Cercle de Carlyle - Carlyle circle

En mathématiques , un cercle de Carlyle (du nom de Thomas Carlyle ) est un certain cercle dans un plan de coordonnées associé à une équation quadratique . Le cercle a la propriété que les solutions de l'équation quadratique sont les coordonnées horizontales des intersections du cercle avec l' axe horizontal . Les cercles de Carlyle ont été utilisés pour développer des constructions à la règle et au compas de polygones réguliers .

Définition

Cercle de Carlyle de l'équation quadratique x 2  −  sx  +  p  = 0.

Étant donné l'équation quadratique

x 2  −  sx  +  p  = 0

le cercle dans le plan de coordonnées ayant le segment de droite joignant les points A (0, 1) et B ( s ,  p ) comme diamètre est appelé le cercle de Carlyle de l'équation quadratique.

Définir la propriété

La propriété déterminante du cercle de Carlyle peut être établie ainsi : l'équation du cercle ayant le segment de droite AB comme diamètre est

x ( x  −  s ) + ( y  − 1)( y  −  p ) = 0.

Les abscisses des points où le cercle coupe l' axe des x sont les racines de l'équation (obtenues en fixant y  = 0 dans l'équation du cercle)

x 2  −  sx  +  p  = 0.

Construction de polygones réguliers

Construction d'un pentagone régulier à l' aide de cercles de Carlyle
Construction d'un heptadécagone régulier utilisant des cercles de Carlyle
Construction d'un 257-gon régulier en utilisant des cercles de Carlyle

Pentagone régulier

Le problème de la construction d'un pentagone régulier est équivalent au problème de la construction des racines de l'équation

z 5  − 1 = 0.

Une racine de cette équation est z 0  = 1 qui correspond au point P 0 (1, 0). En supprimant le facteur correspondant à cette racine, les autres racines se révèlent être les racines de l'équation

z 4  +  z 3  +  z 2  +  z  + 1 = 0.

Ces racines peuvent être représentées sous la forme ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 où ω = exp (2 i π /5). Que ceux-ci correspondent aux points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 . Location

p 1  = + ω 4 , p 2  = 2  + ω 3

on a

p 1  +  p 2 = -1, p 1 p 2  = -1. (Ceux-ci peuvent être rapidement prouvés par substitution directe dans la quartique ci-dessus et en notant que 6 = ω et ω 7 = ω 2 .)

Donc p 1 et p 2 sont les racines de l'équation quadratique

x 2  +  x  − 1 = 0.

Le cercle de Carlyle associé à ce quadratique a un diamètre dont les extrémités sont en (0, 1) et (−1, −1) et le centre en (−1/2, 0). Les cercles de Carlyle sont utilisés pour construire p 1 et p 2 . Des définitions de p 1 et p 2, il résulte également que

p 1  = 2 cos (2 π / 5), p 2  = 2 cos (4 π / 5).

Ceux-ci sont ensuite utilisés pour construire les points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .

Cette procédure détaillée impliquant des cercles de Carlyle pour la construction de pentagones réguliers est donnée ci-dessous.

  1. Tracez un cercle dans lequel inscrire le pentagone et marquez le point central  O .
  2. Tracez une ligne horizontale passant par le centre du cercle. Marquez une intersection avec le cercle comme point  B .
  3. Construisez une ligne verticale passant par le centre. Marquez une intersection avec le cercle comme point A .
  4. Construire le point M comme milieu de O et B .
  5. Tracez un cercle de centre M passant par le point A . C'est le cercle de Carlyle pour x 2  +  x  − 1 = 0. Marquez son intersection avec la ligne horizontale (à l'intérieur du cercle d'origine) comme le point W et son intersection à l'extérieur du cercle comme le point V . Ce sont les points p 1 et p 2 mentionnés ci-dessus.
  6. Tracez un cercle de rayon OA et de centre W . Il coupe le cercle d'origine à deux des sommets du pentagone.
  7. Tracez un cercle de rayon OA et de centre V . Il coupe le cercle d'origine à deux des sommets du pentagone.
  8. Le cinquième sommet est l'intersection de l'axe horizontal avec le cercle d'origine.

Heptadécagone régulier

Il existe une méthode similaire impliquant des cercles de Carlyle pour construire des heptadécagones réguliers . La figure de droite illustre la procédure.

Régulier 257-gon

Pour construire un 257-gon régulier en utilisant des cercles de Carlyle, il faut construire jusqu'à 24 cercles de Carlyle. L'un d'eux est le cercle pour résoudre l'équation quadratique x 2  +  x  − 64 = 0.

Régulier 65537-gon

Il existe une procédure impliquant des cercles de Carlyle pour la construction d'un 65537-gon régulier . Cependant, il existe des problèmes pratiques pour la mise en œuvre de la procédure ; par exemple, il nécessite la construction du cercle de Carlyle pour la solution de l'équation quadratique x 2  +  x  − 2 14  = 0.

Histoire

La solution de Carlyle au problème de Leslie. Le segment de ligne noire est divisé en deux segments de telle sorte que les deux segments forment un rectangle (vert) d' aire égale à un autre rectangle donné (rouge).

Selon Howard Eves (1911-2004), le mathématicien John Leslie (1766-1832) a décrit la construction géométrique des racines d'une équation quadratique avec un cercle dans son livre Elements of Geometry et a noté que cette idée a été fournie par son ancien élève Thomas Carlyle (1795-1881). Cependant, alors que la description dans le livre de Leslie contient une construction de cercle analogue, elle a été présentée uniquement en termes géométriques élémentaires sans la notion de système de coordonnées cartésiennes ou de fonction quadratique et ses racines :

Diviser une ligne droite, que ce soit intérieurement ou extérieurement, de sorte que le rectangle sous ses segments soit équivalent à un rectangle donné.

—  John Leslie, Éléments de géométrie , prop. XVII, p. 176

En 1867, l'ingénieur autrichien Eduard Lill publia une méthode graphique pour déterminer les racines d'un polynôme ( méthode de Lill ). Si elle est appliquée sur une fonction quadratique, alors elle donne la figure trapézoïdale de la solution de Carlyle au problème de Leslie (voir graphique) avec l'un de ses côtés étant le diamètre du cercle de Carlyle. Dans un article de 1925 GA Miller a souligné qu'une légère modification de la méthode de Lill appliquée à une fonction quadratique normée donne un cercle qui permet la construction géométrique des racines de cette fonction et a donné la définition moderne explicite de ce qui allait être appelé plus tard Carlyle cercle.

Eves a utilisé le cercle au sens moderne dans l'un des exercices de son livre Introduction à l'histoire des mathématiques (1953) et a souligné le lien avec Leslie et Carlyle. Plus tard , les publications ont commencé à adopter les noms de cercle Carlyle , méthode Carlyle ou algorithme Carlyle , bien que dans les pays de langue allemande le terme Lill cercle ( Lill-Kreis ) est utilisé aussi bien. DeTemple a utilisé en 1989 et 1991 les cercles de Carlyle pour concevoir des constructions à compas et à règle pour les polygones réguliers, en particulier le pentagone , l' heptadécagone , le 257-gon et le 65537-gon . Ladislav Beran a décrit en 1999 comment le cercle de Carlyle peut être utilisé pour construire les racines complexes d'une fonction quadratique normée.

Les références