La formule de Brahmagupta - Brahmagupta's formula

En géométrie euclidienne , la formule de Brahmagupta est utilisée pour trouver l' aire de tout quadrilatère cyclique (celui qui peut être inscrit dans un cercle) étant donné la longueur des côtés.

Formule

La formule de Brahmagupta donne l'aire K d'un quadrilatère cyclique dont les côtés ont des longueurs a , b , c , d comme

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}$

où s , le demi - périmètre , est défini comme étant

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Cette formule généralise la formule de Heron pour l'aire d'un triangle . Un triangle peut être considéré comme un quadrilatère avec un côté de longueur zéro. De ce point de vue, lorsque d s'approche de zéro, un quadrilatère cyclique converge en un triangle cyclique (tous les triangles sont cycliques), et la formule de Brahmagupta se simplifie en la formule de Heron.

Si le demi-périmètre n'est pas utilisé, la formule de Brahmagupta est

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+ b+cd)}}.}$

Une autre version équivalente est

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4 }+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }$

Preuve

Diagramme pour référence

Preuve trigonométrique

Ici, les notations de la figure de droite sont utilisées. La zone K du quadrilatère cyclique est égale à la somme des aires de △ BAD et △ BDC :

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$

Mais comme □ABCD est un quadrilatère cyclique, ∠ DAB = 180° − ∠ DCB . Donc sin A = sin C . Donc,

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}$

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)}$

(en utilisant l'  identité trigonométrique )

La résolution de côté commun DB , dans △ BAD et △ BDC , la loi des cosinus donne

${\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}$

En substituant cos C = −cos A (puisque les angles A et C sont supplémentaires ) et en réarrangeant, on a

${\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}$

En substituant cela dans l'équation de la zone,

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^ {2})^{2}}$

${\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}. }$

Le membre de droite est de la forme a ² − b ² = ( a − b )( a + b ) et peut donc s'écrire sous la forme

${\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q ^{2}-r^{2}-s^{2}]}$

qui, en réarrangeant les termes entre crochets, donne

${\displaystyle =[(r+s)^{2}-(pq)^{2}][(p+q)^{2}-(rs)^{2}]}$

${\style d'affichage =(q+r+sp)(p+r+sq)(p+q+sr)(p+q+rs).}$

Présentation du semi - périmètre S = p + q + r + s/2,

${\displaystyle 16K^{2}=16(Sp)(Sq)(Sr)(Ss).}$

En prenant la racine carrée, on obtient

${\displaystyle K={\sqrt {(Sp)(Sq)(Sr)(Ss)}}.}$

Preuve non trigonométrique

Une autre preuve non trigonométrique utilise deux applications de la formule de surface triangulaire de Heron sur des triangles similaires.

Extension aux quadrilatères non cycliques

Dans le cas des quadrilatères non cycliques, la formule de Brahmagupta peut être étendue en considérant les mesures de deux angles opposés du quadrilatère :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

où θ est la moitié de la somme de toutes les deux angles opposés. (Le choix de la paire d'angles opposés n'a pas d'importance : si les deux autres angles sont pris, la moitié de leur somme est 180° − θ . Puisque cos(180° − θ ) = −cos θ , on a cos ² (180° − θ ) = cos ² θ .) Cette formule plus générale est connue sous le nom de formule de Bretschneider .

C'est une propriété des quadrilatères cycliques (et finalement des angles inscrits ) que les angles opposés d'un quadrilatère somme à 180°. Par conséquent, dans le cas d'un quadrilatère inscrit, θ est de 90 °, d' où le terme

${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}$

donnant la forme de base de la formule de Brahmagupta. Il résulte de cette dernière équation que l'aire d'un quadrilatère cyclique est l'aire maximale possible pour tout quadrilatère avec les longueurs de côté données.

Une formule apparentée, qui a été prouvée par Coolidge , donne également l'aire d'un quadrilatère convexe général. Il est

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}$

où p et q sont les longueurs des diagonales du quadrilatère. Dans un quadrilatère cyclique , pq = ac + bd selon le théorème de Ptolémée , et la formule de Coolidge se réduit à la formule de Brahmagupta.

Théorèmes associés

• La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est le cas particulier obtenu en prenant d = 0 .
• La relation entre la forme générale et étendue de la formule de Brahmagupta est similaire à la façon dont la loi des cosinus étend le théorème de Pythagore .
• Des formules fermées de plus en plus compliquées existent pour l'aire des polygones généraux sur les cercles, comme décrit par Maley et al.

Les références

Liens externes

• La formule de Brahmagupta sur ProofWiki
• Weisstein, Eric W. "La formule de Brahmagupta" . MathWorld .

Cet article incorpore du matériel de preuve de la formule de Brahmagupta sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .