Théorème de Wedderburn–Artin - Wedderburn–Artin theorem

En algèbre , le théorème de Wedderburn-Artin est un théorème de classification des anneaux semi - simples et des algèbres semi-simples . Le théorème stipule qu'un anneau semi-simple (artinien) R est isomorphe à un produit de nombre fini d' anneaux matriciels n _i - par n _i sur des anneaux de division D _i , pour certains entiers n _i , qui sont tous deux déterminés de manière unique jusqu'à la permutation l'indice i . En particulier, toute simple , gauche ou droite anneau artinien est isomorphe à un n de n anneau de matrice sur un anneau de division D , où à la fois n et D sont déterminés de façon unique.

Théorème

Soit R un anneau semi - simple . Alors R est isomorphe à un produit d'un nombre fini d' anneaux matriciels n _i par n _i sur des anneaux de division D _i , pour certains entiers n _i , qui sont tous deux déterminés de manière unique jusqu'à la permutation de l'indice i . ${\style d'affichage M_{n_{i}}(D_{i})}$

Si R est une k -algèbre semi-simple de dimension finie , alors chaque D _i dans l'énoncé ci-dessus est une algèbre de division de dimension finie sur k . Le centre de chaque D _i n'a pas besoin d'être k ; ce pourrait être une extension finie de k .

Notez que si R est une algèbre simple de dimension finie sur un anneau de division E , D n'a pas besoin d'être contenu dans E . Par exemple, les anneaux matriciels sur les nombres complexes sont des algèbres simples de dimension finie sur les nombres réels .

Corollaire 1

Le théorème de Wedderburn-Artin implique que chaque anneau simple de dimension finie sur un anneau de division est isomorphe à un anneau matriciel n par n sur un anneau de division D , où n et D sont déterminés de manière unique. C'est le résultat original de Joseph Wedderburn . Emil Artin l'a ensuite généralisé au cas des anneaux artiniens gauches ou droits . En particulier, si est un corps algébriquement clos, alors l'anneau matriciel ayant des entrées de est la seule algèbre de division de dimension finie sur . ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage k}$

Corollaire 2

Soit k un corps algébriquement clos. Soit R un anneau semi - simple qui est une k -algèbre de dimension finie . Alors R est un produit fini où sont des entiers positifs, et est l'algèbre des matrices sur k . ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)}$${\style d'affichage n_{i}}$${\style d'affichage M_{n_{i}}(k)}$${\style d'affichage n_{i}\fois n_{i}}$

Conséquence

Le théorème de Wedderburn-Artin réduit le problème de la classification des algèbres centrales simples de dimension finie sur un corps K au problème de la classification des algèbres de division centrale de dimension finie sur K .

Voir également

• Le théorème de Maschke
• Groupe Brauer
• Théorème de densité de Jacobson
• Nombre hypercomplexe

Les références

• PM Cohn (2003) Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields , pages 137–9.
• JHM Wedderburn (1908). "Sur les nombres hypercomplexes" . Actes de la London Mathematical Society . 6 : 77-118. doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77 .
• Artin, E. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5 : 251-260. Citer le journal nécessite |journal=( aide )