Surface - Area


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Surface
symboles communs
UNE
unité SI Mètre carré [m 2 ]
Dans les unités de base du SI m 2
Trois formes sur une grille carrée
La superficie totale de ces trois formes est d' environ 15,57 carrés .

Région est la quantité qui exprime l'étendue d'une à deux dimensions figure ou forme , ou lamelle plane , dans le plan . La surface est de son analogue sur les deux dimensions surface d'un objet tridimensionnel . Zone peut être comprise comme la quantité de matériau avec une épaisseur donnée qui serait nécessaire pour façonner un modèle de la forme, ou la quantité de peinture nécessaire pour recouvrir la surface avec une seule couche. Il est l'analogue en deux dimensions de la longueur d'une courbe (un concept à une dimension) ou le volume d'un solide (un concept en trois dimensions).

La superficie d'une forme peut être mesurée en comparant la forme de carrés de taille fixe. Dans le système international d'unités (SI), l'unité standard de la zone est le mètre carré (écrit en m 2 ), qui est l'aire d'un carré dont les côtés sont un mètre de long. Une forme d'une surface de trois mètres carrés aurait le même secteur que trois de ces carrés. En mathématiques , le carré unité est définie pour avoir une zone, et la zone de toute autre forme ou surface est une dimension nombre réel .

Il y a plusieurs bien connus des formules pour les zones de formes simples telles que des triangles , des rectangles et des cercles . L' utilisation de ces formules, la zone d'un polygone peut être trouvée en divisant le polygone en triangles . Pour les formes avec limite courbe, le calcul est généralement nécessaire pour calculer la zone. En effet, le problème de la détermination de la zone des chiffres d'avion a été une motivation majeure pour le développement historique du calcul .

Pour une forme solide telle qu'une sphère , un cône ou cylindre, la zone de sa surface limite est appelée la zone de surface . Formules pour les surfaces de formes simples ont été calculées par les anciens Grecs , mais le calcul de la surface d'une forme plus complexe nécessite généralement le calcul multivariée .

Secteur joue un rôle important dans les mathématiques modernes. En plus de son importance évidente dans la géométrie et le calcul, la région est liée à la définition des facteurs déterminants dans l' algèbre linéaire , et est une propriété de base des surfaces de géométrie différentielle . Dans l' analyse , la zone d'un sous - ensemble du plan est défini à l' aide mesure de Lebesgue , mais pas tous les sous - ensemble est mesurable. En général, la zone en mathématiques supérieures est considéré comme un cas particulier du volume pour les régions à deux dimensions.

Zone peut être définie par l'utilisation d'axiomes, définir en fonction d'un ensemble de certaines figures d'avion pour l'ensemble des nombres réels. Il peut être prouvé qu'une telle fonction existe.

Définition formelle

Une façon de définir ce qu'on entend par « zone » est par axiomes . « Zone » peut être défini comme une fonction à partir d' une collection de M de type spécial de figures planes (appelées ensembles mesurables) à l'ensemble des nombres réels satisfaisant les propriétés suivantes:

  • Pour tous S en M , un ( S ) ≥ 0.
  • Si S et T sont en M alors sont donc ST et ST , et aussi un ( ST ) = a ( S ) + un ( T ) - un ( ST ).
  • Si S et T sont en M avec ST puis T - S est en M et un ( T - S ) = a ( T ) - un ( S ).
  • Si un ensemble S est en M et S est conforme à T alors T est également en M et un ( S ) = a ( T ).
  • Chaque rectangle R est M . Si le rectangle a une longueur h et la largeur k puis un ( R ) = hk .
  • Soit Q un ensemble enfermé entre deux régions étape S et T . Une région de gradin est formée à partir d' une union finie de rectangles adjacents reposant sur une base commune, à savoir SQT . S'il y a un numéro unique c de telle sorte que la ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) pour toutes les régions de pas S et T , puis un ( Q ) = c .

Il peut être prouvé qu'une telle fonction de zone existe réellement.

unités

Un carré en un tuyau en PVC sur l'herbe
Un mètre carré quadrat fait de tuyau en PVC.

Chaque unité de longueur a une unité correspondante de la zone, à savoir la surface d'un carré dont la longueur du côté donné. Ainsi , les zones peuvent être mesurés en mètres carrés (m 2 ), centimètres carrés (cm 2 ), millimètres carrés (mm 2 ), kilomètres carrés (km 2 ), pieds carrés (pi 2 ), yards carrés (yd 2 ), miles carrés (mi 2 ), et ainsi de suite. Algébriquement, ces unités peuvent être considérés comme les carrés des unités de longueur correspondantes.

L'unité SI de la zone est le mètre carré, ce qui est considéré comme une unité dérivée SI .

conversions

Un diagramme montrant le facteur de conversion entre les différentes zones
Bien qu'il y ait de 10 mm à 1 cm, il y a 100 mm 2 à 1 cm 2 .

Calcul de l'aire d'un carré dont la longueur et la largeur sont de 1 mètre serait:

1 m x 1 m = 1 m 2

et ainsi, un rectangle avec des côtés différents (par exemple une longueur de 3 mètres et une largeur de 2 mètres) aurait une zone en unités carrées qui peuvent être calculés comme suit:

3 m x 2 m = 6 m 2 . Cela équivaut à 6 millions de millimètres carrés. D' autres conversions sont utiles:

  • 1 kilomètre carré = 1.000.000 mètres carrés
  • 1 mètre carré = 10.000 centimètres carrés = 1.000.000 millimètres carrés
  • 1 centimètre carré = 100 millimètres carrés.

Unités non métriques

Dans les unités non métriques, la conversion entre deux unités carrées est le carré de la conversion entre les unités de longueur correspondante.

1 pied = 12 pouces ,

la relation entre les pieds carrés et pouces carrés est

1 pied carré = 144 pouces carrés,

où 144 = 12 2 = 12 × 12. De même:

  • 1 cour carré = 9 pieds carrés
  • 1 mile carré = 3,097,600 yards carrés = 27,878,400 pieds carrés

En outre, les facteurs de conversion comprennent:

  • 1 pouce carré = 6,4516 centimètres carrés
  • 1 pied carré = 0,092 903 04 mètres carrés
  • 1 yard carré = 0,836 127 36 mètres carrés
  • Une mile carré = 2.589 988 110 336 kilomètres carrés

D'autres unités, y compris historique

Il y a plusieurs autres unités communes pour la zone. Le sont - était l'unité d' origine de la zone dans le système métrique , avec:

  • 1 sont = 100 mètres carrés

Bien que le sont a tombé en désuétude, l' hectare est encore couramment utilisé pour mesurer la terre:

  • 1 hectare = 100 ares = 10.000 mètres carrés = 0,01 kilomètres carrés

D' autres unités métriques rares de surface comprennent la tétrade , la hectad et la myriade .

L' acre est aussi couramment utilisé pour mesurer les terres, où

  • 1 acre = 4,840 verges = 43,560 pieds carrés carrés.

Un acre est d'environ 40% d'un hectare.

A l'échelle atomique, la zone est mesurée en unités de granges , de telle sorte que:

  • Une grange = 10 -28 mètres carrés.

La grange est couramment utilisé pour décrire la section transversale de l' interaction en physique nucléaire .

En Inde,

  • 20 dhurki = 1 Dhur
  • 20 Dhur = 1 khatha
  • 20 Khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acre

L'histoire

zone cercle

Dans le 5ème siècle BCE, Hippocrate de Chios fut le premier à montrer que la zone d'un disque (la région délimitée par un cercle) est proportionnelle au carré de son diamètre, dans le cadre de sa quadrature du Lune d'Hippocrate , mais a pas identifier la constante de proportionnalité . Eudoxe de Cnide , également au 5ème siècle avant notre ère, a également constaté que la surface d'un disque est proportionnelle à son rayon carré.

Par la suite, le Livre I d'Euclide Éléments eu affaire à l' égalité des zones entre les figures en deux dimensions. Le mathématicien Archimedes a utilisé les outils de géométrie euclidienne pour montrer que la zone à l' intérieur d' un cercle est égale à celle d'un triangle dont la base a la longueur de la circonférence du cercle et dont la hauteur est égale à dans son livre le rayon du cercle, la mesure d'un cercle . (La circonférence est égal à 2 π r , et l'aire d'un triangle est la moitié du temps de base de la hauteur, ce qui donne de la zone de r 2 pour le disque.) Archimède approchée de la valeur de π (et donc l'aire d'un cercle de rayon unité ) avec sa méthode doublement , dans lequel il inscrit un triangle équilatéral dans un cercle et a noté sa région, puis a doublé le nombre de côtés pour donner un régulier hexagone , puis doublé à plusieurs reprises le nombre de côtés que la zone du polygone se rapproche et plus proche de celle du cercle (et fait de même avec des polygones circonscrits ).

Scientifique suisse Johann Heinrich Lambert en 1761 a montré que π , le rapport de la superficie d'un cercle à son rayon au carré, est irrationnel , ce qui signifie qu'il est pas égal au quotient de deux nombres entiers. En 1794 , le mathématicien français Adrien-Marie Legendre a prouvé que π 2 est irrationnel; cela prouve aussi que π est irrationnel. En 1882, mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann a prouvé que π est transcendantale ( et non la solution d'une équation polynomiale à coefficients rationnels), ce qui confirme une conjecture faite par les deux Legendre et Euler.

triangle

Heron (ou Hero) d'Alexandrie trouvé ce qu'on appelle la formule de Héron pour la zone d'un triangle en fonction de ses côtés, et une preuve se trouve dans son livre, Metrica , écrit environ 60 CE. Il a été suggéré que Archimedes connaissait la formule plus de deux siècles plus tôt, et depuis Metrica est une collection de la connaissance mathématique disponible dans le monde antique, il est possible que la formule est antérieure à la référence donnée dans ce travail.

En 499 Aryabhata , un grand mathématicien - astronome de l'âge classique des mathématiques indiennes et astronomie indienne , a exprimé l'aire d'un triangle comme un demi-temps de base de la hauteur dans la Aryabhatiya (section 2.6).

Une formule équivalente à celle du Héron a été découvert par les Chinois , indépendamment des Grecs. Il a été publié en 1247 dans Shushu Jiuzhang ( « Traité mathématique dans neuf sections »), écrit par Qin Jiushao .

zone quadrilatérale

Dans le 7ème siècle CE, Brahmagupta a développé une formule, maintenant connue sous le nom de la formule de Brahmagupta , pour la zone d'un quadrilatère cyclique (un quadrilatère inscrit dans un cercle) en fonction de ses côtés. En 1842 , les mathématiciens allemands Carl Anton Bretschneider et Karl Georg Christian von Staudt trouvé indépendamment une formule, dite formule de Bretschneider , pour la zone de toute quadrangulaire.

zone de polygone général

Le développement de coordonnées cartésiennes par René Descartes au 17ème siècle a permis le développement de la formule de l' arpenteur pour la zone d'un polygone quelconque avec connus sommet endroits par Gauss au 19ème siècle.

Zones déterminées en utilisant le calcul

Le développement du calcul intégral à la fin du 17ème siècle a fourni des outils qui pourraient ensuite être utilisés pour calculer les zones les plus complexes, comme la surface d'une ellipse et les zones de surface de divers objets en trois dimensions courbes.

formules de la région

formules de Polygon

Pour un (non auto-coupant simples ) polygone, les coordonnées cartésiennes ( i = 0, 1, ..., n - 1) dont les n sommets sont connus, la zone est donné par la formule de géomètre :

où lorsque i = n - 1, alors i 1 est exprimée comme module n et ainsi se réfère à 0.

rectangles

Un rectangle avec une longueur et une largeur marquée
La zone de ce rectangle est  pv .

La formule la plus de surface de base est la formule pour la zone d'un rectangle . Compte tenu d' un rectangle avec une longueur L et de largeur w , la formule de la région est la suivante :

A = lw  (rectangle).

Autrement dit, la surface du rectangle correspond à la longueur multipliée par la largeur. Comme cas particulier, comme l = w dans le cas d'un carré, la surface d'un carré avec des côtés de longueur s est donnée par la formule:

A = de 2  (carrés).

La formule pour la zone d'un rectangle découle directement des propriétés de base de la zone, et est parfois considéré comme une définition ou axiome . D'autre part, si la géométrie est développée avant l' arithmétique , cette formule peut être utilisée pour définir la multiplication des nombres réels .

Un schéma montrant comment un parallélogramme peut être re-agencé sous la forme d'un rectangle
les chiffres de la région égales.

Dissection, parallélogrammes et triangles

La plupart des autres formules simples pour la zone suivent de la méthode de dissection . Cela consiste à couper une forme en morceaux, dont les zones doivent résumer à la zone de la forme originale.

Pour un exemple, tout parallélogramme peut être subdivisé en un trapèze et un triangle , comme le montre la figure à gauche. Si le triangle est déplacé de l'autre côté du trapézoïde, le chiffre obtenu est un rectangle. Il en résulte que la zone du parallélogramme est la même que la zone du rectangle:

A = bh  (parallélogramme).
Une fraction de parallélogramme en deux triangles égaux
Deux triangles égaux.

Cependant, le même parallélogramme peut aussi être coupé le long d' une diagonale en deux congruents triangles, comme le montre la figure à droite. Il en résulte que la surface de chaque triangle est la moitié de la surface du parallélogramme:

 (Triangle).

Des arguments similaires peuvent être utilisés pour trouver des formules de la région pour le trapézoïde , ainsi que plus complexes polygones .

Zone de formes courbes

cercles

Un cercle divisé en plusieurs secteurs peut être réarrangé à peu près pour former un parallélogramme
Un cercle peut être divisé en secteurs qui réarrangent pour former une approximation parallélogramme .

La formule de l'aire d'un cercle (plus correctement appelée la zone délimitée par un cercle ou dans la zone d'un disque ) est basé sur une méthode similaire. Soit un cercle de rayon r , il est possible de diviser le cercle en secteurs , comme le montre la figure à droite. Chaque secteur est à peu près de forme triangulaire, et les secteurs peut être réarrangé pour former un parallélogramme approximatif. La hauteur de ce parallélogramme est r , et la largeur est la moitié de la circonférence du cercle, ou π r . Ainsi, la superficie totale du cercle est π r 2 :

A = π r 2  (cercle).

Bien que la dissection utilisé dans cette formule est approximative, l'erreur devient de plus en plus petit que le cercle est divisé en de plus en plus de secteurs. La limite des zones des parallélogrammes approximatives est exactement π r 2 , qui est la zone du cercle.

Cet argument est en fait une simple application des idées de calcul . Dans les temps anciens, la méthode de l' épuisement a été utilisé d'une manière similaire pour trouver la zone du cercle, et cette méthode est maintenant reconnu comme un précurseur de calcul intégral . En utilisant des méthodes modernes, la zone d'un cercle peut être calculée à l' aide d' une intégrale définie :

ellipses

La formule de la zone délimitée par une ellipse est liée à la formule d'un cercle; pour une ellipse avec demi-grands et semi-petits axes x et y de la formule est la suivante :

Surface

Une sphère bleu à l'intérieur d'un cylindre de même hauteur et de rayon
Archimède a montré que la zone de surface d'une sphère est exactement quatre fois l'aire d'un plat disque de même rayon, et le volume enfermé par la sphère est exactement 2/3 du volume d'un cylindre de même hauteur et de rayon.

La plupart des formules de base pour la zone de surface peuvent être obtenus par des surfaces de coupe et de les aplatir. Par exemple, si la surface latérale d'un cylindre (ou de tout prisme ) est découpée longitudinalement, la surface peut être aplatie en un rectangle. De même, si une coupe est effectuée le long du côté d'un cône , la surface latérale peut être aplatie en un secteur d'un cercle, et la zone résultante calculée.

La formule de la surface d'une sphère est plus difficile à tirer: car une sphère a non nulle courbure gaussienne , il ne peut pas être aplati. La formule de la surface d'une sphère a été obtenue par Archimedes dans son travail sur la sphère et le cylindre . La formule est la suivante :

A = 4 πr 2  (sphère),

r est le rayon de la sphère. Comme avec la formule de l'aire d'un cercle, toute dérivation de cette formule utilise fondamentalement des procédés similaires à calcul .

formules générales

Domaines de figures 2 dimensions

  • Un triangle : (où B est tout côté, et h est la distance de la ligne sur laquelle B se trouve à l'autre sommet du triangle). Cette formule peut être utilisée si la hauteur h est connue. Si les longueurs des trois côtés sont connus alors la formule de Heron peut être utilisé: où a , b , c sont les côtés du triangle, et est la moitié de son périmètre. Si un angle et ses deux côtés inclus sont donnés, la zone est où C est l'angle donné et a et b sont ses côtés inclus. Si le triangle est représenté graphiquement sur un plan de coordonnées, une matrice peut être utilisée et est simplifiée à la valeur absolue de . Cette formule est également connu comme la formule de lacet et est un moyen facile de résoudre dans la zone d'une coordonnée triangle en substituant les 3 points (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , et (x 3 , y 3 ) . La formule peut également être Lacets utilisé pour trouver les zones d'autres polygones quand on connaît leurs sommets. Une autre approche pour une coordonnée triangle est d'utiliser le calcul pour trouver la région.
  • Un polygone simple , construit sur une grille de points égal-distancié (c. -à- pointe avec entier coordonnées) de telle sorte que tous les sommets de polygone sont des points de grille: où i est le nombre de points de grille à l' intérieur du polygone et b est le nombre de points limites . Ce résultat est connu comme le théorème de Pick .

Zone dans le calcul

Un diagramme montrant la zone comprise entre une courbe donnée et l'axe x
L' intégration peut être considérée comme la mesure de l'aire sous une courbe, définie par f ( x ), entre deux points (ici un et b ).
Un diagramme montrant la zone située entre deux fonctions
La zone située entre deux graphiques peut être évaluée en calculant la différence entre les intégrales des deux fonctions
  • La zone située entre une courbe positive évaluée et l'axe horizontal, mesuré entre deux valeurs a et b (b est définie comme étant la plus grande des deux valeurs) sur l'axe horizontal, est donnée par l'intégrale d' un à b de la fonction qui représente la courbe:
où est la courbe de la valeur y supérieure.
  • La zone délimitée par une courbe paramétrique d'extrémités est donnée par les lignes intégrales :

(voir le théorème de Green ) ou z monocomposant de

zone délimitée entre deux fonctions quadratiques

Pour trouver la zone délimitée entre deux fonctions du second degré , on retranche un de l'autre pour écrire la différence comme

f ( x ) est la borne supérieure quadratique et g ( x ) est la borne inférieure quadratique. Définir le discriminant de f ( x ) - g ( x ) comme

En simplifiant la formule intégrale entre les graphiques de deux fonctions (comme indiqué dans la section ci - dessus) et en utilisant la formule de Viète , nous pouvons obtenir

Le reste ci-dessus valable que si l'une des fonctions de délimitation est linéaire au lieu de second degré.

La surface de figures 3 dimensions

  • Cone : où r est le rayon de la base circulaire, et h est la hauteur. Cela peut aussi être réécrite comme ou où r est le rayon et l est la hauteur d'inclinaison du cône. est la superficie de base tout en est la zone de surface latérale du cône.
  • cube : où s est la longueur d'une arête.
  • cylindre : où r est le rayon d'une base et h est la hauteur. Le 2 r peut également être réécrite sous la forme d , où d est le diamètre.
  • prisme : 2B + Ph, où B est la surface d'une base, P est le périmètre d'une base, et h est la hauteur du prisme.
  • pyramide : où B est l'aire de la base, P est le périmètre de la base, et L est la longueur de la pente.
  • prisme rectangulaire : où est la longueur, w est la largeur, et h est la hauteur.

La formule générale pour la zone de surface

La formule générale de la surface du graphique d'une fonction continûment différentiable où et est une région dans le plan xy avec le bord lisse:

Une formule de l'aire du graphique d'un encore plus grand surface paramétrique sous la forme de vecteur où est une fonction vectorielle continûment différentiable de est:

Liste des formules

formules communes supplémentaires pour la zone:
Forme Formule Variables
Regular triangle ( triangle équilatéral ) est la longueur d'un côté du triangle.
Triangle est la moitié du périmètre , et sont la longueur de chaque côté.
Triangle et sont tous deux côtés, et est l'angle entre eux.
Triangle et sont la base de et altitude (mesurée perpendiculairement à la base), respectivement.
Triangle isocèle est la longueur de l' un des deux côtés égaux et est la longueur d'un côté différent.
Rhombus / Cerf - volant et les longueurs des deux diagonales du losange ou de cerf - volant.
Parallélogramme est la longueur de la base et est perpendiculaire à la hauteur.
trapèze et les faces parallèles et la distance (hauteur) entre les parallèles.
régulière hexagone est la longueur d'un côté de l'hexagone.
régulière octogone est la longueur d'un côté de l'octogone.
Polygone régulier est la longueur du côté et est le nombre de côtés.
Polygone régulier est le périmètre et est le nombre de côtés.
Polygone régulier est le rayon d'un cercle circonscrit, est le rayon d'un cercle inscrit, et est le nombre de côtés.
Polygone régulier est le nombre de côtés, est la longueur du côté, est le apothème , ou le rayon d'un cercle inscrit dans le polygone, et est le périmètre du polygone.
Cercle est le rayon et le diamètre .
secteur circulaire et sont le rayon et l' angle (en radians ), respectivement , et est la longueur du périmètre.
Ellipse et sont les demi-grands et semi-petits axes, respectivement.
Surface totale d'un cylindre et sont le rayon et la hauteur, respectivement.
la surface latérale d'un cylindre et sont le rayon et la hauteur, respectivement.
Surface totale d'une sphère et sont le rayon et le diamètre, respectivement.
Surface totale d'une pyramide est la surface de base, est le périmètre de la base et est la hauteur d'inclinaison.
Surface totale d'une pyramide tronquée est la surface de base, est le périmètre de la base et est la hauteur d'inclinaison.
Place à la conversion de zone circulaire est l'aire de la place en unités carrées.
Circulaire à la case de conversion de zone est l'aire du cercle en unités circulaires.

Les calculs ci - dessus montrent comment trouver les zones de plusieurs communes formes .

Les zones de polygones irréguliers peuvent être calculés selon la « formule de Surveyor ».

Relation de la zone de périmètre

L' inégalité isopérimétrique indique que pour une courbe fermée de longueur L (pour la région qu'elle renferme a périmètre L ) et pour la zone A de la région qui l'enferme,

et l' égalité si et seulement si la courbe est un cercle . Ainsi , un cercle a la plus grande surface de toute figure fermée avec un périmètre donné.

À l'autre extrême, un chiffre avec périmètre donné L pourrait avoir une zone arbitrairement petit, comme illustré par un losange qui est « renversé » arbitrairement loin de sorte que deux de ses angles sont arbitrairement proches de 0 ° et les deux autres sont arbitrairement proches à 180 °.

Pour un cercle, le rapport de la surface de la circonférence (le terme pour le périmètre d'un cercle) est égal à la moitié du rayon r . Ceci peut être vu à partir de la zone de formule πr 2 et la formule de circonférence 2 πr .

L'aire d'un polygone régulier est la moitié de son temps de périmètre du apothème (où le apothème est la distance du centre au point le plus proche sur un côté).

Fractales

En doublant les longueurs d'arêtes d'un polygone multiplie sa surface par quatre, ce qui est deux (le rapport entre le nouveau à l'ancienne longueur de côté) élevé à la puissance de deux (la dimension de l'espace du polygone réside dans). Mais si la longueur à une dimension d'une fractale dessinée en deux dimensions sont toutes doublées, le contenu spatial de la balance fractale par une puissance de deux qui ne sont pas nécessairement un nombre entier. Cette puissance est appelée la dimension fractale de la fractale.

zone médiatrices

Il y a une infinité de lignes qui découpent la surface d'un triangle. Trois d'entre eux sont des médianes du triangle (qui relient les points médians des côtés opposés aux sommets), et ceux - ci sont en même temps à le triangle de centroïde ; En effet, ils sont la seule zone médiatrices qui passent par le centre de gravité. Toute ligne à travers un triangle qui sépare les deux zone de triangle et de son périmètre dans la moitié passe par la incenter (centre de son du triangle incircle ). Il y a une, deux ou trois d' entre eux pour un triangle donné.

Toute ligne par le milieu d'un parallélogramme bissectrice la région.

Tous les médiatrices zone d'un cercle ou une autre ellipse passent par le centre, et des accords par le centre bissectrices la région. Dans le cas d'un cercle , ils sont les diamètres du cercle.

Optimisation

Etant donné un contour de fil, la surface d' au moins la zone d' enjambement ( « remplissage ») est une surface minimale . Des exemples courants comprennent des bulles de savon .

La question de la zone de remplissage du cercle Riemann reste ouvert.

Le cercle a la plus grande surface d'un objet à deux dimensions ayant le même périmètre.

Un polygone cyclique (une inscrite dans un cercle) possède la plus grande surface d'un polygone quelconque avec un nombre donné de côtés de la même longueur.

Une version de l' inégalité isopérimétrique pour les triangles indique que le triangle de la plus grande région parmi tous ceux qui ont un périmètre donné est équilatéral .

Le triangle de la plus grande superficie de tous ceux qui sont inscrits dans un cercle donné est équilatéral; et le triangle de la zone la plus petite de tous ceux circonscrites autour d'un cercle donné est équilatéral.

Le rapport de la surface du cercle inscrit à l'aire d'un triangle équilatéral, est plus grand que celui d'un triangle non équilatéral.

Le rapport de l'aire au carré du périmètre d'un triangle équilatéral, est supérieure à celle de tout autre triangle.

Voir également

Références

Liens externes