Langue Arnold - Arnold tongue

Numéro de rotation pour différentes valeurs de deux paramètres de la carte circulaire: Ω sur l' axe des x et K sur l' axe des y . Certaines formes de langue sont visibles.

En mathématiques , en particulier dans les systèmes dynamiques , les langues d'Arnold (du nom de Vladimir Arnold ) sont un phénomène pictural qui se produit lors de la visualisation de la façon dont le nombre de rotation d'un système dynamique, ou une autre propriété invariante connexe de celui-ci, change en fonction de deux ou plusieurs de ses paramètres. Les régions à nombre de rotation constant ont été observées, pour certains systèmes dynamiques, pour former des formes géométriques qui ressemblent à des langues, auquel cas elles sont appelées langues d'Arnold.

Les langues d'Arnold sont observées dans une grande variété de phénomènes naturels qui impliquent des quantités oscillantes, telles que la concentration d'enzymes et de substrats dans les processus biologiques et les ondes électriques cardiaques . Parfois, la fréquence d'oscillation dépend, ou est contrainte (c'est -à-dire verrouillée en phase ou verrouillée en mode , dans certains contextes) en fonction d'une certaine quantité, et il est souvent intéressant d'étudier cette relation. Par exemple, le début d'une tumeur déclenche dans la zone une série d'oscillations de substance (principalement des protéines) qui interagissent les unes avec les autres; les simulations montrent que ces interactions font apparaître des langues d'Arnold, c'est-à-dire que la fréquence de certaines oscillations contraint les autres, et cela peut être utilisé pour contrôler la croissance tumorale.

D'autres exemples où les langues d'Arnold peuvent être trouvées incluent l' inharmonicité des instruments de musique, la résonance orbitale et le verrouillage des marées des lunes en orbite, le verrouillage de mode dans les fibres optiques et les boucles à verrouillage de phase et d'autres oscillateurs électroniques , ainsi que dans les rythmes cardiaques , les arythmies cardiaques et cycle cellulaire .

L'un des modèles physiques les plus simples présentant un verrouillage de mode se compose de deux disques rotatifs reliés par un ressort faible. Un disque peut tourner librement, et l'autre est entraîné par un moteur. Le verrouillage de mode se produit lorsque le disque en rotation libre tourne à une fréquence qui est un multiple rationnel de celle du rotateur entraîné.

Le modèle mathématique le plus simple qui présente un verrouillage de mode est la carte circulaire, qui tente de capturer le mouvement des disques rotatifs à des intervalles de temps discrets.

Carte circulaire standard

Diagramme de bifurcation pour tenue fixe à . va de bas en haut, et les orbites sont affichées dans l'intervalle au lieu de . Les régions noires correspondent aux langues d'Arnold. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 4 \ pi}$${\ displaystyle [-0,5,0,5]}$${\ displaystyle [0,1]}$

Les langues d'Arnold apparaissent le plus fréquemment lors de l'étude de l'interaction entre oscillateurs , en particulier dans le cas où un oscillateur en entraîne un autre. Autrement dit, un oscillateur dépend de l'autre, mais pas l'inverse, donc ils ne s'influencent pas mutuellement comme cela se produit dans les modèles Kuramoto , par exemple. C'est un cas particulier des oscillateurs entraînés , avec une force motrice qui a un comportement périodique. À titre d'exemple pratique, les cellules cardiaques (l'oscillateur externe) produisent des signaux électriques périodiques pour stimuler les contractions cardiaques (l'oscillateur entraîné); ici, il pourrait être utile de déterminer la relation entre la fréquence des oscillateurs, éventuellement pour concevoir de meilleurs stimulateurs artificiels . La famille des cartes circulaires sert de modèle mathématique utile pour ce phénomène biologique, ainsi que pour bien d'autres.

La famille des cartes de cercle sont des fonctions (ou endomorphismes ) du cercle à lui-même. Il est mathématiquement plus simple de considérer un point du cercle comme étant un point de la ligne réelle qui doit être interprété modulo , représentant l'angle auquel le point est situé dans le cercle. Lorsque le modulo est pris avec une valeur autre que , le résultat représente toujours un angle, mais doit être normalisé pour que la plage entière puisse être représentée. Dans cette optique, la famille des cartes circulaires est donnée par: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$

${\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = g (\ theta _ {i}) + \ Omega}$

où est la fréquence «naturelle» de l'oscillateur et est une fonction périodique qui produit l'influence provoquée par l'oscillateur externe. Notez que si la particule parcourt simplement le cercle par unités à la fois; en particulier, si elle est irrationnelle, la carte se réduit à une rotation irrationnelle . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle g (\ theta _ {i})}$${\ displaystyle g (\ theta _ {i}) = \ theta _ {i}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

La carte de cercle particulière étudiée à l'origine par Arnold, et qui continue de se révéler utile même de nos jours, est:

${\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i})}$

où est appelé force de couplage , et doit être interprété modulo . Cette carte affiche des comportements très divers en fonction des paramètres et ; si l'on fixe et varie , on obtient le diagramme de bifurcation autour de ce paragraphe, où l'on peut observer des orbites périodiques , des bifurcations doublant la période ainsi qu'un éventuel comportement chaotique . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ theta _ {i}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega = 1/3}$${\ displaystyle K}$

Dériver la carte du cercle

Représentation du modèle simple où la carte circulaire apparaît «naturellement». La ligne rouge est et est réinitialisée chaque fois qu'elle atteint la ligne noire sinusoïdale. ${\ displaystyle y (t)}$

Une autre façon d'afficher la carte des cercles est la suivante. Considérons une fonction qui décroît linéairement avec la pente . Une fois qu'il atteint zéro, sa valeur est remise à une certaine valeur oscillante, décrite par une fonction . Nous nous intéressons maintenant à la séquence des instants auxquels y (t) atteint zéro. ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle z (t) = c + b \ sin (2 \ pi t)}$${\ displaystyle \ {t_ {n} \}}$

Ce modèle nous dit qu'à l'époque, c'est valable . À partir de ce point, va alors diminuer linéairement jusqu'à , où la fonction est zéro, donnant ainsi: ${\ displaystyle t_ {n-1}}$${\ Displaystyle y (t_ {n-1}) = c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1})}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t_ {n}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} 0 & = y (t_ {n-1}) - a \ cdot (t_ {n} -t_ {n-1}) \\ [0.5em] 0 & = \ left [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ right] -at_ {n} + at_ {n-1} \\ [0.5em] t_ {n} & = {\ frac {1} {a} } \ gauche [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ droite] + t_ {n-1} \\ [0,5em] t_ {n} & = t_ {n-1} + { \ frac {c} {a}} + {\ frac {b} {a}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ end {aligné}}}$

et en choisissant et nous obtenons la carte circulaire discutée précédemment: ${\ displaystyle \ Omega = c / a}$${\ displaystyle K = 2 \ pi b / a}$

${\ displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}).}$

Glass, L. (2001) fait valoir que ce modèle simple est applicable à certains systèmes biologiques, tels que la régulation de la concentration de substance dans les cellules ou le sang, avec ci-dessus représentant la concentration d'une certaine substance. ${\ displaystyle y (t)}$

Dans ce modèle, un verrouillage de phase de signifierait qu'il est réinitialisé exactement fois toutes les périodes de la sinusoïdale . Le numéro de rotation, à son tour, serait le quotient . ${\ displaystyle N: M}$${\ displaystyle y (t)}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle z (t)}$${\ displaystyle N / M}$

Propriétés

Considérons la famille générale des endomorphismes circulaires:

${\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = g (\ theta _ {i}) + \ Omega}$

où, pour la carte de cercle standard, nous avons cela . Parfois, il sera également pratique de représenter la carte circulaire en termes de cartographie : ${\ displaystyle g (\ theta) = \ theta + (K / 2 \ pi) \ sin (2 \ pi \ theta)}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = f (\ theta _ {i}) = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}$

Nous allons maintenant énumérer quelques propriétés intéressantes de ces endomorphismes circulaires.

P1. augmente de façon monotone pour , donc pour ces valeurs des itérations ne se déplacent que vers l'avant dans le cercle, jamais vers l'arrière. Pour voir cela, notez que le dérivé de est: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle K <1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ theta _ {i}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f '(\ theta) = 1 + K \ cos (2 \ pi \ theta)}$

ce qui est positif tant que . ${\ displaystyle K <1}$

P2. En développant la relation de récurrence, on obtient une formule pour : ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$

${\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}$

P3. Supposons que , donc ce sont des points de période fixes périodiques . Puisque le sinus oscille à la fréquence 1 Hz, le nombre d'oscillations du sinus par cycle de sera , caractérisant ainsi un verrouillage de phase de . ${\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} {\ bmod {1}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ theta _ {i}}$${\ displaystyle M = (\ theta _ {n} - \ theta _ {0}) \ cdot 1}$${\ displaystyle n: M}$

P4. Pour tout , il est vrai que , ce qui signifie à son tour cela . Pour cette raison, à de nombreuses fins, peu importe si les itérations sont prises en module ou non. ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) + p}$${\ displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) {\ bmod {1}}}$${\ displaystyle \ theta _ {i}}$${\ displaystyle 1}$

P5 (symétrie translationnelle). Supposons que pour une donnée il y ait un verrouillage de phase dans le système. Ensuite, pour avec un entier , il y aurait un verrouillage de phase. Cela signifie également que s'il s'agit d'une orbite périodique pour un paramètre , alors c'est aussi une orbite périodique pour tout . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle n: M}$${\ displaystyle \ Omega '= \ Omega + p}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle n: (M + np)}$${\ displaystyle \ theta _ {0}, \ dots, \ theta _ {n}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega '= \ Omega + p, p \ in \ mathbb {N}}$

Pour voir cela, notez que la relation de récurrence dans la propriété 2 deviendrait:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ theta _ {n} '& = \ theta _ {0} + n \ Omega' + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}) \\ & = \ theta _ {0} + n (\ Omega + p) + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}) \\ & = \ theta _ {n} + np, \ end {aligné}}}$

donc depuis en raison du verrouillage de phase d'origine, maintenant nous aurions . ${\ displaystyle \ theta _ {n} - \ theta _ {0} = M}$${\ displaystyle \ theta _ {n} '- \ theta _ {0} = \ theta _ {n} + np- \ theta _ {0} = M + np}$

P6. Car il y aura verrouillage de phase chaque fois que c'est un rationnel. De plus, laissez , alors le verrouillage de phase est . ${\ displaystyle K = 0}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega = p / q \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle q: p}$

Considérant la relation de récurrence dans la propriété 2, un rationnel implique: ${\ displaystyle \ Omega = p / q}$

${\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n {\ frac {p} {q}}}$

et le module d'égalité ne tiendra que lorsque est un entier, et le premier qui satisfait cela est . Par conséquent: ${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle n (p / q)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = q}$

${\ displaystyle \ theta _ {q} = \ theta _ {0} + p}$

${\ displaystyle (\ theta _ {q} - \ theta _ {0}) = p}$

signifiant un verrouillage de phase. ${\ displaystyle q: p}$

Pour irrationnel (qui conduit à une rotation irrationnelle ), il faudrait avoir pour des entiers et , mais alors et est rationnel, ce qui contredit l'hypothèse initiale. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle n \ Omega = k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Omega = k / n}$${\ displaystyle \ Omega}$

Verrouillage de mode

Certaines des langues d'Arnold pour la carte de cercle standard, ε  = K / 2 π

Nombre de rotation en fonction de Ω avec K maintenu constant à K  = 1

Pour des valeurs petites à intermédiaires de K (c'est-à-dire dans la plage de K  = 0 à environ K  = 1), et certaines valeurs de Ω, la carte présente un phénomène appelé verrouillage de mode ou verrouillage de phase . Dans une région à verrouillage de phase, les valeurs θ _n avancent essentiellement comme un multiple rationnel de n , bien qu'elles puissent le faire de manière chaotique à petite échelle.

Le comportement limite dans les régions à verrouillage de mode est donné par le nombre de rotation .

${\ displaystyle \ omega = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ theta _ {n}} {n}}.}$

qui est également parfois appelé le numéro d'enroulement de la carte .

Les régions à verrouillage de phase, ou langues d'Arnold, sont illustrées en jaune sur la figure de droite. Chacune de ces régions en forme de V atteint une valeur rationnelle Ω =  p / q dans la limite de K  → 0. Les valeurs de ( K , Ω) dans l'une de ces régions entraîneront toutes un mouvement tel que le nombre de rotation ω  =  p / q . Par exemple, toutes les valeurs de ( K , Ω) dans la grande région en forme de V en bas au centre de la figure correspondent à un nombre de rotation de ω  =  1 / 2 . Une des raisons pour lesquelles le terme «verrouillage» est utilisé est que les valeurs individuelles θ _n peuvent être perturbées par des perturbations aléatoires assez importantes (jusqu'à la largeur de la languette, pour une valeur donnée de K ), sans perturber le nombre limite de rotation. C'est-à-dire que la séquence reste "verrouillée" sur le signal, malgré l'ajout de bruit significatif à la série θ _n . Cette capacité à «se verrouiller» en présence de bruit est au cœur de l'utilité du circuit électronique à boucle à verrouillage de phase.

Il existe une région verrouillée en mode pour chaque nombre rationnel p / q . On dit parfois que la carte circulaire mappe les rationnels, un ensemble de mesures nulles à K  = 0, à un ensemble de mesures non nulles pour K  ≠ 0. Les plus grandes langues, ordonnées par taille, se produisent aux fractions de Farey . La fixation de K et la prise d'une coupe à travers cette image, de sorte que ω soit tracé en fonction de Ω, donne «l'escalier du diable», une forme génériquement similaire à la fonction Cantor . On peut montrer que pour K <1 , le cercle map est un difféomorphisme, il n'existe qu'une seule solution stable. Cependant, comme K> 1, cela ne tient plus, et on peut trouver des régions de deux régions de verrouillage qui se chevauchent. Pour la carte circulaire, on peut montrer que dans cette région, pas plus de deux régions de verrouillage de mode stable peuvent se chevaucher, mais s'il y a une limite au nombre de langues Arnold qui se chevauchent pour les systèmes synchronisés généraux, on ne sait pas.

La carte circulaire présente également des itinéraires sous-harmoniques vers le chaos, c'est-à-dire un doublement de période de forme 3, 6, 12, 24, ....

Carte standard de Chirikov

La carte standard de Chirikov est liée à la carte du cercle, ayant des relations de récurrence similaires, qui peuvent être écrites comme

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ theta _ {n + 1} & = \ theta _ {n} + p_ {n} + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ thêta _ {n}) \\ p_ {n + 1} & = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n} \ end {aligné}}}$

avec les deux itérations prises modulo 1. En substance, la carte standard introduit une impulsion p _n qui est autorisée à varier dynamiquement, plutôt que d'être forcée fixe, comme c'est le cas dans la carte circulaire. La carte standard est étudiée en physique au moyen du hamiltonien à rotor botté .

Applications

Les langues d'Arnold ont été appliquées à l'étude de

• Rythmes cardiaques - voir Glass, L. et al. (1983) et McGuinness, M. et al. (2004)
• Synchronisation d' oscillateurs à diode tunnel résonnante

Galerie

Carte circulaire montrant les régions verrouillées en mode ou les langues Arnold en noir. Ω varie de 0 à 1 le long de l' axe des x , et K varie de 0 en bas à 4 π en haut. Plus la couleur est rouge, plus le temps de récurrence est long.

Numéro de rotation, le noir correspondant à 0, le vert à 1 / 2 et rouge à 1. Ω varie de 0 à 1 le long de l' axe x , et K varie de 0 en bas à 2 π en haut.

Voir également

• Mot sturmien

Remarques

Références

• Weisstein, Eric W. "Carte du cercle" . MathWorld .
• Boyland, PL (1986). "Bifurcations de cartes de cercle: langues Arnol'd, bistabilité et intervalles de rotation" . Communications en physique mathématique . 106 (3): 353–381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B . doi : 10.1007 / BF01207252 . S2CID   121088353 .
• Gilmore, R .; Lefranc, M. (2002). La topologie du chaos: Alice dans Stretch and Squeezeland . John Wiley et fils. ISBN   0-471-40816--6 . - Fournit un bref aperçu des faits de base dans la section 2.12 .
• Glass, L .; Guevara, MR; Shrier, A .; Perez, R. (1983). "Bifurcation et chaos dans un oscillateur cardiaque périodiquement stimulé". Physica D: Phénomènes non linéaires . 7 (1–3): 89–101. Bibcode : 1983PhyD .... 7 ... 89G . doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90119-7 . - Effectue une analyse détaillée des cardiaques rythmes cardiaques dans le contexte de la carte du cercle.
• McGuinness, M .; Hong, Y .; Galletly, D .; Larsen, P. (2004). "Langues d'Arnold dans les systèmes cardiorespiratoires humains". Chaos . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14 .... 1M . doi : 10.1063 / 1.1620990 . PMID   15003038 .

Liens externes

• Carte circulaire avec applet Java interactive