Les paradoxes de Zénon - Zeno's paradoxes

Les paradoxes de Zénon sont un ensemble de philosophiques problèmes généralement admis avoir été mis au point par le grec philosophe Zénon d'Elée (c. 490-430 BC) pour soutenir Parménide la doctrine que , contrairement à la preuve d'un de ses sens, la croyance en pluralité et le changement se trompe , et en particulier que le mouvement n'est qu'une illusion . On suppose généralement, sur la base du Parménide de Platon (128a-d), que Zénon a pris le projet de créer ces paradoxesparce que d'autres philosophes avaient créé des paradoxes contre le point de vue de Parménide. Ainsi Platon fait dire à Zénon que le but des paradoxes « est de montrer que leur hypothèse que les existences sont nombreuses, si elle est correctement suivie, conduit à des résultats encore plus absurdes que l'hypothèse qu'elles sont une ». Platon fait affirmer à Socrate que Zénon et Parménide discutaient essentiellement du même point. Certains des neuf paradoxes survivants de Zénon (conservés dans la Physique d'Aristote et le commentaire de Simplicius à ce sujet) sont essentiellement équivalents les uns aux autres. Aristote a proposé une réfutation de certains d'entre eux. Trois des plus forts et des plus célèbres - celui d'Achille et de la tortue, l' argument de la dichotomie et celui d'une flèche en vol - sont présentés en détail ci-dessous.

Les arguments de Zeno sont peut-être les premiers exemples d'une méthode de preuve appelée reductio ad absurdum , également connue sous le nom de preuve par contradiction . Ils sont également crédités comme une source de la méthode dialectique utilisée par Socrate. Certains mathématiciens et historiens, tels que Carl Boyer , soutiennent que les paradoxes de Zénon sont simplement des problèmes mathématiques, pour lesquels le calcul moderne fournit une solution mathématique. Certains philosophes affirment cependant que les paradoxes de Zénon et leurs variations (voir la lampe de Thomson ) restent des problèmes métaphysiques pertinents . Les origines des paradoxes sont quelque peu obscures. Diogène Laërtius , une quatrième source d'informations sur Zénon et ses enseignements, citant Favorinus , dit que le maître de Zénon Parménide fut le premier à introduire le paradoxe d'Achille et de la tortue. Mais dans un passage ultérieur, Laërtius attribue l'origine du paradoxe à Zénon, expliquant que Favorinus n'est pas d'accord.

Paradoxes du mouvement

Paradoxe de la dichotomie

Celui qui est en locomotion doit arriver à mi-parcours avant d'arriver au but.

—  comme raconté par Aristote , Physique VI:9, 239b10

Supposons qu'Atalante souhaite marcher jusqu'au bout d'un chemin. Avant de pouvoir s'y rendre, elle doit faire la moitié du chemin. Avant de pouvoir faire la moitié du chemin, elle doit faire un quart du chemin. Avant de voyager un quart, elle doit voyager un huitième ; avant un huitième, un seizième; etc.

La séquence résultante peut être représentée par :

${\displaystyle \left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{ 2}},1\droit\}}$

Cette description exige que l'on accomplisse un nombre infini de tâches, ce que Zeno maintient est une impossibilité.

Cette séquence présente également un deuxième problème en ce sens qu'elle ne contient pas de première distance à parcourir, car toute première distance ( finie ) possible pourrait être divisée en deux, et donc ne serait pas la première après tout. Par conséquent, le voyage ne peut même pas commencer. La conclusion paradoxale serait alors que le voyage sur une distance finie ne peut être ni achevé ni commencé, et donc tout mouvement doit être une illusion .

Cet argument est appelé la " Dichotomie " car il implique de diviser à plusieurs reprises une distance en deux parties. Un exemple avec le sens original peut être trouvé dans une asymptote . Il est également connu comme le paradoxe de l' hippodrome .

Achille et la tortue

Dans une course, le coureur le plus rapide ne peut jamais dépasser le plus lent, car le poursuivant doit d'abord atteindre le point d'où le poursuivi est parti, de sorte que le plus lent doit toujours garder la tête.

—  comme raconté par Aristote , Physique VI:9, 239b15

Dans le paradoxe d' Achille et de la tortue , Achille est dans une course à pied avec la tortue. Achille permet à la tortue une avance de 100 mètres par exemple. Supposons que chaque coureur commence à courir à une vitesse constante, l'un plus rapide que l'autre. Au bout d'un certain temps, Achille aura couru 100 mètres, l'amenant au point de départ de la tortue. Pendant ce temps, la tortue a parcouru une distance beaucoup plus courte, disons 2 mètres. Il faudra alors à Achille un peu plus de temps pour parcourir cette distance, et la tortue aura alors avancé plus loin ; et puis plus de temps encore pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avance. Ainsi, chaque fois qu'Achille arrive quelque part où la tortue a été, il lui reste encore une certaine distance à parcourir avant même de pouvoir atteindre la tortue. Comme Aristote l'a noté, cet argument est similaire à la Dichotomie. Il manque cependant la conclusion apparente de l'immobilité.

Paradoxe de la flèche

Si tout lorsqu'il occupe un espace égal est au repos à cet instant du temps, et si ce qui est en locomotion occupe toujours un tel espace à tout instant, la flèche volante est donc immobile à cet instant du temps et à l'instant suivant. du temps, mais si les deux instants du temps sont pris comme le même instant ou un instant continu du temps, alors il est en mouvement.

—  comme raconté par Aristote , Physique VI:9, 239b5

Dans le paradoxe de la flèche, Zeno déclare que pour qu'un mouvement se produise, un objet doit changer la position qu'il occupe. Il donne un exemple de flèche en vol. Il déclare que dans n'importe quel instant (sans durée), la flèche ne se déplace ni là où elle est, ni là où elle n'est pas. Il ne peut pas se déplacer là où il n'est pas, car il ne s'écoule pas de temps pour s'y déplacer ; il ne peut pas se déplacer là où il est, car il est déjà là. En d'autres termes, à chaque instant, aucun mouvement ne se produit. Si tout est immobile à chaque instant et que le temps est entièrement composé d'instants, alors le mouvement est impossible.

Alors que les deux premiers paradoxes divisent l'espace, ce paradoxe commence par diviser le temps — et non en segments, mais en points.

Trois autres paradoxes donnés par Aristote

Paradoxe du lieu

D'Aristote :

Si tout ce qui existe a une place, le lieu aussi aura une place, et ainsi de suite à l' infini .

Paradoxe du grain de millet

Description du paradoxe du Routledge Dictionary of Philosophy :

L'argument est qu'un seul grain de mil ne fait aucun bruit en tombant, mais mille grains font un son. Ainsi mille riens deviennent quelque chose, une conclusion absurde.

La réfutation d'Aristote :

Zénon a tort de dire qu'il n'y a aucune partie du mil qui ne fasse un bruit : car il n'y a aucune raison pour qu'une telle partie ne manque pas dans un certain temps de déplacer l'air que tout le boisseau déplace en tombant. En fait, elle ne déplace pas par elle-même une quantité d'air telle qu'elle se déplacerait si cette partie était par elle-même : car aucune partie n'existe même autrement que potentiellement.

Description de Nick Huggett :

C'est un argument parménide selon lequel on ne peut pas se fier à son ouïe. La réponse d'Aristote semble être que même les sons inaudibles peuvent s'ajouter à un son audible.

Les lignes mobiles (ou stade)

D'Aristote :

... concernant les deux rangées de corps, chaque rangée étant composée d'un nombre égal de corps de taille égale, se croisant sur un hippodrome alors qu'ils avancent avec une vitesse égale dans des directions opposées, la rangée occupant à l'origine l'espace entre le but et le point médian du parcours et l'autre celui entre le point médian et le poteau de départ. Cela... implique la conclusion que la moitié d'un temps donné est égal au double de ce temps.

Pour un compte rendu étendu des arguments de Zénon tels que présentés par Aristote, voir le commentaire de Simplicius sur la physique d'Aristote .

Solutions proposées

Diogène le Cynique

Selon Simplicius , Diogène le Cynique ne dit rien en entendant les arguments de Zénon, mais se leva et marcha, afin de démontrer la fausseté des conclusions de Zénon (voir solvitur ambulando ). Pour résoudre complètement l'un des paradoxes, cependant, il faut montrer ce qui ne va pas avec l'argument, pas seulement les conclusions. A travers l'histoire, plusieurs solutions ont été proposées, parmi les premières enregistrées étant celles d'Aristote et d'Archimède.

Aristote

Aristote (384 av. J.-C.-322 av. J.-C.) a remarqué qu'à mesure que la distance diminue, le temps nécessaire pour parcourir ces distances diminue également, de sorte que le temps nécessaire devient également de plus en plus petit. Aristote distinguait aussi « les choses infinies par rapport à la divisibilité » (comme une unité d'espace qui peut être divisée mentalement en unités de plus en plus petites tout en restant spatialement les mêmes) des choses (ou distances) qui sont infinies en extension (« par rapport à extrémités"). L'objection d'Aristote au paradoxe de la flèche était que « le temps n'est pas composé d'instants indivisibles, pas plus qu'aucune autre grandeur n'est composée d'indivisibles ».

Archimède

Avant 212 avant JC, Archimède avait développé une méthode pour dériver une réponse finie pour la somme d'une infinité de termes qui deviennent progressivement plus petits. (Voir : Série géométrique , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , La quadrature de la parabole .) Son argument, appliquant la méthode de l'épuisement pour prouver que la somme infinie en question est égal à l'aire d'un carré particulier, est largement géométrique mais assez rigoureux. L' analyse d'aujourd'hui aboutit au même résultat, en utilisant des limites (voir séries convergentes ). Ces méthodes permettent la construction de solutions basées sur les conditions stipulées par Zeno, c'est-à-dire que le temps pris à chaque étape est géométriquement décroissant.

Thomas d'Aquin

Thomas d'Aquin , commentant l'objection d'Aristote, a écrit : « Les instants ne sont pas des parties du temps, car le temps n'est pas plus composé d'instants qu'une grandeur n'est faite de points, comme nous l'avons déjà prouvé. Il ne s'ensuit donc pas qu'une chose soit pas en mouvement dans un temps donné, simplement parce qu'il n'est en mouvement à aucun instant de ce temps. »

Bertrand Russell

Bertrand Russell a proposé ce qu'on appelle la "théorie du mouvement at-at". Il convient qu'il ne peut y avoir de mouvement "pendant" un instant sans durée, et soutient que tout ce qui est requis pour le mouvement est que la flèche soit à un point à un moment, à un autre point à un autre moment, et à des points appropriés entre ces deux points pour les temps intermédiaires. Dans cette vue, le mouvement n'est qu'un changement de position au fil du temps.

Hermann Weyl

Une autre solution proposée est de remettre en question l'une des hypothèses utilisées par Zénon dans ses paradoxes (en particulier la Dichotomie), qui est qu'entre deux points différents dans l'espace (ou le temps), il y a toujours un autre point. Sans cette hypothèse, il n'y a qu'un nombre fini de distances entre deux points, donc il n'y a pas de séquence infinie de mouvements, et le paradoxe est résolu. Selon Hermann Weyl , l'hypothèse selon laquelle l'espace est constitué d'unités finies et discrètes est sujette à un autre problème, donné par l'" argument tuile " ou "problème de la fonction de distance". D'après cela, la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dans l'espace discrétisé est toujours égale à la longueur de l'un des deux côtés, en contradiction avec la géométrie. Jean Paul Van Bendegem a soutenu que l'argument Tile peut être résolu, et que la discrétisation peut donc supprimer le paradoxe.

Henri Bergson

Une conclusion alternative, proposée par Henri Bergson dans son livre Matter and Memory de 1896 , est que, si le chemin est divisible, le mouvement ne l'est pas. Dans cet argument, les instants dans le temps et les grandeurs instantanées n'existent pas physiquement. Un objet en mouvement relatif ne peut pas avoir une position relative instantanée ou déterminée, et ne peut donc pas avoir son mouvement disséqué de manière fractionnée.

Pierre Lynd

En 2003, Peter Lynds a avancé un argument très similaire : tous les paradoxes du mouvement de Zeno sont résolus par la conclusion que les instants dans le temps et les grandeurs instantanées n'existent pas physiquement. Lynds soutient qu'un objet en mouvement relatif ne peut pas avoir une position relative instantanée ou déterminée (car si c'était le cas, il ne pourrait pas être en mouvement), et ne peut donc pas avoir son mouvement disséqué de manière fractionnée comme s'il le faisait, comme le supposent les paradoxes. Pour en savoir plus sur l'incapacité de connaître à la fois la vitesse et l'emplacement, voir le principe d'incertitude de Heisenberg .

Nick Huggett

Nick Huggett soutient que Zeno suppose la conclusion lorsqu'il dit que les objets qui occupent le même espace qu'au repos doivent être au repos.

Paradoxes des temps modernes

Les processus infinis sont restés théoriquement problématiques en mathématiques jusqu'à la fin du 19ème siècle. Avec la définition epsilon-delta de la limite , Weierstrass et Cauchy ont développé une formulation rigoureuse de la logique et du calcul impliqués. Ces travaux ont résolu les mathématiques impliquant des processus infinis.

Alors que les mathématiques peuvent calculer où et quand l'Achille en mouvement dépassera le paradoxe de la tortue de Zénon, des philosophes tels que Kevin Brown et Moorcroft prétendent que les mathématiques ne traitent pas le point central de l'argument de Zénon, et que résoudre les problèmes mathématiques ne résout pas tous les problèmes des paradoxes surgissent.

La littérature populaire déforme souvent les arguments de Zeno. Par exemple, on dit souvent que Zeno a soutenu que la somme d'un nombre infini de termes doit elle-même être infinie, avec pour résultat que non seulement le temps, mais aussi la distance à parcourir, deviennent infinis. Cependant, aucune des sources anciennes originales n'a Zeno discutant la somme d'une série infinie. Simplicius fait dire à Zénon « qu'il est impossible de traverser un nombre infini de choses en un temps fini ». Cela pose le problème de Zeno non pas pour trouver la somme , mais plutôt pour terminer une tâche avec un nombre infini d'étapes : comment peut-on jamais aller de A à B, si un nombre infini d'événements (non instantanés) peuvent être identifiés qui doivent être précèdent l'arrivée en B, et l'on ne peut même pas atteindre le début d'un « dernier événement » ?

Une version humoristique est proposée par Tom Stoppard dans sa pièce Jumpers (1972), dans laquelle le protagoniste principal, le professeur de philosophie George Moore, suggère que selon le paradoxe de Zénon, Saint Sébastien , un saint chrétien du IIIe siècle martyrisé par des flèches, mort de peur.

Le débat se poursuit sur la question de savoir si les paradoxes de Zénon ont été résolus ou non. Dans The History of Mathematics : An Introduction (2010), Burton écrit : « Bien que l'argument de Zeno ait confondu ses contemporains, une explication satisfaisante intègre une idée désormais familière, la notion de « série infinie convergente ».

Bertrand Russell a proposé une "solution" aux paradoxes en s'appuyant sur les travaux de Georg Cantor , mais Brown conclut "Compte tenu de l'histoire des "résolutions finales", depuis Aristote, il est probablement téméraire de penser que nous sommes arrivés au bout. que les arguments de Zeno sur le mouvement, en raison de leur simplicité et de leur universalité, serviront toujours d'une sorte d '« image de Rorschach » sur laquelle les gens pourront projeter leurs préoccupations phénoménologiques les plus fondamentales (s'ils en ont). »

Une considération philosophique chinoise ancienne similaire

Les anciens philosophes chinois de l'école mohiste des noms pendant la période des Royaumes combattants de la Chine (479-221 av. J.-C.) ont développé des équivalents à certains des paradoxes de Zénon. Le scientifique et historien Sir Joseph Needham , dans son ouvrage Science and Civilization in China , décrit un ancien paradoxe chinois tiré du livre de logique survivant de l'École des noms de Mohist qui déclare, dans l' ancienne écriture chinoise archaïque , « un bâton d'un pied, chaque jour enlevez-en la moitié, dans une myriade d'âges, il ne sera pas épuisé." Plusieurs autres paradoxes de cette école philosophique (plus précisément le mouvement) sont connus, mais leur interprétation moderne est plus spéculative.

Effet Zénon quantique

En 1977, les physiciens EC George Sudarshan et B. Misra ont découvert que l'évolution dynamique (mouvement) d'un système quantique peut être entravée (voire inhibée) par l'observation du système. Cet effet est généralement appelé "effet quantique Zeno" car il rappelle fortement le paradoxe de la flèche de Zeno. Cet effet a été théorisé pour la première fois en 1958.

Comportement Zénon

Dans le domaine de la vérification et de la conception de systèmes temporisés et hybrides , le comportement du système est appelé Zeno s'il comprend un nombre infini d'étapes discrètes en un temps fini. Certaines techniques de vérification formelle excluent ces comportements de l'analyse, s'ils ne sont pas équivalents à des comportements non Zeno. Dans la conception de systèmes, ces comportements seront également souvent exclus des modèles de système, car ils ne peuvent pas être mis en œuvre avec un contrôleur numérique.

Lewis Carroll et Douglas Hofstadter

Ce que la tortue a dit à Achille , écrit en 1895 par Lewis Carroll , était une tentative de révéler un paradoxe analogue dans le domaine de la logique pure. Si l'argument de Carroll est valable, l'implication est que les paradoxes du mouvement de Zeno ne sont pas essentiellement des problèmes d'espace et de temps, mais vont droit au cœur du raisonnement lui-même. Douglas Hofstadter a fait de l'article de Carroll une pièce maîtresse de son livre Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid , écrivant de nombreux autres dialogues entre Achille et la tortue pour élucider ses arguments. Hofstadter relie les paradoxes de Zeno au théorème d'incomplétude de Gödel pour tenter de démontrer que les problèmes soulevés par Zeno sont omniprésents et manifestes dans la théorie des systèmes formels, l'informatique et la philosophie de l'esprit.

Voir également

• Des grandeurs incommensurables
• Régression infinie
• Philosophie de l'espace et du temps
• Renormalisation
• Paradoxe Ross-Littlewood
• École des noms
• Supertâche
• " Ce que la tortue a dit à Achille ", un dialogue allégorique sur les fondements de la logique par Lewis Carroll (1895).
• Machine Zénon
• Liste des paradoxes

Remarques

Les références

Liens externes

• Dowden, Bradley. " Les paradoxes de Zénon ." Entrée dans l' Encyclopédie Internet de la philosophie .
• "Antinomy" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Introduction à la philosophie mathématique , Ludwig-Maximilians-Universität München
• Silagadze, ZK " Zeno rencontre la science moderne ",
• Le paradoxe de Zeno : Achille et la tortue par Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project .
• Kevin Brown sur Zeno et le paradoxe du mouvement
• Palmer, John (2008). "Zénon d'Élée" . Encyclopédie de philosophie de Stanford .
• Cet article incorpore du matériel du paradoxe de Zeno sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• La crasse, James. "Le paradoxe de Zeno" . Numérophile . Brady Haran . Archivé de l'original le 2018-10-03 . Récupéré le 2013-04-13 .