Fonction bornée - Bounded function

Une illustration schématique d'une fonction bornée (rouge) et d'une fonction non bornée (bleu). Intuitivement, le graphique d'une fonction bornée reste dans une bande horizontale, contrairement au graphique d'une fonction illimitée.

En mathématiques , une fonction f définie sur un ensemble X avec des valeurs réelles ou complexes est dite bornée si l'ensemble de ses valeurs est borné . Autrement dit, il existe un nombre réel M tel que

${\style d'affichage |f(x)|\leq M}$

pour tout x dans X . Une fonction qui n'est pas bornée est dite non bornée .

Si f est à valeur réelle et f ( x ) A pour tout x dans X , alors la fonction est dite bornée (de) ci-dessus par A . Si f ( x ) B pour tout x dans X , alors la fonction est dite bornée (de) ci-dessous par B . Une fonction à valeur réelle est bornée si et seulement si elle est bornée par le haut et par le bas.

Un cas particulier important est une suite bornée , où X est considéré comme l' ensemble N de nombres naturels . Ainsi une suite f = ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) est bornée s'il existe un nombre réel M tel que

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

pour tout entier naturel n . L'ensemble de toutes les séquences bornées forme l' espace des séquences . ${\displaystyle l^{\infty }}$

La définition du bornage peut être généralisée aux fonctions f : X → Y prenant des valeurs dans un espace plus général Y en exigeant que l'image f(X) soit un ensemble borné dans Y .

Notions associées

Plus faible que la limitation est la limitation locale . Une famille de fonctions bornées peut être uniformément bornée .

Un opérateur borné T : X → Y n'est pas une fonction bornée au sens de la définition de cette page (sauf si T = 0 ), mais a la propriété plus faible de préserver la bornage : les ensembles bornés M ⊆ X sont mappés sur les ensembles bornés T(M) ⊆ Y. Cette définition peut être étendue à toute fonction f  : X → Y si X et Y admettent le concept d'ensemble borné. La limite peut également être déterminée en regardant un graphique.

Exemples

• La fonction sinus sin : R → R est bornée puisque pour tout .${\style d'affichage |\sin(x)|\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbf {R} }$
• La fonction , définie pour tout réel x sauf pour -1 et 1, est non bornée. Lorsque x tend vers -1 ou 1, les valeurs de cette fonction deviennent de plus en plus grandes. Cette fonction peut être rendue bornée si l'on considère son domaine comme étant, par exemple, [2, ∞) ou (−∞, −2].${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$

• La fonction , définie pour tout réel x , est bornée.${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$
• La fonction trigonométrique inverse arctangente définie comme : y = arctan( x ) ou x = tan ( y ) est croissante pour tous les nombres réels x et bornée par − ??/2< y <??/2 radians
• Par le théorème de bornage , toute fonction continue sur un intervalle fermé, telle que f  : [0, 1] → R , est bornée. Plus généralement, toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est bornée.
• Toutes les fonctions à valeurs complexes f  : C → C qui sont entières sont soit non bornées soit constantes en conséquence du théorème de Liouville . En particulier, le complexe sin : C → C doit être non borné puisqu'il est entier.
• La fonction f qui prend la valeur 0 pour x nombre rationnel et 1 pour x nombre irrationnel (cf. fonction de Dirichlet ) est bornée. Ainsi, une fonction n'a pas besoin d'être « agréable » pour être bornée. L'ensemble de toutes les fonctions bornées définies sur [0, 1] est beaucoup plus grand que l'ensemble des fonctions continues sur cet intervalle. De plus, les fonctions continues n'ont pas besoin d'être bornées ; par exemple, les fonctions et définies par et sont toutes deux continues, mais aucune n'est bornée. (Cependant, une fonction continue doit être bornée si son domaine est à la fois fermé et borné.)${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage g(x,y):=x+y}$${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$

Les références

Voir également

• Ensemble délimité
• Prise en charge compacte
• Limite locale
• Limite uniforme