Adéquation - Adequality

L'adéquation est une technique développée par Pierre de Fermat dans son traité Methodus ad disquirendam maximam et minimam ( traité latin circulé en France vers 1636) pour calculer les maxima et minima de fonctions, tangentes aux courbes, aire , centre de masse , moindre action , et d'autres problèmes de calcul . Selon André Weil , Fermat «introduit le terme technique adaequalitas, adaequare, etc., qu'il dit avoir emprunté à Diophantus . Comme le montre Diophantus V.11, cela signifie une égalité approximative, et c'est bien ainsi que Fermat explique le mot en l'un de ses écrits ultérieurs. " (Weil 1973). Diophantus a inventé le mot παρισότης ( parisotēs ) pour désigner une égalité approximative. Claude Gaspard Bachet de Méziriac a traduit le mot grec de Diophantus en latin par adaequalitas . La traduction française de Paul Tannery des traités latins de Fermat sur les maxima et minima utilise les mots adéquation et adégaler .

Méthode de Fermat

Fermat a d'abord utilisé l' adéquation pour trouver des maxima de fonctions, puis l'a adaptée pour trouver des lignes tangentes aux courbes.

Pour trouver le maximum d'un terme , Fermat a assimilé (ou plus précisément adéquat) et et après avoir fait de l'algèbre, il a pu annuler un facteur de puis rejeter tous les termes restants impliquant Pour illustrer la méthode par le propre exemple de Fermat, considérons le problème de trouver le maximum de (Dans les mots de Fermat, c'est diviser une ligne de longueur en un point , de telle sorte que le produit des deux parties résultantes soit un maximum.) Fermat adéquat avec . C'est-à-dire (en utilisant la notation pour désigner l'adéquation, introduite par Paul Tannery ): ${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x + e)}$${\ displaystyle e,}$${\ displaystyle e.}$${\ displaystyle p (x) = bx-x ^ {2}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle bx-x ^ {2}}$${\ Displaystyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}}$${\ displaystyle \ backsim}$

${\ displaystyle bx-x ^ {2} \ backsim bx-x ^ {2} + be-2ex-e ^ {2}.}$

Les conditions d'annulation et de division par Fermat sont arrivées à ${\ displaystyle e}$

${\ Displaystyle b \ backsim 2x + e.}$

La suppression des termes qui contenaient Fermat est arrivé au résultat souhaité que le maximum se soit produit quand . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle x = b / 2}$

Fermat a également utilisé son principe pour donner une dérivation mathématique des lois de la réfraction de Snell directement à partir du principe que la lumière emprunte le chemin le plus rapide.

La critique de Descartes

La méthode de Fermat a été très critiquée par ses contemporains, en particulier Descartes . Victor Katz suggère que c'est parce que Descartes avait découvert indépendamment les mêmes nouvelles mathématiques, connues sous le nom de sa méthode des normales , et Descartes était assez fier de sa découverte. Katz note également que si les méthodes de Fermat étaient plus proches des développements futurs du calcul, les méthodes de Descartes ont eu un impact plus immédiat sur le développement.

Polémique scientifique

Newton et Leibniz ont tous deux fait référence au travail de Fermat comme un antécédent du calcul infinitésimal . Néanmoins, il existe un désaccord parmi les savants modernes sur la signification exacte de l'adéquation de Fermat. L' adéquation de Fermat a été analysée dans un certain nombre d'études scientifiques. En 1896, Paul Tannery a publié une traduction française des traités latins de Fermat sur les maxima et minima (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121–156). Tannery traduit le terme de Fermat par «adégaler» et adopte «l'adéquation» de Fermat. La tannerie a également introduit le symbole de l'adéquation dans les formules mathématiques. ${\ displaystyle \ backsim}$

Heinrich Wieleitner (1929) a écrit:

Fermat remplace A avec A + E . Puis il définit la nouvelle expression à peu près égale ( angenähert gleich ) à l'ancienne, annule un pied d'égalité des deux côtés, et divise par la plus grande puissance possible de E . Il annule ensuite tous les termes qui contiennent E et définit ceux qui restent égaux les uns aux autres. A partir de là [les résultats requis] A. Que E devrait être aussi petit que possible n'est dit nulle part et est au mieux exprimé par le mot "adaequalitas".

(Wieleitner utilise le symbole .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sim}$

Max Miller (1934) a écrit:

Là-dessus, on devrait mettre les deux termes, qui expriment le maximum et le minimum, approximativement égaux ( näherungsweise gleich ), comme le dit Diophantus.

(Miller utilise le symbole .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Jean Itard (1948) écrit:

On sait que l'expression "adégaler" est adoptée par Fermat de Diophantus, traduit par Xylander et par Bachet. Il s'agit d'une égalité approximative ( égalité approximative ) ».

(Itard utilise le symbole .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ backsim}$

Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) a écrit:

Fermat choisit une quantité h , considérée comme suffisamment petite, et met f ( x  +  h ) à peu près égale ( ungefähr gleich ) à f ( x ). Son terme technique est adaequare .

(Hofmann utilise le symbole .) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Peer Strømholm (1968) a écrit:

La base de l'approche de Fermat était la comparaison de deux expressions qui, bien qu'elles aient la même forme, n'étaient pas exactement égales . Il a appelé cette partie du processus " comparare par adaequalitatem " ou " comparateur per adaequalitatem ", et cela impliquait que l'identité par ailleurs stricte entre les deux côtés de "l'équation" était détruite par la modification de la variable par une petite quantité:

${\ displaystyle \ scriptstyle f (A) {\ sim} f (A + E)}$ .

Telle était, je crois, la vraie signification de son utilisation du πἀρισον de Diophantos, soulignant la petitesse de la variation. La traduction ordinaire de «adaequalitas» semble être « égalité approximative », mais je préfère de loin « pseudo-égalité » pour présenter la pensée de Fermat à ce stade.

Il note en outre qu '"il n'a jamais été question dans M1 (méthode 1) de mettre la variation E égale à zéro. Les mots utilisés par Fermat pour exprimer le processus de suppression des termes contenant E étaient' elido ',' deleo 'et' expungo ', et en français' i'efface 'et' i'ôte '. On peut difficilement croire qu'un homme sensé, désireux d'exprimer son sens et cherchant des mots, se heurterait constamment à des moyens aussi tortueux de communiquer le simple fait que le termes ont disparu parce que E était nul. (p. 51) Claus Jensen (1969) a écrit:

De plus, en appliquant la notion d' adégalité - qui constitue la base de la méthode générale de construction des tangentes de Fermat, et par laquelle on entend une comparaison de deux grandeurs comme si elles étaient égales, bien qu'elles ne le soient en fait pas ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint ") - J'emploierai le symbole le plus courant de nos jours . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

La citation latine provient de l'édition 1891 de Fermat de Tannery, volume 1, page 140. Michael Sean Mahoney (1971) a écrit:

La méthode des maxima et minima de Fermat, qui est clairement applicable à tout polynôme P (x) , reposait à l'origine sur des fondations algébriques purement finitistes . Elle a supposé, contrefactuellement , l'inégalité de deux racines égales pour déterminer, par la théorie des équations de Viete, une relation entre ces racines et l'un des coefficients du polynôme, relation tout à fait générale. Cette relation a ensuite conduit à une solution de valeur extrême lorsque Fermat a retiré son hypothèse contrefactuelle et a établi les racines égales. Empruntant un terme à Diophantus, Fermat a appelé cette égalité contrefactuelle «adéquation».

(Mahoney utilise le symbole .) À la p. 164, fin de la note 46, Mahoney fait remarquer que l'un des sens de l'adéquation est égalité ou égalité approximative dans le cas limitatif . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) a écrit: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Par exemple, pour déterminer comment subdiviser un segment de longueur en deux segments et dont le produit est maximal, c'est-à-dire trouver le rectangle de périmètre qui a l'aire maximale, il [Fermat] procède comme suit. Il a d'abord remplacé ${\ displaystyle \ scriptstyle b}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$${\ displaystyle \ scriptstyle bx}$${\ displaystyle \ scriptstyle x (bx) = bx-x ^ {2}}$${\ displaystyle \ scriptstyle 2b}$${\ displaystyle \ scriptstyle x + e}$

(il a utilisé A , E au lieu de x , e ) pour l'inconnu x , puis a noté la "pseudo-égalité" suivante pour comparer l'expression résultante avec celle d'origine:

${\ displaystyle \ scriptstyle b (x + e) ​​- (x + e) ​​^ {2} = bx + be-x ^ {2} -2xe-e ^ {2} \; \ sim \; bx-x ^ { 2}.}$

Après avoir annulé les termes, il a divisé par e pour obtenir Enfin il a écarté le terme restant contenant e , transformant la pseudo-égalité en la véritable égalité qui donne la valeur de x qui rend maximale. Malheureusement, Fermat n'a jamais expliqué la base logique de cette méthode avec suffisamment de clarté ou d'exhaustivité pour éviter des désaccords entre les historiens sur ce qu'il voulait dire ou avoir l'intention. " ${\ displaystyle \ scriptstyle b-2 \, xe \; \ sim \; 0.}$${\ displaystyle \ scriptstyle x = {\ frac {b} {2}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle bx-x ^ {2}}$

Kirsti Andersen (1980) a écrit:

Les deux expressions du maximum ou du minimum sont rendues "adéquates" , ce qui signifie quelque chose d' aussi presque égal que possible .

(Andersen utilise le symbole .) Herbert Breger (1994) a écrit: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ approx}$

Je veux avancer mon hypothèse: Fermat a utilisé le mot «adaequare» dans le sens de «mettre égal» ... Dans un contexte mathématique, la seule différence entre «aequare» et «adaequare» semble être que ce dernier donne insister davantage sur le fait que l’égalité est atteinte.

(Page 197f.) John Stillwell (Stillwell 2006 p. 91) a écrit:

Fermat a introduit l'idée d'adéquation dans les années 1630, mais il était en avance sur son temps. Ses successeurs n'étaient pas disposés à renoncer à la commodité des équations ordinaires, préférant utiliser l'égalité de manière lâche plutôt que d'utiliser l'adéquation avec précision. L'idée d'adéquation n'a été relancée qu'au XXe siècle, dans l' analyse dite non standard .

Enrico Giusti (2009) cite la lettre de Fermat à Marin Mersenne où Fermat écrit:

Cette comparaison par adégalité deux termes inégaux qui produit enfin l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question "(" Cette comparaison par adéquation produit deux termes inégaux qui produisent finalement l'égalité (suivant ma méthode) qui donne nous la solution du problème ") ..

Giusti note dans une note de bas de page que cette lettre semble avoir échappé à l'attention de Breger.

Klaus Barner (2011) affirme que Fermat utilise deux mots latins différents (aequabitur et adaequabitur) pour remplacer le signe égal de nos jours habituel, aequabitur lorsque l'équation concerne une identité valide entre deux constantes, une formule universellement valide (prouvée) ou une équation conditionnelle , adaequabitur , cependant, lorsque l'équation décrit une relation entre deux variables, qui ne sont pas indépendantes (et que l'équation n'est pas une formule valide). À la page 36, Barner écrit: "Pourquoi Fermat a-t-il continuellement répété sa procédure incohérente pour tous ses exemples de méthode des tangentes? Pourquoi n'a-t-il jamais mentionné la sécante, avec laquelle il a en fait opéré? Je ne sais pas."

Katz, Schaps, Shnider (2013) soutiennent que l'application par Fermat de la technique aux courbes transcendantales telles que la cycloïde montre que la technique d'adéquation de Fermat va au-delà d'un algorithme purement algébrique, et que, contrairement à l'interprétation de Breger, les termes techniques parisotes utilisés par Diophantus et adaequalitas tels qu'utilisés par Fermat signifient tous deux "égalité approximative". Ils développent une formalisation de la technique d'adéquation de Fermat en mathématiques modernes en tant que fonction de partie standard qui arrondit un nombre hyperréel fini à son nombre réel le plus proche .

Voir également

• Principe de Fermat
• Loi transcendantale d'homogénéité

Les références

Bibliographie

• Breger, H. (1994) "Les mystères de adaequare: une justification de Fermat", Archive for History of Exact Sciences 46 (3): 193–219.
• Edwards, CH Jr. (1994), Le développement historique du calcul , Springer
• Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
• Grabiner, Judith V. (septembre 1983), "The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass" , Mathematics Magazine , 56 (4): 195–206, doi : 10.2307 / 2689807 , JSTOR   2689807
• Katz, V. (2008), Une histoire des mathématiques: une introduction , Addison Wesley
• Stillwell, J. (2006) Aspirant à l'impossible. Les vérités surprenantes des mathématiques , page 91, AK Peters, Ltd. , Wellesley, MA.
• Weil, A. , Critique de livre: La carrière mathématique de Pierre de Fermat. Taureau. Amer. Math. Soc. 79 (1973), no. 6, 1138-1149.