Arithmétique -Arithmetica

Couverture de l'édition de 1621, traduite en latin du grec par Claude Gaspard Bachet de Méziriac .
Auteur	Diophante

Arithmetica ( grec : Ἀριθμητικά ) est untexte grec ancien sur les mathématiques écrit par le mathématicien Diophante ( vers  200/214 après JC  - c.  284/298 après JC ) au 3ème siècle après JC. C'est une collection de 130problèmes algébriques donnant des solutions numériques d' équations déterminées(celles avec une solution unique) et d' équations indéterminées .

Résumé

Les équations du livre sont actuellement appelées équations diophantiennes . La méthode pour résoudre ces équations est connue sous le nom d' analyse diophantienne . La plupart des problèmes d' Arithmetica conduisent à des équations quadratiques .

Dans le livre 3, Diophante résout les problèmes de recherche de valeurs qui transforment simultanément deux expressions linéaires en carrés ou en cubes. Dans le livre 4, il trouve des puissances rationnelles entre des nombres donnés. Il a également remarqué que les nombres de la forme ne peuvent pas être la somme de deux carrés. Diophante semble également savoir que chaque nombre peut être écrit comme la somme de quatre carrés. S'il connaissait ce résultat (au sens de l'avoir prouvé plutôt que simplement conjecturé), ce serait vraiment remarquable : même Fermat, qui a énoncé le résultat, n'en a pas fourni de preuve et cela n'a pas été réglé. jusqu'à ce que Joseph Louis Lagrange le prouve en utilisant les résultats de Leonhard Euler . ${\style d'affichage 4n+3}$

Arithmetica a été écrite à l'origine en treize livres, mais les manuscrits grecs qui ont survécu jusqu'à nos jours ne contiennent pas plus de six livres. En 1968, Fuat Sezgin a trouvé quatre livres d' arithmétique jusqu'alors inconnus dans le sanctuaire de l'imam Rezā dans la ville sainte islamique de Mashhad, dans le nord-est de l'Iran. Les quatre livres auraient été traduits du grec en arabe par Qusta ibn Luqa (820-912). Norbert Schappacher a écrit :

[Les quatre livres manquants] ont refait surface vers 1971 à la bibliothèque Astan Quds à Meshed (Iran) dans un exemplaire de 1198 après JC. Il n'a pas été catalogué sous le nom de Diophante (mais sous celui de Qusta ibn Luqa ) car le bibliothécaire n'était apparemment pas en mesure de lire la ligne principale de la page de couverture où le nom de Diophante apparaît en calligraphie géométrique Kufi .

L'arithmétique est devenue connue des mathématiciens du monde islamique au Xe siècle lorsqu'Abu'l -Wefa l'a traduite en arabe.

Algèbre syncopée

Diophante était un mathématicien hellénistique qui a vécu vers 250 après JC, mais l'incertitude de cette date est si grande qu'elle peut être décalée de plus d'un siècle. Il est connu pour avoir écrit Arithmetica , un traité qui comptait à l'origine treize livres mais dont seuls les six premiers ont survécu. L'arithmétique a très peu de points communs avec les mathématiques grecques traditionnelles puisqu'elle est séparée des méthodes géométriques, et elle est différente des mathématiques babyloniennes en ce que Diophante s'intéresse principalement aux solutions exactes, à la fois déterminées et indéterminées, au lieu de simples approximations.

Dans Arithmetica , Diophante est le premier à utiliser des symboles pour des nombres inconnus ainsi que des abréviations pour des puissances de nombres, des relations et des opérations ; ainsi il a utilisé ce qui est maintenant connu sous le nom d' algèbre syncopée . La principale différence entre l'algèbre syncopée diophantienne et la notation algébrique moderne est que la première manquait de symboles spéciaux pour les opérations, les relations et les exponentielles. Ainsi, par exemple, ce qui serait écrit en notation moderne comme

${\style d'affichage x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

qui peut être réécrit comme

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^ {0}}5,}$

serait écrit dans la notation syncopée de Diophante comme

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon } {\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$??${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

où les symboles représentent :

symbole	Ce qu'il représente
${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$	1
${\displaystyle {\overline {\beta }}}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota }}}$	dix
ἴσ	"égal" (abréviation de ἴσος )
${\displaystyle \pitchfork }$	représente la soustraction de tout ce qui suit jusqu'à ἴσ${\displaystyle \pitchfork }$
${\displaystyle \mathrm {M} }$	la puissance zéro (c'est-à-dire un terme constant)
${\displaystyle \zeta }$	la quantité inconnue (parce qu'un nombre élevé à la première puissance est juste cela peut être considéré comme "la première puissance") ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x,}$
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }}$	le deuxième pouvoir, du grec δύναμις , signifiant force ou pouvoir
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	la troisième puissance, du grec κύβος , signifiant un cube
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }\Delta }$	le quatrième pouvoir
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	la cinquième puissance
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K} }$	la sixième puissance

Contrairement à la notation moderne, les coefficients viennent après les variables et cette addition est représentée par la juxtaposition de termes. Une traduction littérale symbole pour symbole de l'équation syncopée de Diophante en une équation symbolique moderne serait la suivante :

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

où clarifier, si les parenthèses modernes et plus sont utilisées, l'équation ci-dessus peut être réécrite comme:

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^ {0}}5}$

Arithmetica est une collection de quelque 150 problèmes résolus avec des nombres spécifiques et il n'y a pas de développement postulation ni de méthode générale explicitement expliquée, bien que la généralité de la méthode ait pu être voulue et qu'il n'y ait aucune tentative de trouver toutes les solutions aux équations. Arithmetica contient des problèmes résolus impliquant plusieurs quantités inconnues, qui sont résolus, si possible, en exprimant les quantités inconnues en fonction d'une seule d'entre elles. Arithmetica utilise également les identités :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=(ac +db)^{2}+(bc-ad)^{2}\\&=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}\\\end{alignedat}}}$

Voir également

• Diophante II.VIII
• Muhammad ibn Mūsā al-Khwarizmī

Citations

Les références

• Boyer, Carl B. (1991). Une histoire des mathématiques (deuxième éd.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
• Derbyshire, John (2006). Quantité inconnue : une histoire réelle et imaginaire de l'algèbre . Presse Joseph Henry. ISBN 0-309-09657-X.
• Cooke, Roger (1997). L'histoire des mathématiques : un cours bref . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.

Liens externes

Diophante Alexandrinus, Pierre de Fermat, Claude Gaspard Bachet de Meziriac, Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri 6, et De numeris multangulis liber unus . Sperme comm. C(laude) G(aspar) Bacheti et observationibus P(ierre) de Fermat. Acc. doctrinae analyticae inventum novum, coll. ex variis eiu. Tolosae 1670, doi : 10.3931/e-rara-9423 .