Mesure régulière - Regular measure

En mathématiques , une mesure régulière sur un espace topologique est une mesure pour laquelle chaque ensemble mesurable peut être approché par le haut par des ensembles ouverts mesurables et par le bas par des ensembles mesurables compacts.

Définition

Soit ( X , T ) un espace topologique Σ soit une σ-algèbre sur X . Soit μ une mesure sur ( X , Σ). Un sous-ensemble mesurable A de X est dit régulier interne si

{\ displaystyle \ mu (A) = \ sup \ {\ mu (F) \ mid F \ subseteq A, F {\ text {compact et mesurable}} \}}

et dit être régulier extérieur si

{\ displaystyle \ mu (A) = \ inf \ {\ mu (G) \ mid G \ supseteq A, G {\ text {ouvert et mesurable}} \}}

Une mesure est appelée régulière interne si chaque ensemble mesurable est régulier interne. Certains auteurs utilisent une définition différente: une mesure est appelée régulière interne si chaque ensemble mesurable ouvert est régulier interne.
Une mesure est appelée régulière externe si chaque ensemble mesurable est régulier externe.
Une mesure est dite régulière si elle est régulière externe et régulière interne.

Exemples

Mesures régulières

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle est une mesure régulière: voir le théorème de régularité pour la mesure de Lebesgue .
Toute mesure de probabilité de Baire sur un espace de Hausdorff σ-compact localement compact est une mesure régulière.
Toute mesure de probabilité de Borel sur un espace de Hausdorff localement compact avec une base dénombrable pour sa topologie, ou un espace métrique compact, ou espace de Radon , est régulière.

Mesures régulières internes qui ne sont pas régulières externes

Un exemple d'une mesure sur la ligne réelle avec sa topologie habituelle qui n'est pas régulière extérieur est la mesure μ où , et pour tout autre ensemble . ${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ left (\ {1 \} \ right) = 0 \, \,}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ infty \, \,}$ ${\ displaystyle A}$
La mesure de Borel sur le plan qui attribue à tout ensemble de Borel la somme des mesures (1-dimensionnelles) de ses sections horizontales est régulière interne mais pas régulière externe, car chaque ensemble ouvert non vide a une mesure infinie. Une variante de cet exemple est une union disjointe d'un nombre incalculable de copies de la ligne réelle avec la mesure de Lebesgue.
Un exemple de mesure de Borel μ sur un espace de Hausdorff localement compact qui est régulier intérieur, σ-fini et localement fini mais non régulier extérieur est donné par Bourbaki (2004 , exercice 5 de la section 1) comme suit. L'espace topologique X a comme ensemble sous-jacent le sous-ensemble du plan réel donné par l' axe y des points (0, y ) avec les points (1 / n , m / n ² ) avec m , n entiers positifs. La topologie est donnée comme suit. Les points uniques (1 / n , m / n ² ) sont tous des ensembles ouverts. Une base de voisinages du point (0, y ) est donnée par des coins constitués de tous les points en X de la forme ( u , v ) avec | v - y | ≤ | u | ≤ 1 / n pour un entier positif n . Cet espace X est localement compact. La mesure μ est donnée en laissant l' axe y avoir la mesure 0 et en laissant le point (1 / n , m / n ² ) avoir la mesure 1 / n ³ . Cette mesure est régulière interne et localement finie, mais n'est pas régulière externe car tout ensemble ouvert contenant l' axe y a la mesure de l'infini.

Mesures régulières extérieures qui ne sont pas régulières intérieures

Si μ est la mesure régulière interne dans l'exemple précédent, et M est la mesure donnée par M ( S ) = inf _{U ⊇ S} μ ( U ) où inf est pris sur tous les ensembles ouverts contenant l'ensemble de Borel S , alors M est une mesure de Borel externe régulière localement finie sur un espace de Hausdorff localement compact qui n'est pas régulier interne au sens fort, bien que tous les ensembles ouverts soient réguliers internes, donc il est régulier interne au sens faible. Les mesures M et μ coïncident sur tous les ensembles ouverts, tous les ensembles compacts et tous les ensembles sur lesquels M a une mesure finie. L' axe y a une mesure M infinie bien que tous ses sous-ensembles compacts aient la mesure 0.
Un cardinal mesurable avec la topologie discrète a une mesure de probabilité Borel telle que chaque sous-ensemble compact a la mesure 0, donc cette mesure est régulière externe mais pas régulière interne. L'existence de cardinaux mesurables ne peut pas être prouvée dans la théorie des ensembles ZF mais (à partir de 2013) on pense qu'elle est cohérente avec elle.

Mesures qui ne sont ni internes ni externes régulières

L'espace de tous les ordinaux au plus égal au premier ordinal indénombrable Ω, avec la topologie générée par des intervalles ouverts, est un espace de Hausdorff compact. La mesure qui attribue la mesure 1 aux ensembles de Borel contenant un sous-ensemble fermé illimité des ordinaux dénombrables et attribue 0 aux autres ensembles de Borel est une mesure de probabilité de Borel qui n'est ni régulière interne ni régulière externe.

Voir également

Les références

Billingsley, Patrick (1999). Convergence des mesures de probabilité . New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
Parthasarathy, KR (2005). Mesures de probabilité sur les espaces métriques . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (voir chapitre 2)

Dudley, RM (1989). Analyse réelle et probabilité . Chapman et Hall.

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