actifs résistent à l'approche et aux conclusions de Lakoff et Núñez. Les avis de mathématiciens de WMCF dans des revues professionnelles, bien que souvent respectueux de l'accent sur les stratégies conceptuelles et les métaphores que les chemins pour comprendre les mathématiques, ont pris exception à certains des WMCF ' arguments philosophiques de au motif que les déclarations mathématiques ont une durée « significations objectives » . Par exemple, le dernier théorème de Fermat signifie exactement ce qu'il signifiait lorsque Fermat l'a initialement proposé en 1664. D'autres critiques ont souligné que plusieurs stratégies conceptuelles peuvent être utilisées en relation avec le même terme mathématiquement défini, souvent par la même personne (un point qui est compatible avec l'idée que nous comprenons régulièrement le « même » concept avec des métaphores différentes). La métaphore et la stratégie conceptuelle ne sont pas les mêmes que la définition formelle qu'emploient les mathématiciens. Cependant, WMCF souligne que les définitions formelles sont construites à l'aide de mots et de symboles qui n'ont de sens qu'en termes d'expérience humaine.

Les critiques de WMCF incluent l'humour :

"Il m'est difficile de concevoir une métaphore pour un nombre réel élevé à une puissance complexe, mais s'il y en a un, j'aimerais bien le voir." - Joseph Auslander

et les physiquement informés :

"Mais leur analyse laisse au moins quelques questions insuffisamment répondues. D'une part, les auteurs ignorent le fait que les cerveaux non seulement observent la nature, mais font également partie de la nature. a joué un rôle dans la formation du cerveau en premier lieu (à travers l'opération des lois naturelles pour contraindre l'évolution de la vie). De plus, c'est une chose d'adapter des équations à des aspects de la réalité qui sont déjà connus. parler de phénomènes jamais soupçonnés auparavant. Lorsque les équations de Paul Dirac décrivant les électrons ont produit plus d'une solution, il a supposé que la nature doit posséder d'autres particules, maintenant connues sous le nom d'antimatière. Mais les scientifiques n'ont découvert de telles particules qu'après que les calculs de Dirac lui ont dit qu'elles devaient exister. Si les mathématiques sont une invention humaine, la nature semble savoir ce qui allait être inventé."

Lakoff s'est fait une réputation en liant la linguistique aux sciences cognitives et à l'analyse de la métaphore . Núñez, éduqué en Suisse , est un produit de l' école de psychologie cognitive de Jean Piaget comme base pour la logique et les mathématiques. Núñez a beaucoup réfléchi aux fondements de l'analyse réelle , aux nombres réels et complexes et à la métaphore de base de l'infini. Ces sujets, cependant, si dignes qu'ils soient, font partie de la superstructure des mathématiques. Les sciences cognitives devraient s'intéresser davantage aux fondements des mathématiques . Et en effet, les auteurs s'intéressent assez tôt à la logique , à l'algèbre booléenne et aux axiomes de Zermelo-Fraenkel , s'attardant même un peu sur la théorie des groupes . Mais aucun des deux auteurs n'est bien formé en logique , en philosophie de la théorie des ensembles, en méthode axiomatique , en métamathématiques et en théorie des modèles . WMCF ne dit pas non plus assez sur la dérivation des systèmes de nombres (les axiomes de Peano ne sont pas mentionnés), l'algèbre abstraite , les relations d' équivalence et d' ordre , la méréologie , la topologie et la géométrie .

Lakoff et Núñez ont tendance à rejeter les opinions négatives que les mathématiciens ont exprimées à propos de WMCF , parce que leurs critiques n'apprécient pas les connaissances des sciences cognitives. Lakoff et Núñez soutiennent que leur argument ne peut être compris qu'en utilisant les découvertes des dernières décennies sur la façon dont le cerveau humain traite le langage et le sens. Ils soutiennent que les arguments ou les critiques qui ne sont pas fondés sur cette compréhension ne peuvent pas aborder le contenu du livre.

Il a été souligné qu'il n'est pas du tout clair que la WMCF établisse que l'affirmation « une vie extraterrestre intelligente aurait des capacités mathématiques » est un mythe. Pour ce faire, il faudrait montrer que l'intelligence et la capacité mathématique sont dissociables, ce qui n'a pas été fait. Sur Terre, l'intelligence et la capacité mathématique semblent aller de pair dans toutes les formes de vie, comme l'a souligné entre autres Keith Devlin . Les auteurs de WMCF n'ont pas expliqué en quoi cette situation serait (ou pourrait même) être différente ailleurs.

Lakoff et Núñez semblent également ne pas apprécier à quel point les intuitionnistes et les constructivistes ont anticipé leur attaque contre le romantisme des mathématiques (platoniciennes). Brouwer , le fondateur du point de vue intuitionniste / constructiviste , dans sa thèse On the Foundation of Mathematics , soutenait que les mathématiques étaient une construction mentale, une création libre de l'esprit et totalement indépendante de la logique et du langage. Il reproche ensuite aux formalistes de construire des structures verbales étudiées sans interprétation intuitive. Le langage symbolique ne doit pas être confondu avec les mathématiques ; il reflète, mais ne contient pas, la réalité mathématique.

En résumé

WMCF (pp. 378-79) conclut avec quelques points clés, dont certains suivent. Les mathématiques naissent de notre corps et de notre cerveau, de nos expériences quotidiennes et des préoccupations des sociétés et cultures humaines. Il est:

  • Le résultat des capacités cognitives normales de l'adulte, en particulier la capacité de métaphore conceptuelle, et en tant que tel est un universel humain. La capacité de construire des métaphores conceptuelles est basée sur la neurologie et permet aux humains de raisonner sur un domaine en utilisant le langage et les concepts d'un autre domaine. La métaphore conceptuelle est à la fois ce qui a permis aux mathématiques de se développer à partir des activités quotidiennes, et ce qui permet aux mathématiques de se développer par un processus continu d'analogie et d'abstraction ;
  • Symbolique , facilitant ainsi énormément le calcul précis ;
  • Non pas transcendant, mais le résultat de l' évolution humaine et de la culture , à qui il doit son efficacité. Au cours de l'expérience du monde, une connexion aux idées mathématiques s'établit dans l'esprit humain ;
  • Un système de concepts humains faisant un usage extraordinaire des outils ordinaires de la cognition humaine ;
  • Une création ouverte d'êtres humains, qui restent responsables de son entretien et de son extension ;
  • L'un des plus grands produits de l'imagination humaine collective et un magnifique exemple de la beauté, de la richesse, de la complexité, de la diversité et de l'importance des idées humaines.

L'approche cognitive des systèmes formels , telle que décrite et mise en œuvre dans WMCF , ne doit pas nécessairement se limiter aux mathématiques, mais devrait également s'avérer fructueuse lorsqu'elle est appliquée à la logique formelle et à la philosophie formelle telle que la théorie des objets abstraits d' Edward Zalta . Lakoff et Johnson (1999) emploient fructueusement l'approche cognitive pour repenser une bonne partie de la philosophie de l'esprit , de l' épistémologie , de la métaphysique et de l' histoire des idées .

Voir également

Notes de bas de page

Les références

  • Davis, Philip J. et Reuben Hersh , 1999 (1981). L'expérience mathématique . Livres marins. Publié pour la première fois par Houghton Mifflin.
  • George Lakoff , 1987. Les femmes, le feu et les choses dangereuses . Univ. de Chicago Press.
  • ------ et Mark Johnson , 1999. Philosophie dans la chair . Livres de base.
  • ------ et Rafael Núñez , 2000, D'où viennent les mathématiques . Livres de base. ISBN  0-465-03770-4
  • John Randolph Lucas , 2000. Les racines conceptuelles des mathématiques . Routledge.
  • Saunders Mac Lane , 1986. Mathématiques : forme et fonction . Springer Verlag.

Liens externes