Involution de Bender-Knuth - Bender–Knuth involution
En combinatoire algébrique , une involution de Bender-Knuth est une involution sur l'ensemble des tableaux semi - standard , introduite par Bender & Knuth (1972 , pp. 46-47) dans leur étude des partitions planes .
Définition
Les involutions de Bender-Knuth σ k sont définies pour les entiers k , et agissent sur l'ensemble des tableaux de Young semi-standard de forme fixe μ/ν, où μ et sont des partitions. Il agit en changeant certains des éléments k du tableau en k + 1, et certaines des entrées k + 1 en k , de telle sorte que les nombres d'éléments de valeurs k ou k + 1 soient échangés. Appelez une entrée du tableau libre si c'est k ou k + 1 et qu'il n'y a pas d'autre élément avec la valeur k ou k + 1 dans la même colonne. Pour tout i , les entrées libres de la ligne i sont toutes dans des colonnes consécutives et consistent en a i copies de k suivies de b i copies de k + 1, pour certains a i et b i . L'involution de Bender-Knuth k les remplace par b i copies de k suivies de a i copies de k + 1.
Applications
Les involutions de Bender-Knuth peuvent être utilisées pour montrer que le nombre de tableaux asymétriques semi-standard de forme et de poids donnés est inchangé sous les permutations du poids. Cela implique à son tour que la fonction de Schur d'une partition est une fonction symétrique.
Les involutions de Bender-Knuth ont été utilisées par Stembridge (2002) pour donner une courte démonstration de la règle de Littlewood-Richardson .
Les références
- Bender, Edward A.; Knuth, Donald E. (1972), "Enumeration of plane partitions", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 13 (1): 40-54, doi : 10.1016/0097-3165(72)90007-6 , ISSN 1096- 0899 , MR 0299574
- Stembridge, John R. (2002), "Une preuve concise de la règle de Littlewood-Richardson" (PDF) , Electronic Journal of Combinatorics , 9 (1): Note 5, 4 pp. (électronique), ISSN 1077-8926 , MR 1912814