Logique autoépistémique - Autoepistemic logic

La logique autoépistémique est une logique formelle de représentation et de raisonnement des connaissances sur la connaissance. Alors que la logique propositionnelle ne peut exprimer que des faits, la logique autoépistémique peut exprimer des connaissances et un manque de connaissances sur les faits.

La sémantique du modèle stable , qui est utilisée pour donner une sémantique à la programmation logique avec la négation comme échec , peut être vue comme une forme simplifiée de logique autoépistémique.

Syntaxe

La syntaxe de la logique autoépistémique étend celle de la logique propositionnelle par un opérateur modal indiquant la connaissance: si est une formule, indique que c'est connu. En conséquence, indique que est connu et indique que n'est pas connu. ${\ displaystyle \ Box}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ Box F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ Box \ neg F}$${\ displaystyle \ neg F}$${\ displaystyle \ neg \ Box F}$${\ displaystyle F}$

Cette syntaxe est utilisée pour permettre un raisonnement basé sur la connaissance des faits. Par exemple, signifie que cela est supposé faux si on ne sait pas que c'est vrai. C'est une forme de négation comme échec . ${\ displaystyle \ neg \ Box F \ rightarrow \ neg F}$${\ displaystyle F}$

Sémantique

La sémantique de la logique autoépistémique est basée sur les développements d'une théorie, qui ont un rôle similaire aux modèles en logique propositionnelle . Alors qu'un modèle propositionnel spécifie quels axiomes sont vrais ou faux, un développement spécifie quelles formules sont vraies et lesquelles sont fausses. En particulier, les extensions d'une formule autoépistémique font cette distinction pour chaque sous - formule contenue dans . Cette distinction permet d'être traitée comme une formule propositionnelle , car toutes ses sous-formules contenant sont soit vraies soit fausses. En particulier, vérifier si les substitutions dans cette condition peut être fait en utilisant les règles du calcul propositionnel. Pour qu'une hypothèse initiale soit une expansion, il faut qu'une sous - formule soit impliquée si et seulement si elle a été initialement supposée vraie. ${\ displaystyle \ Box F}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Box F}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Box}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ Box F}$

En termes de sémantique mondiale possible , une expansion de consiste en un modèle S5 dont les mondes possibles consistent uniquement en mondes où est vrai. [Les mondes possibles n'ont pas besoin de contenir tous ces mondes cohérents; cela correspond au fait que les propositions modales se voient attribuer des valeurs de vérité avant de vérifier la dérivabilité des propositions ordinaires.] Ainsi, la logique autoépistémique étend S5 ; l'extension est propre, puisque et sont des tautologies de la logique autoépistémique, mais pas de S5 . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ neg \ Box p}$${\ displaystyle \ neg \ Box \ neg p}$

Par exemple, dans la formule , il n'y a qu'une seule «sous-formule encadrée», c'est-à-dire . Par conséquent, il n'y a que deux extensions candidates, en supposant respectivement vrai ou faux. Le contrôle pour eux étant des expansions réelles est le suivant. ${\ displaystyle T = \ Box x \ rightarrow x}$${\ displaystyle \ Box x}$

${\ displaystyle \ Box x}$ est faux: avec cette hypothèse, devient tautologique, comme équivaut à , et est supposé vrai; par conséquent, n'est pas impliqué. Ce résultat confirme l'hypothèse implicite d' être fausse, c'est-à-dire qui n'est pas connue actuellement. Par conséquent, l'hypothèse qui est fausse est une expansion. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Box x \ rightarrow x}$${\ displaystyle \ neg \ Box x \ vee x}$${\ displaystyle \ neg \ Box x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Box x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Box x}$

${\ displaystyle \ Box x}$ est vrai: avec cette hypothèse, implique ; par conséquent, l'hypothèse initiale implicite d' être vraie, c'est-à- dire connue pour être vraie, est satisfaite. En conséquence, c'est une autre expansion. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Box x}$${\ displaystyle x}$

La formule a donc deux extensions, l'une dans laquelle n'est pas connue et l'autre dans laquelle est connue. La seconde a été considérée comme peu intuitive, car l'hypothèse initiale qui est vraie est la seule raison pour laquelle elle est vraie, ce qui confirme l'hypothèse. En d'autres termes, il s'agit d'une hypothèse autosuffisante. Une logique permettant un tel autosuffisance des croyances est appelée non fortement ancrée pour les différencier des logiques fortement ancrées , dans lesquelles l'autosuffisance n'est pas possible. Il existe des variantes fortement ancrées de la logique autoépistémique. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Box x}$${\ displaystyle x}$

Généralisations

Dans l' inférence incertaine , la dualité connue / inconnue des valeurs de vérité est remplacée par un degré de certitude d'un fait ou d'une déduction; la certitude peut varier de 0 (totalement incertain / inconnu) à 1 (certain / connu). Dans les réseaux de logique probabiliste , les valeurs de vérité reçoivent également une interprétation probabiliste ( c'est-à- dire que les valeurs de vérité peuvent être incertaines et, même si elles sont presque certaines, elles peuvent toujours être «probablement» vraies (ou fausses).)

Voir également

• Logique non monotone
• Logique modale

Remarques

Références