Forme symétrique Carlson - Carlson symmetric form

En mathématiques , les formes symétriques Carlson des intégrales elliptiques sont un petit ensemble canonique d'intégrales elliptiques auquel toutes les autres peuvent être réduites. Ils sont une alternative moderne aux formes Legendre . Les formes Legendre peuvent être exprimées en termes de formes Carlson et vice versa.

Les intégrales elliptiques de Carlson sont :

Puisque et sont des cas particuliers de et , toutes les intégrales elliptiques peuvent finalement être évaluées en termes de juste et . ${\style d'affichage R_{C}}$${\style d'affichage R_{D}}$${\style d'affichage R_{F}}$${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage R_{F}}$${\style d'affichage R_{J}}$

Le terme symétrique fait référence au fait que contrairement aux formes de Legendre, ces fonctions sont inchangées par l'échange de certains sous-ensembles de leurs arguments. La valeur de est la même pour toute permutation de ses arguments, et la valeur de est la même pour toute permutation de ses trois premiers arguments. ${\style d'affichage R_{F}(x,y,z)}$${\style d'affichage R_{J}(x,y,z,p)}$

Les intégrales elliptiques de Carlson portent le nom de Bille C. Carlson (1924-2013).

Relation avec les formes Legendre

Intégrales elliptiques incomplètes

Les intégrales elliptiques incomplètes peuvent être calculées facilement en utilisant les formes symétriques de Carlson :

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right )}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right )-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\droit)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi , 1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^ {2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)}$

(Remarque : les éléments ci-dessus ne sont valables que pour et ) ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$

Intégrales elliptiques complètes

Complete Intégrales elliptiques peuvent être calculées en remplaçant φ =  1 / 2 π:

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\ gauche(0,1-k^{2},1\droite)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left( 0,1-k^{2},1,1-n\droit)}$

Cas spéciaux

Lorsque deux ou les trois arguments de sont les mêmes, alors une substitution de rend l'intégrande rationnel. L'intégrale peut alors être exprimée en termes de fonctions transcendantales élémentaires. ${\style d'affichage R_{F}}$${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac { dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+ y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {yx}}},&x<y\\{\frac {1} {\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatorname {arcosh} {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {xy}}},&x>y\ \\end{cas}}}$

De même, lorsqu'au moins deux des trois premiers arguments de sont les mêmes, ${\style d'affichage R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y )(u^{2}-x+p)}}={\begin{cas}{\frac {3}{py}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p )),&y\neq p\\{\frac {3}{2(yx)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x }}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Propriétés

Homogénéité

En substituant dans les définitions intégrales à toute constante , on trouve que ${\displaystyle t=\kappa u}$${\style d'affichage \kappa }$

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p )}$

Théorème de duplication

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4 }},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

où . ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}} }$

${\displaystyle {\begin{aligné}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C} (d^{2},d^{2}+(px)(py)(pz))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\ lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_ {C}(d^{2},d^{2}+(px)(py)(pz))\end{aligned}}}$

où et${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\ sqrt {z}})}$${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}} }$

Extension de la série

Pour obtenir un développement en série de Taylor pour ou, il s'avère pratique de développer autour de la valeur moyenne des différents arguments. Donc pour , en laissant la valeur moyenne des arguments être , et en utilisant l'homogénéité, définissez , et par ${\style d'affichage R_{F}}$${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage R_{F}}$${\style d'affichage A=(x+y+z)/3}$${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\style d'affichage \Delta z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\ Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned} }}$

c'est-à-dire etc. Les différences , et sont définies avec ce signe (tel qu'elles sont soustraites ), afin d'être en accord avec les papiers de Carlson. Puisque est symétrique par permutation de , et , il est également symétrique dans les quantités , et . Il s'ensuit que l'intégrande de et son intégrale peuvent être exprimés en fonctions des polynômes symétriques élémentaires dans , et qui sont ${\style d'affichage \Delta x=1-x/A}$${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\style d'affichage \Delta z}$${\style d'affichage R_{F}(x,y,z)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\style d'affichage \Delta z}$${\style d'affichage R_{F}}$${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\style d'affichage \Delta z}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$

Exprimer l'intégrande en fonction de ces polynômes, effectuer un développement de Taylor multidimensionnel et intégrer terme à terme...

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty } {\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}} }dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^ {\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3 }}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11} {2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O (\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+ {\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{ 3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

L'avantage de s'étendre sur la valeur moyenne des arguments est maintenant évident ; elle se réduit à l' identique à zéro, et élimine ainsi tous les termes impliquant - qui autrement seraient les plus nombreux. ${\style d'affichage E_{1}}$${\style d'affichage E_{1}}$

Une série ascendante pour peut être trouvée d'une manière similaire. Il y a une légère difficulté car n'est pas totalement symétrique ; sa dépendance vis-à-vis de son quatrième argument, , est différente de sa dépendance vis-à-vis de , et . Ceci est surmonté en traitant comme une fonction entièrement symétrique de cinq arguments, dont deux ont la même valeur . La valeur moyenne des arguments est donc considérée comme ${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage p}$

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$

et les différences , et défini par ${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$ ${\style d'affichage \Delta z}$${\style d'affichage \Delta p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1 -\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x ,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligné}}}$

Les polynômes symétriques élémentaires dans , , , et (encore) sont en entier ${\style d'affichage \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\style d'affichage \Delta z}$${\style d'affichage \Delta p}$${\style d'affichage \Delta p}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+ 2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+ 2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+ 2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

Cependant, il est possible de simplifier les formules pour , et en utilisant le fait que . Exprimer l'intégrande en fonction de ces polynômes, effectuer un développement de Taylor multidimensionnel et intégrer terme à terme comme précédemment... ${\style d'affichage E_{2}}$${\style d'affichage E_{3}}$${\style d'affichage E_{4}}$${\style d'affichage E_{1}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0 }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_ {2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{ \frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}} -{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\ frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+ {\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\ Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}} E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_ {4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Comme avec , en développant autour de la valeur moyenne des arguments, plus de la moitié des termes (ceux impliquant ) sont éliminés. ${\style d'affichage R_{J}}$${\style d'affichage E_{1}}$

Arguments négatifs

En général, les arguments x, y, z des intégrales de Carlson peuvent ne pas être réels et négatifs, car cela placerait un point de branchement sur le chemin de l'intégration, rendant l'intégrale ambiguë. Cependant, si le deuxième argument de , ou le quatrième argument, p, de est négatif, il en résulte un pôle simple sur le chemin de l'intégration. Dans ces cas, la valeur principale de Cauchy (partie finie) des intégrales peut être intéressante ; ceux-ci sont ${\style d'affichage R_{C}}$${\style d'affichage R_{J}}$

${\displaystyle \mathrm {pv} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y) ,}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {pv} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(qy)R_{J}(x,y,z, q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(qy )R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz +pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle q=y+{\frac {(zy)(yx)}{y+p}}.}$

qui doit être supérieur à zéro pour être évalué. Cela peut être arrangé en permutant x, y et z de sorte que la valeur de y soit comprise entre celle de x et z. ${\style d'affichage R_{J}(x,y,z,q)}$

Évaluation numérique

Le théorème de duplication peut être utilisé pour une évaluation rapide et robuste de la forme symétrique de Carlson des intégrales elliptiques et donc aussi pour l'évaluation de la forme de Legendre des intégrales elliptiques. Calculons : d'abord, définissons , et . Puis itérer la série ${\style d'affichage R_{F}(x,y,z)}$${\style d'affichage x_{0}=x}$${\style d'affichage y_{0}=y}$${\style d'affichage z_{0}=z}$

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}} }+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _ {n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

jusqu'à ce que la précision souhaitée soit atteinte : si , et sont non négatifs, toutes les séries convergeront rapidement vers une valeur donnée, disons, . Donc, ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage \mu }$

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

L'évaluation est sensiblement la même en raison de la relation ${\style d'affichage R_{C}(x,y)}$

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

Références et liens externes

• BC Carlson, John L. Gustafson « approximations asymptotiques pour les intégrales elliptiques symétriques » 1993 arXiv
• BC Carlson 'Calcul numérique d'intégrales elliptiques réelles ou complexes' 1994 arXiv
• BC Carlson 'Elliptic Integrals:Symetric Integrals' in Chap. 19 de la bibliothèque numérique des fonctions mathématiques . Date de sortie 2010-05-07. Institut national des normes et de la technologie.
• 'Profil : Bille C. Carlson' dans la bibliothèque numérique des fonctions mathématiques . Institut national des normes et de la technologie.
• Appuyez sur, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT ; Flannery, BP (2007), "Section 6.12. Intégraux elliptiques et fonctions elliptiques jacobiennes" , Recettes numériques : L'art de l'informatique scientifique (3e éd.), New York : Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Code Fortran de SLATEC pour évaluer RF , RJ , RC , RD ,