Arg max - Arg max

À titre d'exemple, les fonctions sinc non normalisées et normalisées ci-dessus ont {0} car les deux atteignent leur valeur maximale globale de 1 à x  = 0. La fonction sinc non normalisée (rouge) a un arg min de {-4,49, 4,49}, approximativement, car il a 2 valeurs minimales globales d'environ −0,217 à x  = ±4,49. Cependant, la fonction sinc normalisée (bleu) a un arg min de {-1,43, 1,43}, approximativement, car leurs minima globaux se produisent à x  = ± 1,43, même si la valeur minimale est la même.${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

En mathématiques , les arguments des maxima (en abrégé arg max ou argmax ) sont les points, ou éléments , du domaine d'une fonction où les valeurs de la fonction sont maximisées . Contrairement aux maxima globaux , qui font référence aux plus grandes sorties d'une fonction, arg max fait référence aux entrées , ou arguments , pour lesquelles les sorties de la fonction sont aussi grandes que possible.

Définition

Compte tenu d' une quelconque ensemble , un ensemble totalement ordonné , et une fonction , la sur un sous - ensemble de est défini par ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f\colon X\à Y}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~ :~f(s)\leq f(x){\text{ pour tous les }}s\dans S\}.}$

Si ou est clair du contexte, alors est souvent omis, comme dans En d'autres termes, est l' ensemble des points pour lesquels atteint la plus grande valeur de la fonction (s'il existe). peut être l' ensemble vide , un singleton ou contenir plusieurs éléments. ${\style d'affichage S=X}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ pour tous }}péchés capitaux\}.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$

Dans les domaines de l'analyse convexe et de l' analyse variationnelle , une définition légèrement différente est utilisée dans le cas particulier où sont les nombres réels étendus . Dans ce cas, if est identiquement égal à on then (c'est-à-dire ) et sinon est défini comme ci-dessus, où dans ce cas peut également s'écrire : ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage \infty }$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}}$

où l'on souligne que cette égalité impliquant n'est vraie que lorsque n'est pas identiquement sur .${\displaystyle \inf {}_{S}f}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage \infty }$${\style d'affichage S}$

Arg min

La notion de (ou ), qui signifie argument du minimum , est définie de manière analogue. Par exemple, ${\displaystyle \operatorname {argmin} }$${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x) {\text{ pour tous les }}s\dans S\}}$

sont des points pour lesquels atteint sa plus petite valeur. C'est l'opérateur complémentaire de .${\style d'affichage x}$${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$

Dans le cas particulier où sont les nombres réels étendus , si est identiquement égal à sur alors (c'est-à-dire ) et sinon est défini comme ci-dessus et de plus, dans ce cas (de pas identiquement égal à ) il vérifie également : ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle -\infty }$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}.}$

Exemples et propriétés

Par exemple, si est alors atteint sa valeur maximale de seulement au point Ainsi ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage 1-|x|,}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage x=0.}$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

L' opérateur est différent de l' opérateur. L' opérateur, lorsqu'il reçoit la même fonction, renvoie la valeur maximale de la fonction au lieu du ou des points qui amènent cette fonction à atteindre cette valeur ; en d'autres termes ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\style d'affichage \max }$${\style d'affichage \max }$

${\style d'affichage \max _{x}f(x)}$ est l'élément dans ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ pour tous les }}s\in S\}.}$

Comme max peut être l'ensemble vide (auquel cas le maximum n'est pas défini) ou un singleton, mais contrairement ne peut pas contenir plusieurs éléments : par exemple, si est alors mais parce que la fonction atteint la même valeur à chaque élément de${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {max} }$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage 4x^{2}-x^{4},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2 }},{\sqrt {2}}\right\},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

De manière équivalente, si est le maximum de alors est le niveau défini du maximum : ${\style d'affichage M}$${\style d'affichage f,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}( M).}$

Nous pouvons réarranger pour donner l'identité simple

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

Si le maximum est atteint en un seul point, ce point est souvent appelé le et est considéré comme un point et non comme un ensemble de points. Ainsi, par exemple, ${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(plutôt que l' ensemble singleton ), puisque la valeur maximale de est qui se produit pour Cependant, si le maximum est atteint en de nombreux points, doit être considéré comme un ensemble de points. ${\style d'affichage \{5\}}$${\style d'affichage x (10-x)}$${\style d'affichage 25,}$${\style d'affichage x=5.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

Par exemple

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \} }$

car la valeur maximale de est qui se produit sur cet intervalle pour ou Sur toute la ligne réelle ${\style d'affichage \cos x}$${\style d'affichage 1,}$${\style d'affichage x=0,2\pi }$${\style d'affichage 4\pi .}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \droit\},}$ donc un ensemble infini.

Les fonctions n'ont en général pas besoin d'atteindre une valeur maximale, et donc le est parfois l' ensemble vide ; par exemple, puisque est illimité sur la ligne réelle. Comme autre exemple, bien que limité par Cependant, par le théorème des valeurs extrêmes , une fonction continue à valeur réelle sur un intervalle fermé a un maximum, et donc un non vide${\displaystyle \operatorname {argmax} }$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$${\style d'affichage x^{3}}$${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$${\displaystyle \arctan }$${\style d'affichage \pm \pi /2.}$${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

Voir également

• Argument d'une fonction
• Maxima et minima
• Mode (statistiques)
• Optimisation mathématique
• Noyau (algèbre linéaire)
• Préimage

Remarques

Les références

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Mouille, Roger J.-B. (26 juin 2009). Analyse variationnelle . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317 . Berlin New York : Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

Liens externes

• arg min et arg max chez PlanetMath .