Zéro d'une fonction - Zero of a function

Un graphique de la fonction ?'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'?  pour ?'"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'?  dans ?'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'?, avec des zéros à ?'"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'?, et ?'"`UNIQ--postMath-00000005- QINU`"' ?  marqué en rouge.
Un graphique de la fonction pour in , avec des zéros à , et marqué en rouge .

En mathématiques , un zéro (aussi parfois appelé racine ) d'une fonction réelle , complexe ou généralement à valeur vectorielle , est un membre du domaine de tel qui s'annule à ; c'est-à-dire que la fonction atteint la valeur 0 à , ou de manière équivalente, est la solution de l'équation . Un "zéro" d'une fonction est donc une valeur d'entrée qui produit une sortie de 0.

Une racine d'un polynôme est un zéro de la fonction polynomiale correspondante . Le théorème fondamental de l'algèbre montre que tout polynôme non nul a un nombre de racines au plus égal à son degré , et que le nombre de racines et le degré sont égaux quand on considère les racines complexes (ou plus généralement, les racines dans un extension algébriquement fermée ) comptées avec leurs multiplicités . Par exemple, le polynôme de degré deux, défini par

a les deux racines et , puisque

.

Si la fonction mappe des nombres réels sur des nombres réels, alors ses zéros sont les coordonnées des points où son graphique rencontre l' axe des x . Un autre nom pour un tel point dans ce contexte est un -intercept.

Solution d'une équation

Toute équation dans l' inconnue peut être réécrite comme

en regroupant tous les termes dans la partie gauche. Il s'ensuit que les solutions d'une telle équation sont exactement les zéros de la fonction . En d'autres termes, un "zéro d'une fonction" est précisément une "solution de l'équation obtenue en égalant la fonction à 0", et l'étude des zéros des fonctions est exactement la même que l'étude des solutions des équations.

Racines polynomiales

Tout polynôme réel de degré impair a un nombre impair de racines réelles (en comptant les multiplicités ); de même, un polynôme réel de degré pair doit avoir un nombre pair de racines réelles. Par conséquent, les polynômes impairs réels doivent avoir au moins une racine réelle (car le plus petit nombre entier impair est 1), alors que les polynômes pairs peuvent n'en avoir aucune. Ce principe peut être prouvé en se référant au théorème des valeurs intermédiaires : les fonctions polynomiales étant continues , la valeur de la fonction doit passer par zéro, en train de passer du négatif au positif ou vice versa (ce qui arrive toujours pour les fonctions impaires).

Théorème fondamental de l'algèbre

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que chaque polynôme de degré a des racines complexes, comptées avec leurs multiplicités. Les racines non réelles des polynômes à coefficients réels se présentent par paires conjuguées . Les formules de Vieta relient les coefficients d'un polynôme aux sommes et aux produits de ses racines.

Racines informatiques

Le calcul des racines de fonctions, par exemple les fonctions polynomiales , nécessite fréquemment l'utilisation de techniques spécialisées ou d' approximation (par exemple, la méthode de Newton ). Cependant, certaines fonctions polynomiales, y compris toutes celles dont le degré n'est pas supérieur à 4, peuvent avoir toutes leurs racines exprimées algébriquement en fonction de leurs coefficients (pour plus d'informations, voir solution algébrique ).

Mise à zéro

Dans divers domaines des mathématiques, l' ensemble de zéros d'une fonction est l'ensemble de tous ses zéros. Plus précisément, si est une fonction à valeur réelle (ou, plus généralement, une fonction prenant des valeurs dans un groupe additif ), son jeu de zéros est , l' image inverse de dans .

Le terme ensemble de zéros est généralement utilisé lorsqu'il y a une infinité de zéros et qu'ils ont des propriétés topologiques non triviales . Par exemple, un ensemble de niveaux d'une fonction est l'ensemble zéro de . L' ensemble cozéro de est le complément de l'ensemble zéro de (c'est-à-dire dont le sous-ensemble de sur est différent de zéro).

Applications

En géométrie algébrique , la première définition d'une variété algébrique se fait par des ensembles de zéros. Plus précisément, un ensemble algébrique affine est l' intersection des ensembles zéro de plusieurs polynômes, dans un anneau polynomial sur un corps . Dans ce contexte, un ensemble zéro est parfois appelé un locus zéro .

En analyse et en géométrie , tout sous - ensemble fermé de est l' ensemble zéro d' une fonction lisse définie sur l' ensemble de . Ceci s'étend à toute variété lisse comme corollaire de la paracompactité .

En géométrie différentielle , les ensembles de zéros sont fréquemment utilisés pour définir les variétés . Un cas particulier important est le cas qui est une fonction lisse de à . Si zéro est une valeur régulière de , alors l'ensemble zéro de est une variété lisse de dimension par le théorème des valeurs régulières .

Par exemple, l'unité - sphère dans est l'ensemble zéro de la fonction à valeur réelle .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires