Yupana - Yupana

Yupana 1.png
Croquis d'un Quipucamayoc d' El primer nueva corónica y buen gobierno . Montré sur le côté inférieur gauche est un yupana.

Un yupana (du quechua yupay : comte) est un boulier utilisé pour effectuer des opérations arithmétiques datant de l'époque des Incas .

Les types

Le terme yupana désigne deux classes distinctes d'objets :

  • table-yupana (ou yupana archéologique) : un système de plateaux de différentes tailles et matériaux, qui sont sculptés dans le haut de l'appareil en boîtes géométriques. Des graines ou des cailloux ont été placés à l'intérieur, vraisemblablement pour effectuer des calculs arithmétiques complexes. Le premier de ces tableaux a été trouvé en 1869 dans la province d' Azuay ( Équateur ) et a suscité des études systématiques de ces objets. Tous les exemples archéologiques sont très différents les uns des autres.
  • yupana de Poma de Ayala : une image à la page 360 ​​de El primer nueva corónica y buen gobierno , écrite par le chroniqueur des Amérindiens Felipe Guaman Poma de Ayala , représente un échiquier 5x4 . L'image, bien qu'ayant quelques similitudes avec la majorité des table-yupana, présente plusieurs différences par rapport à celles-ci. Notamment, tous les plateaux sont des rectangles de même taille, tandis que les yupanas de table ont également des plateaux d'autres formes polygonales ou de tailles différentes.

Bien que très différents les uns des autres, la plupart des érudits qui ont traité du table-yupana ont étendu leur raisonnement et leurs théories au yupana de Poma de Ayala et vice versa, peut-être pour tenter de trouver un fil conducteur ou une méthode commune. La Nueva Coronica n'a été découverte qu'en 1916 dans la bibliothèque de Copenhague et cette partie des études à son sujet était basée sur des études et des théories antérieures concernant les yupanas de table.

Histoire

Plusieurs chroniqueurs des Indes ont décrit, malheureusement approximativement, l'abaque inca et son fonctionnement.

Felipe Guaman Poma de Ayala

Le premier était Guaman Poma de Ayala, qui vers 1615 écrivit :

... Ils comptent à l'aide de tables, numérotant de cent mille à dix mille à cent à dix, jusqu'à ce qu'ils arrivent à un. Ils enregistrent tout ce qui se passe dans ce royaume : jours fériés, dimanches, mois et années. Ces comptables et trésoriers du royaume se retrouvent dans chaque cité, commune, ou village indigène...

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En plus de fournir cette brève description, Poma de Ayala a dessiné une image du yupana : un tableau de cinq rangées et quatre colonnes dans lequel on peut voir une série de cercles noirs et blancs.

José de Acosta

Le père jésuite José de Acosta a écrit :

... ils prennent le maïs et en mettent un ici, trois là, huit d'un autre côté; ils passent d'une boite et échangent trois autres grains de l'un à l'autre pour enfin obtenir le résultat sans erreur

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Juan de Velasco

Le Père Juan de Velasco a écrit :

... ces enseignants utilisaient quelque chose comme une série de tables, en bois, en pierre ou en argile, avec différentes séparations, dans lesquelles ils mettaient des pierres de différentes formes, couleurs et formes angulaires

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Table-yupana

Chordeleg

Le premier exemple connu de table-yupana a été trouvé en 1869 à Chordeleg , dans la province d'Azuay , en Équateur . Il s'agit d'une table rectangulaire (33x27 cm) en bois composée de 17 compartiments, dont 14 carrés , 2 rectangulaires et un octogonal . Sur deux bords de la table se trouvent d'autres compartiments carrés (12x12 cm) surélevés et disposés symétriquement les uns par rapport aux autres, auxquels se superposent deux plates-formes carrées (7x7 cm). Ces structures sont appelées tours. Le tableau présente une symétrie des compartiments par rapport à la diagonale du rectangle . Les quatre côtés du plateau sont également gravés de figures de têtes humaines et d'un crocodile . À la suite de cette découverte, Charles Wiener a commencé en 1877 une étude systématique de ces objets. Wiener est arrivé à la conclusion que les table-yupanas servaient à calculer les impôts que les agriculteurs payaient à l'empire inca.

Caraz

Trouvée à Caraz en 1878 - 1879, cette table-yupana est différente de celle de Chordeleg car le matériau de construction est la pierre et le compartiment central de forme octogonale est remplacé par un rectangulaire ; les tours ont aussi trois étagères au lieu de deux.

Callejon de Huaylas

Une série de table-yupana très différente de la première, a été décrite par Erland Nordenskiöld en 1931. Ces yupana, en pierre, présentent une série de compartiments rectangulaires et carrés. La tour est composée de deux compartiments rectangulaires. Les compartiments sont disposés symétriquement par rapport à l'axe du petit côté de la table.

Yupana triangulaire

Ces yupana, en pierre, comportent 18 compartiments de forme triangulaire, disposés autour de la table. D'un côté, il y a une tour rectangulaire avec un seul étage et trois compartiments triangulaires. Dans la partie centrale, il y a quatre compartiments carrés, couplés entre eux.

Chan Chan

Identique au yupana de Chordeleg, tant pour le matériel que pour la disposition des compartiments, ce tableau-yupana a été trouvé dans le complexe archéologique de Chan Chan au Pérou en 1967.

Carhua de la Bahia

Découvertes dans la province de Pisco ( Pérou ), ces table-yupanas sont deux tables en argile et en os . Le premier est rectangulaire (47x32 cm), comporte 22 compartiments carrés (5x5 cm) et trois compartiments rectangulaires (16x18 cm), et n'a pas de tour. Le second est rectangulaire (32x23 cm) contenant 22 compartiments carrés, deux en forme de L et trois rectangulaires au centre. Les compartiments sont disposés symétriquement par rapport à l'axe du côté le plus long.

Huancarcuchu

Découvert dans le haut Equateur par Max Uhle en 1922, ce yupana est en pierre et ses bacs sont dessinés. Il a la forme d'une échelle composée de 10 rectangles superposés : quatre au premier étage, trois au deuxième, deux au troisième et un au quatrième. Cette yupana est celle qui se rapproche le plus du tableau de Poma de Ayala à Nueva Coronica, tout en ayant une ligne en moins et en étant à moitié dessinée.

Florio

C. Florio présente une étude qui n'identifie pas un yupana dans ces découvertes archéologiques, mais un objet dont le nom est inconnu et qui a été oublié. Au lieu de cela, cet objet est de se connecter au tocapu (un idéogramme déjà utilisé par les civilisations pré-incas) appelé « llave inca » (c'est-à-dire la clé inca) et à la philosophie yanantin-masintin . L'érudit parvient à cette conclusion à partir du manque de preuves objectives qui reconnaissent un yupana dans cet objet, une croyance qui s'est consolidée au fil des années uniquement pour la répétition de cette hypothèse jamais démontrée, et en croisant les données des Documents Miccinelli et du (des) tocapu(s) catalogué par Victoria de la Jara.

En supposant colorier les différents compartiments de la table-yupana (fig. A), C. Florio identifie un dessin (fig. B) très semblable à un tocapu réellement existant (fig. C) et catalogué par Victoria de la Jara. De plus, dans le tocapu rapporté sur la figure D, également catalogué par V. de la Jara, Florio identifie une stylisation du tocapu C et le point de départ pour créer le tocapu « llave inca » (clé inca). Elle trouve la relation entre la table-yupana et la clé Inca aussi dans leur lien avec le concept de dualité : la structure table-yupana est clairement duelle et Blas Valera dans « Exul Immeritus Blas Valera populo suo » (un des deux Documents Miccinelli ) décrit le tocapu que nous appelons clé Inca comme représentant le concept des « forces opposées » et le « nombre 2 », tous deux strictement liés au concept de dualité.

Selon C. Florio, le vrai yupana utilisé par les Incas est celui de Guáman Poma, mais avec plus de colonnes et de rangées. Guáman Poma n'aurait représenté que la partie du yupana utile pour effectuer un calcul spécifique, que Florio identifie comme étant une multiplication (voir ci-dessous).


Théories de Yupana Poma de Ayala

Henri Wassen

En 1931, Henry Wassen étudie la yupana de Poma de Ayala, proposant pour la première fois une représentation possible des nombres au tableau et les opérations d' addition et de multiplication . Il interprète les cercles blancs comme des trous, taillés dans des yupana dans lesquels insérer les graines décrites par les chroniqueurs : ainsi les cercles blancs correspondent à des trous vides, tandis que les cercles noirs correspondent aux mêmes trous remplis d'une graine noire.

Le système de numérotation à la base de l'abaque était une notation positionnelle en base 10 (conformément aux écrits des chroniqueurs des Indes).

La représentation des nombres suivait alors une progression verticale telle que les unités étaient positionnées dans la première rangée en partant du bas, dans la seconde les dizaines, les centaines dans la troisième, et ainsi de suite.

Wassen a proposé une progression des valeurs des graines qui dépend de leur position dans le tableau : 1, 5, 15, 30, respectivement, selon qui occupent un espace dans les première, deuxième, troisième et quatrième colonnes (voir le tableau ci-dessous) . Seules cinq graines au maximum pouvaient être incluses dans une case appartenant à la première colonne, de sorte que la valeur maximale de ladite case était de 5, multipliée par la puissance de la ligne correspondante. Ces graines pourraient être remplacées par une graine de la colonne suivante, utile lors des opérations arithmétiques. Selon la théorie de Wassen, les opérations de somme et de produit s'effectuaient donc horizontalement.

Cette théorie a reçu de nombreuses critiques en raison de la grande complexité des calculs et a donc été considérée comme inadéquate et bientôt abandonnée.

A titre d'exemple, le tableau suivant indique le numéro 13457.

Yupana de Wassen
Pouvoirs\Valeurs 1 5 15 30
10 4 •◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
10 3 •••◦◦ ◦◦◦ ◦◦
10 2 ••••◦ ◦◦◦ ◦◦
10 1 ◦◦◦◦◦ •◦◦ ◦◦
10 0 ••◦◦◦ •◦◦ ◦◦

Représentation de 13457

Cette première interprétation du yupana de Poma de Ayala a été le point de départ des théories développées par les auteurs ultérieurs, jusqu'à nos jours. En particulier, personne ne s'est jamais éloigné du système de numérotation positionnelle jusqu'en 2008.

Emilio Mendizabal

Emilio Mendizabal fut le premier à proposer en 1976 que les Incas utilisaient, en plus de la représentation décimale, également une représentation basée sur la progression 1,2,3,5. Mendizabal dans la même publication a souligné que les séries de nombres 1,2,3 et 5, dans le dessin de Poma de Ayala, font partie de la séquence de Fibonacci , et a souligné l'importance de la « magie » qui avait le numéro 5 pour la civilisation le nord du Pérou , et le numéro 8 pour les civilisations du sud du Pérou .

Radiati di Primeglio

En 1979, Carlos Radicati di Primeglio a souligné la différence de table-yupana de celle de Poma de Ayala, décrivant l'état de l'art de la recherche et des théories avancées jusqu'à présent. Il a également proposé les algorithmes de calcul des quatre opérations arithmétiques de base pour yupana de Poma de Ayala, selon une nouvelle interprétation pour laquelle il était possible d'avoir jusqu'à neuf graines dans chaque case avec progression verticale pour les puissances de dix. Le choix de Radicati a été d'associer à chaque écart une valeur de 1.

Dans le tableau suivant est représenté le nombre 13457

Yupana par Radicati
Pouvoirs\Valeurs 1 1 1 1
10 4 •◦◦◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

10 3 •••◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

10 2 ••••◦

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◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

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10 1 •••••

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◦◦◦◦

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◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

10 0 •••••

••◦◦

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◦◦◦◦

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◦◦◦◦

◦◦◦◦◦

◦◦◦◦

Représentation de 13457

William Burns Glynn

En 1981, l' ingénieur textile anglais William Burns Glynn a proposé une solution de base 10 positionnelle pour le yupana de Poma de Ayala.

Glynn, comme Radicati, a adopté la même idée de Wassen de pleins et de vides, ainsi qu'une progression verticale des puissances de dix, mais a proposé une architecture qui a permis de grandement simplifier les opérations arithmétiques.

La progression horizontale des valeurs des graines dans sa représentation est de 1, 1, 1 pour les trois premières colonnes, de sorte que dans chaque ligne il est possible de déposer un maximum de dix graines (5 + 3 + 2 graines). Dix graines de n'importe quelle rangée correspondent à une seule graine de la ligne supérieure.

La dernière colonne est dédiée à la mémoire , qui est un endroit où vous pouvez déposer momentanément dix graines, en attendant de les déplacer vers la ligne supérieure. Selon l'auteur, cela est très utile lors d'opérations arithmétiques afin de réduire les risques d'erreur.

La solution de Glynn a été adoptée dans divers projets d'enseignement partout dans le monde, et même aujourd'hui, certaines de ses variantes sont utilisées dans certaines écoles d' Amérique du Sud .

Dans le tableau suivant est représenté le nombre 13457

Yupana di Glynn Burns
Potenze\Valori 1 1 1 Mémoire
10 4 •◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
10 3 •••◦◦ ◦◦◦ ◦◦
10 2 ••••◦ ◦◦◦ ◦◦
10 1 ••••• ◦◦◦ ◦◦
10 0 ••••• ••◦ ◦◦

Nicolino de Pasquale

En 2001, l' ingénieur italien Nicolino de Pasquale a proposé une solution positionnelle en base 40 de la yupana de Poma de Ayala, en reprenant la théorie des représentations de Fibonacci déjà proposée par Emilio Mendizabal et en la développant pour les quatre opérations.

De Pasquale adopte également une progression verticale pour représenter les nombres par puissances de 40. La représentation des nombres est basée sur le fait que la somme des valeurs des cercles de chaque rangée forme un total de 39, si chaque cercle prend la valeur 5 dans la première colonne, 3 dans la deuxième colonne, 2 dans la troisième et 1 dans la quatrième ; il est ainsi possible de représenter 39 nombres, réunis à élément neutre ( zéro ou pas de graines dans le tableau) ; cela forme la base de 40 symboles nécessaires pour le système de numérotation.

L'une des représentations possibles du nombre 13457 dans la yupana de De Pasquale est illustrée dans le tableau suivant :

Yupana de De Pasquale
Pouvoirs\Valeurs 5 3 2 1
40 4 ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
40 3 ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
40 2 •◦◦◦◦ ◦◦◦ •◦
40 1 ••◦◦◦ ••◦ ◦◦
40 0 ••◦◦◦ •◦◦ ••

La théorie de De Pasquale a ouvert, dans les années qui ont suivi sa naissance, une grande controverse parmi les chercheurs qui se sont divisés principalement en deux groupes : l'un soutenant la théorie de la base 10 et l'autre la théorie de la base 40. Les chroniques espagnoles de l'époque de la conquête des Amériques indiquaient que les Incas utilisaient un système décimal et que depuis 2003 la base 10 a été proposée comme base de calcul à la fois avec l'abaque et le quipu

De Pasquale a récemment proposé l'utilisation de yupana comme calendrier astronomique fonctionnant en base mixte 36/40 et a fourni sa propre interprétation du mot quechua huno , le traduisant par 0,1. Cette interprétation diverge de tous les chroniqueurs des Indes, à commencer par Domingo de Santo Tomas qui en 1560 traduisit huno par chunga guaranga (dix mille).

Cinzia Florio

En 2008, Cinzia Florio a proposé une approche alternative et révolutionnaire par rapport à toutes les théories proposées jusqu'à présent. Pour la première fois, nous nous écartons du système de numérotation positionnelle et nous adoptons la notation additive ou valeur de signe .

S'appuyant exclusivement sur le dessin de Poma de Ayala, l'auteur explique la disposition des cercles blancs et noirs et interprète l'utilisation de l'abaque comme planche pour faire des multiplications , dans laquelle le multiplicande est représenté dans la colonne de droite, le multiplicateur dans les deux colonnes centrales et le résultat ( produit ) est affiché dans la colonne de gauche. Voir le tableau suivant.

Yupana de Florio
Produit Multiplicateur Multiplicateur Multiplicande
◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦
◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦

La théorie diffère de toutes les précédentes sous plusieurs aspects : d'abord, les cercles blancs et noirs ne seraient pas des trous pouvant être remplis par une graine, mais plutôt des couleurs différentes de graines, représentant respectivement des dizaines et des unités (ceci selon le chroniqueur Juan de Velasco).

Deuxièmement, le multiplicande est inscrit dans la première colonne en respectant la notation signe-valeur : ainsi, les graines peuvent être saisies dans n'importe quel ordre et le nombre est donné par la somme des valeurs de ces graines.

Le multiplicateur est représenté comme la somme de deux facteurs, puisque la procédure d'obtention du produit est basée sur la propriété distributive de la multiplication sur l'addition.

Le multiplicateur de table dessiné par Poma de Ayala avec cette disposition des graines, représente selon l'auteur, le calcul : 32 x 5, où le multiplicateur 5 est décomposé en 3 + 2. La suite des nombres 1,2,3,5 serait fortuite, contingente au calcul effectué et non liée à la série de Fibonacci.

Yupana de Florio
Produit Multiplicateur Multiplicateur Multiplicande
3X 2X
•• ••
◦◦
••••• ◦◦◦
•• ••• ◦◦
151(160) 96 64 32

Clé : = 10 ; • = 1 ; L'opération représentée est : 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160

Les nombres représentés dans les colonnes sont, de gauche à droite : 32 (le multiplicande), 64 = 32 x 2 et 32 ​​x 3 = 96 (qui constituent ensemble le multiplicande, multiplié par les deux facteurs dans lesquels le multiplicateur a été décomposé ) et enfin 151. Dans ce numéro (erreur) sont fondées toutes les critiques possibles de cette interprétation, puisque 151 n'est évidemment pas la somme de 96 et 64. Florio note cependant qu'une erreur de Poma de Ayala, en dessinant un cercle noir au lieu d'un blanc, cela aurait été possible. Dans ce cas, en changeant juste un rond noir par un blanc dans la dernière colonne, on obtient le nombre 160, qui est exactement le produit recherché comme somme des quantités présentes dans les colonnes centrales.

Avec un yupana comme celui conçu par Poma de Ayala ne peut pas être représenté tous les multiplicandes, mais il faut étendre le yupana verticalement (en ajoutant des lignes) pour représenter des nombres dont la somme des chiffres dépasse 5. La même chose vaut pour les représenter tous les nombres est nécessaire pour étendre le nombre de colonnes. Hormis l'erreur supposée de calcul (ou de représentation par le concepteur), c'est la seule qui identifie dans le yupana de Poma de Ayala un message mathématique et cohérent (multiplication) et non une suite de nombres aléatoires comme dans d'autres interprétations.

Voir également

Les références

Liens externes

Chroniqueurs des Indes

Théorie par Wassen et table-Yupana

Théorie de Glynn Burns et projets scolaires

Théorie de De Pasquale

Théorie par C. Florio