Équation diophantienne - Diophantine equation

En mathématiques , une équation diophantienne est une équation polynomiale , impliquant généralement deux ou plusieurs inconnues , de sorte que les seules solutions intéressantes sont les entières (une solution entière est telle que toutes les inconnues prennent des valeurs entières). Une équation diophantienne linéaire équivaut à une constante la somme de deux ou plusieurs monômes , chacun de degré un. Une équation diophantienne exponentielle est une équation dans laquelle des inconnues peuvent apparaître dans les exposants .

Les problèmes diophantiens ont moins d'équations que d'inconnues et impliquent de trouver des nombres entiers qui résolvent simultanément toutes les équations. Comme de tels systèmes d'équations définissent des courbes algébriques , des surfaces algébriques ou, plus généralement, des ensembles algébriques , leur étude fait partie de la géométrie algébrique que l'on appelle la géométrie diophantienne .

Le mot Diophantine fait référence au mathématicien hellénistique du IIIe siècle, Diophante d' Alexandrie , qui fit une étude de telles équations et fut l'un des premiers mathématiciens à introduire le symbolisme dans l' algèbre . L'étude mathématique des problèmes diophantiens initiée par Diophante est maintenant appelée analyse diophantienne .

Alors que les équations individuelles présentent une sorte de casse-tête et ont été considérées tout au long de l'histoire, la formulation de théories générales des équations diophantiennes (au-delà du cas des équations linéaires et quadratiques ) était une réalisation du XXe siècle.

Exemples

Dans les équations diophantiennes suivantes, w , x , y et z sont les inconnues et les autres lettres sont des constantes :

hache + par = c	Il s'agit d'une équation diophantienne linéaire.
w 3 + x 3 = y 3 + z 3	La plus petite solution non triviale dans les nombres entiers positifs est 12 3 + 1 3 = 9 3 + 10 3 = 1729. Il a été donné comme une propriété évidente de 1729, un numéro de taxi (également nommé numéro Hardy-Ramanujan ) par Ramanujan à Hardy lors de la rencontre en 1917. Il existe une infinité de solutions non triviales.
x n + y n = z n	Pour n = 2 il existe une infinité de solutions ( x , y , z ) : les triplets pythagoriciens . Pour les valeurs entières plus grandes de n , le dernier théorème de Fermat (initialement revendiqué en 1637 par Fermat et prouvé par Andrew Wiles en 1995) indique qu'il n'y a pas de solutions entières positives ( x , y , z ) .
x 2 − ny 2 = ±1	C'est l'équation de Pell , qui porte le nom du mathématicien anglais John Pell . Il a été étudié par Brahmagupta au 7ème siècle, ainsi que par Fermat au 17ème siècle.
4/m = 1/X + 1/oui + 1/z	La conjecture d'Erdős-Straus stipule que, pour tout entier positif n 2, il existe une solution dans x , y et z , tous sous forme d'entiers positifs. Bien qu'il ne soit généralement pas indiqué sous forme polynomiale, cet exemple est équivalent à l'équation polynomiale 4 xyz = yzn + xzn + xyn = n ( yz + xz + xy ) .
x 4 + y 4 + z 4 = w 4	Conjecturé à tort par Euler comme n'ayant pas de solutions non triviales. Elkies a prouvé qu'il a une infinité de solutions non triviales, avec une recherche informatique par Frye déterminant la plus petite solution non triviale, 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 .

Équations diophantiennes linéaires

Une équation

L'équation diophantienne linéaire la plus simple prend la forme ax + by = c , où a , b et c sont des nombres entiers. Les solutions sont décrites par le théorème suivant :

Cette équation diophantienne a une solution (où x et y sont des nombres entiers) si et seulement si c est un multiple du plus grand commun diviseur de a et b . De plus, si ( x , y ) est une solution, alors les autres solutions ont la forme ( x + kv , y − ku ) , où k est un entier arbitraire, et u et v sont les quotients de a et b (respectivement) par le plus grand commun diviseur de a et b .

Preuve : Si d est ce plus grand commun diviseur, l'identité de Bézout affirme l'existence d'entiers e et f tels que ae + bf = d . Si c est un multiple de d , alors c = dh pour un entier h , et ( eh , fh ) est une solution. D'autre part, pour chaque paire d'entiers x et y , le plus grand commun diviseur d de a et b divise ax + par . Ainsi, si l'équation a une solution, alors c doit être un multiple de d . Si a = ud et b = vd , alors pour toute solution ( x , y ) , on a

a ( x + kv ) + b ( y − ku ) = ax + by + k ( av − bu ) = ax + by + k ( udv − vdu ) = ax + by ,

montrer que ( x + kv , y − ku ) est une autre solution. Enfin, étant données deux solutions telles que ax ₁ + par ₁ = ax ₂ + par ₂ = c , on en déduit que u ( x ₂ − x ₁ ) + v ( y ₂ − y ₁ ) = 0 . Comme u et v sont premiers entre eux , le lemme d'Euclide montre que v divise x ₂ − x ₁ , et donc qu'il existe un entier k tel que x ₂ − x ₁ = kv et y ₂ − y ₁ = − ku . Par conséquent, x ₂ = x ₁ + kv et y ₂ = y ₁ − ku , ce qui achève la preuve.

théorème des restes chinois

Le reste chinois théorème décrit une classe importante de systèmes linéaires Diophantine d'équations: let n ₁ , ..., n _k être k par paires coprime entiers supérieur à un, un ₁ , ..., un _k soit k entiers arbitraires, et N soit le produit n ₁ ⋯ n _k . Le théorème des restes chinois affirme que le système diophantien linéaire suivant a exactement une solution ( x , x ₁ , …, x _k ) telle que 0 x < N , et que les autres solutions sont obtenues en ajoutant à x un multiple de N :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\, x_{k}\end{aligné}}}$

Système d'équations diophantiennes linéaires

Plus généralement, tout système d'équations diophantiennes linéaires peut être résolu en calculant la forme normale de Smith de sa matrice, d'une manière similaire à l'utilisation de la forme d'échelon de ligne réduite pour résoudre un système d'équations linéaires sur un corps. En utilisant la notation matricielle, chaque système d'équations diophantiennes linéaires peut être écrit

A  X = C ,

où A est une matrice m × n d'entiers, X est une matrice colonne n × 1 d'inconnues et C est une matrice colonne m × 1 d'entiers.

Le calcul de la forme normale de Smith de A fournit deux matrices unimodulaires (c'est-à-dire des matrices inversibles sur les entiers et ayant ±1 comme déterminant) U et V de dimensions respectives m × m et n × n , telles que la matrice

B = [ b _{i , j} ] = UAV

est tel que b _{i , i} n'est pas nul car i n'est pas supérieur à un entier k , et toutes les autres entrées sont nulles. Le système à résoudre peut donc être réécrit sous la forme

B  ( V ^-1 X ) = UC .

En appelant y _i les entrées de V ⁻¹ X et d _i celles de D = UC , cela conduit au système

b _{i , i}  y _i = D _i pour 1 ≤ i ≤ k ,

0  y _i = d _i pour k < i ≤ n .

Ce système est équivalent au système donné dans le sens suivant : Une matrice colonne d'entiers x est une solution du système donné si et seulement si x = Vy pour une matrice colonne d'entiers y telle que By = D .

Il en résulte que le système a une solution si et seulement si b _{i , i} divise D _i pour i ≤ k et d _i = 0 pour i > k . Si cette condition est remplie, les solutions du système donné sont

${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k, k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$

où h _{k +1} , …, h _n sont des nombres entiers arbitraires.

La forme normale d'Hermite peut également être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations diophantiennes linéaires. Cependant, la forme normale d'Hermite ne fournit pas directement les solutions ; pour obtenir les solutions de la forme normale d'Hermite, il faut résoudre successivement plusieurs équations linéaires. Néanmoins, Richard Zippel a écrit que la forme normale de Smith « est un peu plus que ce qui est réellement nécessaire pour résoudre les équations diophantiennes linéaires. La forme normale d'Hermite est beaucoup plus facile à calculer que la forme normale de Smith."

La programmation linéaire en nombres entiers revient à trouver des solutions entières (optimales dans un certain sens) de systèmes linéaires qui incluent également des inéquations . Ainsi, les systèmes d'équations diophantiennes linéaires sont fondamentaux dans ce contexte, et les manuels de programmation en nombres entiers traitent généralement des systèmes d'équations diophantiennes linéaires.

Équations homogènes

Une équation diophantienne homogène est une équation diophantienne définie par un polynôme homogène . Une telle équation typique est l'équation du dernier théorème de Fermat

${\style d'affichage x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

Comme un polynôme homogène à n indéterminés définit une hypersurface dans l' espace projectif de dimension n − 1 , résoudre une équation diophantienne homogène revient à trouver les points rationnels d'une hypersurface projective.

Résolution d' une équation diophantienne homogène est généralement un problème très difficile, même dans le cas le plus simple non négligeable de trois indéterminés (dans le cas de deux indéterminés le problème est équivalent à tester si un nombre rationnel est le d e puissance d'un autre nombre rationnel) . Un témoin de la difficulté du problème est le dernier théorème de Fermat (pour d > 2 , il n'y a pas de solution entière de l'équation ci-dessus), qui a nécessité plus de trois siècles d'efforts de mathématiciens avant d'être résolu.

Pour les degrés supérieurs à trois, les résultats les plus connus sont des théorèmes affirmant qu'il n'y a pas de solutions (par exemple le dernier théorème de Fermat) ou que le nombre de solutions est fini (par exemple le théorème de Falting ).

Pour le degré trois, il existe des méthodes de résolution générales, qui fonctionnent sur presque toutes les équations rencontrées dans la pratique, mais aucun algorithme n'est connu qui fonctionne pour chaque équation cubique.

Deuxième degré

Les équations diophantiennes homogènes de degré deux sont plus faciles à résoudre. La méthode de résolution standard procède en deux étapes. Il faut d'abord trouver une solution, ou prouver qu'il n'y a pas de solution. Lorsqu'une solution a été trouvée, toutes les solutions sont alors déduites.

Pour prouver qu'il n'y a pas de solution, on peut réduire l'équation modulo p . Par exemple, l'équation diophantienne

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

n'a pas d'autre solution que la solution triviale (0, 0, 0) . En fait, en divisant x , y et z par leur plus grand commun diviseur , on peut supposer qu'ils sont premiers entre eux . Les carrés modulo 4 sont congrus à 0 et 1. Ainsi le membre de gauche de l'équation est congru à 0, 1 ou 2, et le membre de droite est congru à 0 ou 3. Ainsi l'égalité ne peut être obtenue que si x , y et z sont tous pairs, et ne sont donc pas premiers entre eux. Ainsi, la seule solution est la solution triviale (0, 0, 0) . Cela montre qu'il n'y a pas de point rationnel sur un cercle de rayon centré à l'origine. ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

Plus généralement, le principe de Hasse permet de décider si une équation diophantienne homogène de degré deux a une solution entière, et de calculer une solution s'il existe.

Si une solution entière non triviale est connue, on peut produire toutes les autres solutions de la manière suivante.

Interprétation géométrique

Laisser

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

être une équation diophantienne homogène, où est une forme quadratique (c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2), à coefficients entiers. La solution triviale est la solution où tous sont nuls. Si est une solution entière non triviale de cette équation, alors sont les coordonnées homogènes d'un point rationnel de l'hypersurface définie par Q . Inversement, si sont des coordonnées homogènes d'un point rationnel de cette hypersurface, où sont des nombres entiers, alors est une solution entière de l'équation diophantienne. De plus, les solutions entières qui définissent un point rationnel donné sont toutes des suites de la forme ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

où k est un nombre entier et d est le plus grand commun diviseur du${\style d'affichage p_{1}.}$

Il s'ensuit que la résolution de l'équation diophantienne se réduit complètement à trouver les points rationnels de l'hypersurface projective correspondante. ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Paramétrage

Soit maintenant une solution entière de l'équation Comme Q est un polynôme de degré deux, une droite passant par A traverse l'hypersurface en un seul autre point, qui est rationnel si et seulement si la droite est rationnelle (c'est-à-dire si la droite est défini par des paramètres rationnels). Cela permet de paramétrer l'hypersurface par les lignes passant par A , et les points rationnels sont ceux qui sont obtenus à partir des lignes rationnelles, c'est-à-dire ceux qui correspondent aux valeurs rationnelles des paramètres. ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Plus précisément, on peut procéder comme suit.

En permutant les indices, on peut supposer, sans perte de généralité, que l' on peut alors passer au cas affine en considérant l' hypersurface affine définie par ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

qui a le point rationnel

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_ {n-1}}{a_{n}}}\droit).}$

Si ce point rationnel est un point singulier , c'est-à-dire si toutes les dérivées partielles sont nulles en R , toutes les droites passant par R sont contenues dans l'hypersurface, et l'une a un cône . Le changement de variable

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

ne change pas les points rationnels, et transforme q en un polynôme homogène à n − 1 variables. Dans ce cas, le problème peut donc être résolu en appliquant la méthode à une équation avec moins de variables.

Si le polynôme q est un produit de polynômes linéaires (éventuellement avec des coefficients non rationnels), alors il définit deux hyperplans . L'intersection de ces hyperplans est un plat rationnel et contient des points singuliers rationnels. Ce cas est donc un cas particulier du cas précédent.

Dans le cas général, considérons l' équation paramétrique d'une droite passant par R :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n- 1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

En substituant ceci dans q , on obtient un polynôme de degré deux qui est nul car il est donc divisible par . Le quotient est linéaire en et peut être résolu pour exprimer comme un quotient de deux polynômes de degré au plus deux en avec des coefficients entiers : ${\style d'affichage x_{1},}$${\displaystyle x_{1}=r_{1}.}$${\style d'affichage x_{1}-r_{1},}$${\style d'affichage x_{1},}$${\style d'affichage x_{1}}$${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}.}$

En substituant cela dans les expressions pour on obtient, pour i = 1, …, n − 1 , ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}},}$

où sont des polynômes de degré au plus deux avec des coefficients entiers. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Ensuite, on peut revenir au cas homogène. Soit, pour i = 1, …, n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_ {1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

soit l' homogénéisation de Ces polynômes quadratiques à coefficients entiers forment une paramétrisation de l'hypersurface projective définie par Q : ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n} &=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Un point de l'hypersurface projective définie par Q est rationnel si et seulement s'il peut être obtenu à partir de valeurs rationnelles de As sont des polynômes homogènes, le point n'est pas modifié si tous sont multipliés par le même nombre rationnel. Ainsi, on peut supposer que sont des nombres entiers premiers entre eux . Il s'ensuit que les solutions entières de l'équation diophantienne sont exactement les suites où, pour i = 1, ..., n , ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\style d'affichage t_{i}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\style d'affichage (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

où k est un entier, sont des entiers premiers entre eux et d est le plus grand diviseur commun des n entiers${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

On pourrait espérer que la coprimalité de la pourrait impliquer que d = 1 . Malheureusement, ce n'est pas le cas, comme le montre la section suivante. ${\style d'affichage t_{i}}$

Exemple de triplets pythagoriciens

L'équation

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

est probablement la première équation diophantienne homogène de degré deux qui a été étudiée. Ses solutions sont les triplets de Pythagore . C'est aussi l'équation homogène du cercle unité . Dans cette section, nous montrons comment la méthode ci-dessus permet de récupérer la formule d' Euclide pour générer des triplets de Pythagore.

Pour retrouver exactement la formule d'Euclide, on part de la solution (−1, 0, 1) , correspondant au point (−1, 0) du cercle unité. Une droite passant par ce point peut être paramétrée par sa pente :

${\style d'affichage y=t(x+1).}$

Mettre cela dans l'équation du cercle

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}-1=0,}$

on obtient

${\style d'affichage x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

En divisant par x + 1 , on obtient

${\style d'affichage x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

ce qui est facile à résoudre en x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Ça suit

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2}t}{1+t^{2}}}.}$

En homogénéisant comme décrit ci-dessus, on obtient toutes les solutions comme

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d} }\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

où k est un entier quelconque, s et t sont des entiers premiers entre eux et d est le plus grand diviseur commun des trois numérateurs. En fait, d = 2 si s et t sont tous les deux impairs, et d = 1 si l'un est impair et l'autre pair.

Les triplets primitifs sont les solutions où k = 1 et s > t > 0 .

Cette description des solutions diffère légèrement de la formule d'Euclide car la formule d'Euclide ne considère que les solutions telles que x , y et z sont toutes positives, et ne fait pas de distinction entre deux triplets qui diffèrent par l'échange de x et y ,

Analyse diophantienne

Questions typiques

Les questions posées dans l'analyse diophantienne comprennent :

1. Existe-t-il des solutions ?
2. Y a-t-il des solutions au-delà de certaines qui sont facilement trouvées par inspection ?
3. Existe-t-il un nombre fini ou infini de solutions ?
4. Toutes les solutions peuvent-elles être trouvées en théorie ?
5. Peut-on en pratique calculer une liste complète de solutions ?

Ces problèmes traditionnels restaient souvent sans solution pendant des siècles, et les mathématiciens en sont progressivement venus à comprendre leur profondeur (dans certains cas), plutôt que de les traiter comme des énigmes.

Problème typique

L'information donnée est que l'âge d'un père est 1 moins de deux fois celui de son fils, et que les chiffres AB composant l'âge du père sont inversés dans l'âge du fils (ie BA ). Cela conduit à l'équation 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , donc 19 B − 8 A = 1 . L'inspection donne le résultat A = 7 , B = 3 , et donc AB est égal à 73 ans et BA est égal à 37 ans. On peut facilement montrer qu'il n'y a pas d'autre solution avec A et B entiers positifs inférieurs à 10.

De nombreuses énigmes bien connues dans le domaine des mathématiques récréatives conduisent à des équations diophantiennes. Les exemples incluent le problème Cannonball , le problème de l' élevage bovin Archimedes et le singe et les noix de coco .

17e et 18e siècles

En 1637, Pierre de Fermat griffonna en marge de son exemplaire d' Arithmetica : « Il est impossible de séparer un cube en deux cubes, ou une quatrième puissance en deux quatrièmes puissances, ou en général, toute puissance supérieure à la seconde en deux comme pouvoirs." Énoncé dans un langage plus moderne, "L'équation a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ n'a pas de solution pour tout n supérieur à 2." À la suite de cela, il écrivit : « J'ai découvert une preuve vraiment merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir. Cependant, une telle preuve a échappé aux mathématiciens pendant des siècles et, en tant que telle, sa déclaration est devenue célèbre sous le nom de Dernier théorème de Fermat . Ce n'est qu'en 1995 que cela a été prouvé par le mathématicien britannique Andrew Wiles .

En 1657, Fermat tenta de résoudre l'équation diophantienne 61 x ² + 1 = y ² (résolue par Brahmagupta plus de 1000 ans plus tôt). L'équation a finalement été résolue par Euler au début du XVIIIe siècle, qui a également résolu un certain nombre d'autres équations diophantiennes. La plus petite solution de cette équation en nombres entiers positifs est x = 226153980 , y = 1766319049 (voir méthode Chakravala ).

Le dixième problème de Hilbert

En 1900, David Hilbert a proposé la solvabilité de toutes les équations diophantiennes comme le dixième de ses problèmes fondamentaux . En 1970, Yuri Matiyasevich l'a résolu négativement, en s'appuyant sur les travaux de Julia Robinson , Martin Davis et Hilary Putnam pour prouver qu'un algorithme général pour résoudre toutes les équations diophantiennes ne peut pas exister .

Géométrie diophantienne

La géométrie diophantienne , qui est l'application des techniques de la géométrie algébrique dans ce domaine, n'a cessé de croître en conséquence ; puisque le traitement des équations arbitraires est une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui ont aussi une signification géométrique. L'idée centrale de la géométrie diophantienne est celle d'un point rationnel , à savoir une solution d'une équation polynomiale ou d'un système d'équations polynomiales , qui est un vecteur dans un champ prescrit K , lorsque K n'est pas algébriquement clos .

Recherche moderne

L'une des rares approches générales passe par le principe de Hasse . La descente infinie est la méthode traditionnelle et a été poussée très loin.

La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la caractérisation des ensembles diophantiens comme décrits de manière équivalente comme récursivement énumérables . En d'autres termes, le problème général de l'analyse diophantienne est béni ou maudit d'universalité, et en tout cas n'est quelque chose qui ne sera résolu qu'en le réexprimant en d'autres termes.

Le domaine de l'approximation diophantienne traite des cas d' inégalités diophantiennes . Ici, les variables sont toujours supposées être entières, mais certains coefficients peuvent être des nombres irrationnels et le signe d'égalité est remplacé par des limites supérieure et inférieure.

La question la plus célèbre dans le domaine, la conjecture connue sous le nom de dernier théorème de Fermat , a été résolue par Andrew Wiles , en utilisant des outils de géométrie algébrique développés au cours du siècle dernier plutôt que dans la théorie des nombres où la conjecture a été formulée à l'origine. D'autres résultats majeurs, tels que le théorème de Faltings , ont éliminé de vieilles conjectures.

Équations diophantiennes infinies

Un exemple d'équation diophantienne infinie est :

n = a ² + 2 b ² + 3 c ² + 4 d ² + 5 e ² + ⋯ , qui peut être exprimé comme « de combien de façons un entier donné n peut-il être écrit comme la somme d'un carré plus deux fois un carré plus trois fois un carré et ainsi de suite ?" Le nombre de façons dont cela peut être fait pour chaque n forme une séquence entière. Les équations diophantiennes infinies sont liées aux fonctions thêta et aux réseaux de dimension infinie. Cette équation a toujours une solution pour tout n positif. Comparez ceci à :

n = a ² + 4 b ² + 9 c ² + 16 d ² + 25 e ² + ,

qui n'a pas toujours de solution pour n positif .

Équations diophantiennes exponentielles

Si une équation diophantienne a comme variable supplémentaire ou variables apparaissant comme exposants , il s'agit d'une équation diophantienne exponentielle. Les exemples incluent l' équation de Ramanujan-Nagell , 2 ⁿ − 7 = x ² , et l'équation de la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal , a ^m + b ⁿ = c ^k avec des restrictions d'inégalité sur les exposants. Une théorie générale pour de telles équations n'est pas disponible; des cas particuliers comme la conjecture de Catalan ont été abordés. Cependant, la plupart sont résolus via des méthodes ad hoc telles que le théorème de Størmer ou encore les essais et erreurs .

Voir également

• Kuṭṭaka , algorithme d' Aryabhata pour la résolution d' équations diophantiennes linéaires à deux inconnues

Remarques

Les références

• Mordell, LJ (1969). Équations diophantiennes . Mathématiques pures et appliquées. 30 . Presse Académique . ISBN 0-12-506250-8. Zbl  0188.34503 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Approximations diophantiennes et équations diophantiennes . Notes de cours en mathématiques. 1467 . Berlin : Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Zbl  0754.11020 .
• Shorey, Tennessee ; Tijdeman, R. (1986). Équations diophantiennes exponentielles . Cambridge Tracts en mathématiques. 87 . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011 .
• Intelligent, Nigel P. (1998). La résolution algorithmique des équations diophantiennes . Textes des étudiants de la London Mathematical Society. 41 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-64156-X. Zbl  0907.11001 .
• Stillwell, John (2004). Mathématiques et son histoire (deuxième éd.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Lectures complémentaires

• Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
• Bashmakova, Izabella G. Diophantus et les équations diophantiennes . Moscou : Nauka 1972 [en russe]. Traduction allemande : Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Bâle/Stuttgart, 1974. Traduction anglaise : Diophantus et équations diophantiennes . Traduit par Abe Shenitzer avec l'aide éditoriale de Hardy Grant et mis à jour par Joseph Silverman. Les expositions mathématiques Dolciani, 20. Association mathématique d'Amérique, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova, Izabella G. " Arithmétique des courbes algébriques de Diophante à Poincaré " Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
• Bashmakova, Izabella G., Slavutin, EI Histoire de l'analyse diophantienne de Diophante à Fermat . Moscou : Nauka 1984 [en russe].
• Bashmakova, Izabella G. "Équations diophantiennes et évolution de l'algèbre", traductions de la Société mathématique américaine 147 (2), 1990, pp. 85-100. Traduit par A. Shenitzer et H. Grant.
• Dickson, Leonard Eugène (2005) [1920]. Histoire de la théorie des nombres . Tome II : Analyse diophantienne . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-44233-4. MR  0245500 . Zbl  1214.11002 .
• Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique , Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York : Walter de Gruyter.

Liens externes

• Équation diophantienne . De MathWorld à Wolfram Research .
• "Équations diophantiennes" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• La calculatrice en ligne de Dario Alpern . Récupéré le 18 mars 2009