Distribution Cantor - Cantor distribution
Fonction de distribution cumulative
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Paramètres | rien | ||
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Support | Ensemble de chantre | ||
CMP | rien | ||
CDF | Fonction de chantre | ||
Moyenne | 1/2 | ||
Médian | n'importe où dans [1/3, 2/3] | ||
Mode | n / A | ||
Variance | 1/8 | ||
Asymétrie | 0 | ||
Ex. aplatissement | -8/5 | ||
MGF | |||
FC |
La distribution de Cantor est la distribution de probabilité dont la fonction de distribution cumulative est la fonction de Cantor .
Cette distribution n'a ni fonction de densité de probabilité ni fonction de masse de probabilité , car bien que sa fonction de distribution cumulative soit une fonction continue , la distribution n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue , et elle n'a pas de masse ponctuelle. Ce n'est donc ni une distribution de probabilité discrète ni absolument continue, ni un mélange de celles-ci. Il s'agit plutôt d'un exemple de distribution singulière .
Sa fonction de distribution cumulative est continue partout mais horizontale presque partout, c'est pourquoi on l'appelle parfois l'escalier du diable , bien que ce terme ait un sens plus général.
Caractérisation
Le support de la distribution de Cantor est l' ensemble de Cantor , lui-même l'intersection des ensembles (dénombrables à l'infini) :
La distribution de Cantor est la distribution de probabilité unique pour laquelle pour tout C t ( t { 0, 1, 2, 3, ... }), la probabilité d'un intervalle particulier dans C t contenant la variable aléatoire distribuée de Cantor est identique 2 − t sur chacun des 2 t intervalles.
Des moments
Il est facile de voir par symétrie que pour une variable aléatoire X ayant cette distribution, sa valeur attendue E( X ) = 1/2, et que tous les moments centraux impairs de X sont 0.
La loi de la variance totale peut être utilisée pour trouver la variance var( X ), comme suit. Pour l'ensemble ci-dessus C 1 , soit Y = 0 si X [0,1/3], et 1 si X ∈ [2/3,1]. Puis:
De là on obtient :
Une expression fermée pour tout moment central pair peut être trouvée en obtenant d'abord les cumulants pairs
où B 2 n est le 2 n ème nombre de Bernoulli , puis exprimant les moments en fonction des cumulants .
Les références
Lectures complémentaires
- Hewitt, E.; Stromberg, K. (1965). Analyse réelle et abstraite . Berlin-Heidelberg-New York : Springer-Verlag. Celui-ci, comme d'autres textes standard, a la fonction Cantor et ses dérivés unilatéraux.
- Hu, Tian-You ; Lau, Ka Sing (2002). "Asymptotique de Fourier des mesures de type Cantor à l'infini". Proc. AMS . 130 (9). p. 2711–2717. Ceci est plus moderne que les autres textes de cette liste de référence.
- Knill, O. (2006). Théorie des probabilités et processus stochastiques . Inde : Presse d'outre-mer.
- Mattilla, P. (1995). Géométrie des ensembles dans les espaces euclidiens . San Francisco : Cambridge University Press. Cela a un matériel plus avancé sur les fractales.