Wiener série - Wiener series

En mathématiques, la série de Wiener , ou expansion fonctionnelle de Wiener G , provient du livre de 1958 de Norbert Wiener . Il s'agit d'un développement orthogonal pour des fonctionnelles non linéaires étroitement liées à la série de Volterra et ayant la même relation avec elle qu'un développement polynomial orthogonal d' Hermite a avec une série de puissances . Pour cette raison, il est également connu sous le nom d' expansion Wiener-Hermite . Les analogues des coefficients sont appelés noyaux de Wiener . Les termes de la série sont orthogonaux (non corrélés) par rapport à une entrée statistique de bruit blanc . Cette propriété permet d'identifier les termes dans les applications par la méthode de Lee-Schetzen .

La série de Wiener est importante dans l'identification des systèmes non linéaires . Dans ce contexte, la série rapproche la relation fonctionnelle de la sortie à l'historique complet de l'entrée du système à tout moment. La série de Wiener a été principalement appliquée à l'identification de systèmes biologiques, en particulier en neurosciences .

Le nom de série de Wiener est presque exclusivement utilisé dans la théorie des systèmes . Dans la littérature mathématique, il apparaît comme l'expansion d'Itô (1951) qui a une forme différente mais qui lui est entièrement équivalente.

La série de Wiener ne doit pas être confondue avec le filtre de Wiener , qui est un autre algorithme développé par Norbert Wiener utilisé dans le traitement du signal.

Expressions fonctionnelles de Wiener G

Étant donné un système avec une paire entrée/sortie où l'entrée est un bruit blanc avec une valeur moyenne nulle et une puissance A, nous pouvons écrire la sortie du système comme somme d'une série de fonctions G de Wiener ${\style d'affichage (x(t),y(t))}$${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

Dans ce qui suit, les expressions des G-fonctionnelles jusqu'au cinquième ordre seront données :

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x( n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^ {N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3} (\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1 }k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{ 4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x (n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\ tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4} (\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2} )+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{ 5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\ tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5}) +{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\ tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}, \tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A ^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{ 5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\ tau _{1}).\end{aligned}}}$

Voir également

• Série Volterra
• Identification du système
• Moyenne déclenchée par les pics

Les références

• Wiener, Norbert (1958). Problèmes non linéaires en théorie aléatoire . Wiley et MIT Press.
• Lee et Schetzen ; Schetzen‡, M. (1965). « Mesure des noyaux de Wiener d'un système non linéaire par corrélation croisée ». Journal international de contrôle . D'abord. 2 (3) : 237-254. doi : 10.1080/00207176508905543 .
• Itô K "Une intégrale de Wiener multiple" J. Math. Soc. Japon 3 1951 157-169
• Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). « Analyse de bruit blanc d'une chaîne de neurones : une application de la théorie de Wiener ». Sciences . 175 (4027) : 1276-1278. doi : 10.1126/science.175.4027.1276 . PMID  5061252 .
• Schetzen, Martin (1980). Les théories de Volterra et Wiener des systèmes non linéaires . John Wiley et fils. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, PZ (1991). « Analyse Wiener de rétroaction non linéaire ». Systèmes sensoriels Annales de génie biomédical . 19 (4) : 345-382. doi : 10.1007/BF02584316 .
• Franz, M; Schölkopf, B. (2006). « Une vue unificatrice de la théorie de Wiener et Volterra et de la régression du noyau polynomial ». Calcul neuronal . 18 (12) : 3097–3118. doi : 10.1162/neco.2006.18.12.3097 .
• LA Zadeh Sur la représentation des opérateurs non linéaires. IRE Westcon Conv. Enregistrement pt.2 1957 105-113.