Mesure Borel - Borel measure

En mathématiques , plus précisément en théorie des mesures , une mesure de Borel sur un espace topologique est une mesure qui est définie sur tous les ensembles ouverts (et donc sur tous les ensembles de Borel ). Certains auteurs exigent des restrictions supplémentaires sur la mesure, comme décrit ci-dessous.

Définition formelle

Soit un espace de Hausdorff localement compact , et soit la plus petite σ-algèbre contenant les ensembles ouverts de ; c'est ce qu'on appelle la σ-algèbre des ensembles de Borel . Une mesure de Borel est toute mesure définie sur la σ-algèbre des ensembles de Borel. Quelques auteurs exigent en plus que ce soit localement fini , c'est-à-dire pour chaque ensemble compact . Si une mesure de Borel est à la fois régulière interne et régulière externe , elle est appelée une mesure de Borel régulière . Si elle est à la fois régulière interne, régulière externe et localement finie , cela s'appelle une mesure de Radon . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (C) <\ infty}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$

Sur la vraie ligne

La vraie ligne avec sa topologie habituelle est un espace de Hausdorff localement compact, nous pouvons donc y définir une mesure de Borel. Dans ce cas, est la plus petite σ-algèbre contenant les intervalles ouverts de . Bien qu'il existe de nombreuses mesures Borel μ , le choix de la mesure Borel qui assigne pour chaque intervalle semi-ouvert est parfois appelé "la" mesure Borel activée . Cette mesure s'avère être la restriction à la σ-algèbre de Borel de la mesure de Lebesgue , qui est une mesure complète et est définie sur la σ-algèbre de Lebesgue. La σ-algèbre de Lebesgue est en fait la complétion de la σ-algèbre de Borel, ce qui signifie que c'est la plus petite σ-algèbre qui contient tous les ensembles de Borel et a une mesure complète dessus. De plus, la mesure de Borel et la mesure de Lebesgue coïncident sur les ensembles de Borel (c'est-à-dire, pour chaque ensemble mesurable de Borel, où est la mesure de Borel décrite ci-dessus). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba}$${\ displaystyle (a, b]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda (E) = \ mu (E)}$${\ displaystyle \ mu}$

Espaces produits

Si X et Y sont deuxième dénombrable , espaces topologiques Hausdorff , puis l'ensemble des sous - ensembles Borel de leurs produits avec coincide le produit des ensembles de sous - ensembles de Borel de X et Y . Autrement dit, le foncteur Borel${\ displaystyle B (X \ fois Y)}$${\ Displaystyle B (X) \ times B (Y)}$

${\ displaystyle \ mathbf {Bor} \ colon \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}}$

de la catégorie des espaces Hausdorff deuxième dénombrables à la catégorie des espaces mesurables préserve les produits finis .

Applications

Intégrale de Lebesgue – Stieltjes

L' intégrale de Lebesgue – Stieltjes est l' intégrale de Lebesgue ordinaire par rapport à une mesure connue sous le nom de mesure de Lebesgue – Stieltjes, qui peut être associée à toute fonction de variation bornée sur la ligne réelle. La mesure de Lebesgue – Stieltjes est une mesure de Borel régulière , et inversement toute mesure de Borel régulière sur la ligne réelle est de ce type.

transformation de Laplace

On peut définir la transformée de Laplace d'une mesure de Borel finie μ sur la droite réelle par l' intégrale de Lebesgue

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {[0, \ infty)} e ^ {- st} \, d \ mu (t).}$

Un cas particulier important est celui où μ est une mesure de probabilité ou, plus précisément encore, la fonction delta de Dirac. Dans le calcul opérationnel , la transformée de Laplace d'une mesure est souvent traitée comme si la mesure provenait d'une fonction de distribution f . Dans ce cas, pour éviter toute confusion potentielle, on écrit souvent

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}$

où la limite inférieure de 0 ^- est la notation abrégée pour

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.}$

Cette limite souligne que toute masse ponctuelle située à 0 est entièrement capturée par la transformée de Laplace. Bien qu'avec l' intégrale de Lebesgue , il ne soit pas nécessaire de prendre une telle limite, elle apparaît plus naturellement en relation avec la transformée de Laplace-Stieltjes .

Dimension de Hausdorff et lemme de Frostman

Étant donné une mesure de Borel μ sur un espace métrique X tel que μ ( X )> 0 et μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s est valable pour une certaine constante s > 0 et pour chaque boule B ( x , r ) dans X , alors la dimension de Hausdorff dim _Haus ( X ) ≥ s . Une réciproque partielle est fournie par le lemme de Frostman :

Lemme: Soit A un sous-ensemble Borel de R ⁿ , et soit s  > 0. Alors ce qui suit est équivalent:

• H ^s ( A )> 0, où H ^s désigne la mesure de Hausdorff s -dimensionnelle .
• Il existe une mesure de Borel (non signée) μ satisfaisant μ ( A )> 0, et telle que

${\ Displaystyle \ mu (B (x, r)) \ leq r ^ {s}}$

est valable pour tout x  ∈  R ⁿ et r  > 0.

Théorème de Cramér-Wold

Le théorème de Cramér-Wold en théorie de la mesure précise qu'un Borel mesure de probabilité sur est uniquement déterminée par la totalité de ses projections unidimensionnelles. Il est utilisé comme méthode pour prouver les résultats de convergence conjointe. Le théorème est nommé d'après Harald Cramér et Herman Ole Andreas Wold . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$

Les références

Lectures complémentaires

• Mesure gaussienne , une mesure de Borel de dimension finie
• Feller, William (1971), Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications. Vol. II. , Deuxième édition, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• JD Pryce (1973). Méthodes de base de l'analyse fonctionnelle . Bibliothèque de l'Université Hutchinson. Hutchinson . p. 217. ISBN 0-09-113411-0.
• Ransford, Thomas (1995). Théorie du potentiel dans le plan complexe . Textes d'étudiants de la London Mathematical Society. 28 . Cambridge: Cambridge University Press . pp.  209-218 . ISBN 0-521-46654-7. Zbl  0828.31001 .
• Teschl, Gerald , Topics in Real and Functional Analysis , (notes de cours)
• Lemme de Wiener lié

Liens externes

• Mesure Borel à l' Encyclopédie des mathématiques