Méthode d'équivalence de Cartan - Cartan's equivalence method

En mathématiques , la méthode d'équivalence de Cartan est une technique en géométrie différentielle pour déterminer si deux structures géométriques sont identiques jusqu'à un difféomorphisme . Par exemple, si M et N sont deux variétés riemanniennes de métriques g et h , respectivement, quand y a-t-il un difféomorphisme

${\ displaystyle \ phi: M \ rightarrow N}$

tel que

${\ displaystyle \ phi ^ {*} h = g}$?

Bien que la réponse à cette question particulière soit connue dans la dimension 2 de Gauss et dans les dimensions supérieures de Christoffel et peut-être aussi de Riemann , Élie Cartan et ses héritiers intellectuels ont développé une technique pour répondre à des questions similaires pour des structures géométriques radicalement différentes. (Par exemple, consultez l' algorithme Cartan – Karlhede .)

Cartan appliquée avec succès sa méthode d'équivalence à plusieurs de ces structures, y compris les structures projectives , structures CR , et des structures complexes , ainsi que des structures apparemment non géométriques telles que l'équivalence des variables de Lagrange et d' équations différentielles ordinaires . (Ses techniques ont ensuite été développées plus complètement par de nombreux autres, tels que DC Spencer et Shiing-Shen Chern .)

La méthode d'équivalence est une procédure essentiellement algorithmique pour déterminer quand deux structures géométriques sont identiques. Pour Cartan, l'information géométrique primaire était exprimée dans un coframe ou une collection de coframes sur une variété différenciable . Voir la méthode de déplacement des cadres .

Aperçu

Plus précisément, supposons que M et N sont une paire de collecteurs portant chacun une structure de G- pour un groupe de structure G . Cela revient à donner une classe spéciale de coframes sur M et N . Les adresses de méthode de Cartan la question de savoir s'il existe un difféomorphisme local φ: M → N sous lequel le G -structure sur N retire la donnée G -structure sur M . Un problème d'équivalence a été "résolu" si l'on peut donner un ensemble complet d'invariants structuraux pour la structure G : ce qui signifie qu'un tel difféomorphisme existe si et seulement si tous les invariants structurels s'accordent dans un sens convenablement défini.

Explicitement, des systèmes locaux de formes univoque θ ⁱ et γ ⁱ sont donnés sur M et N , respectivement, qui couvrent les faisceaux cotangents respectifs (c'est-à-dire sont des coframes ). La question est de savoir s'il existe un difféomorphisme local φ: M → N tel que le pullback du coframe sur N satisfait

${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ gamma ^ {i} (y) = g_ {j} ^ {i} (x) \ theta ^ {j} (x), \ (g_ {j} ^ {i} ) \ dans G}$ (1)

où le coefficient g est une fonction sur M à valeurs dans le groupe de Lie G . Par exemple, si M et N sont des variétés riemanniennes, alors G = O ( n ) est le groupe orthogonal et θ ⁱ et γ ⁱ sont des coframes orthonormées de M et N respectivement. La question de savoir si deux variétés riemanniennes sont isométriques est alors la question de savoir s'il existe un difféomorphisme φ satisfaisant (1).

La première étape de la méthode de Cartan est d'exprimer la relation de pullback (1) de manière aussi invariante que possible grâce à l'utilisation d'un « prolongement ». La manière la plus économique de faire ceci est d'utiliser un G -subbundle PM du faisceau principal de coframes linéaires LM , bien que cette approche puisse conduire à des complications inutiles lors de l'exécution de calculs réels. En particulier, plus loin cet article utilise une approche différente. Mais aux fins d'une vue d'ensemble, il est commode de s'en tenir au point de vue du faisceau principal.

La deuxième étape consiste à utiliser l'invariance de difféomorphisme de la dérivée extérieure pour essayer d'isoler tout autre invariant d'ordre supérieur de la G- structure. En gros on obtient une connexion dans le faisceau principal PM , avec une certaine torsion. Les composantes de la liaison et de la torsion sont considérées comme des invariants du problème.

La troisième étape est que si les coefficients de torsion restants ne sont pas constants dans les fibres du faisceau principal PM , il est souvent possible (bien que parfois difficile), de les normaliser en les fixant à une valeur constante convenable et en résolvant ces équations de normalisation, réduisant ainsi la dimension effective du groupe de Lie G . Si cela se produit, on revient à la première étape, ayant maintenant un groupe de Lie d'une dimension inférieure avec lequel travailler.

La quatrième étape

L'objectif principal des trois premières étapes était de réduire au maximum le groupe de structure lui-même. Supposons que le problème d'équivalence ait traversé la boucle suffisamment de fois pour qu'aucune réduction supplémentaire ne soit possible. À ce stade, il existe différentes directions possibles dans lesquelles mène la méthode d'équivalence. Pour la plupart des problèmes d'équivalence, il n'y a que quatre cas: réduction complète, involution, prolongation et dégénérescence.

Réduction complète. Ici, le groupe de structure a été complètement réduit au groupe trivial . Le problème peut maintenant être traité par des méthodes telles que le théorème de Frobenius . En d'autres termes, l'algorithme s'est terminé avec succès.

Par contre, il est possible que les coefficients de torsion soient constants sur les fibres de PM . De manière équivalente, ils ne dépendent plus du groupe de Lie G car il ne reste plus rien à normaliser, même s'il peut encore y avoir une certaine torsion. Les trois autres cas le supposent.

Involution. Le problème d'équivalence est dit involutif (ou en involution ) s'il passe le test de Cartan . Il s'agit essentiellement d'une condition de rang sur la connexion obtenue dans les trois premières étapes de la procédure. Le test de Cartan généralise le théorème de Frobenius sur la solubilité des systèmes linéaires du premier ordre d'équations aux dérivées partielles. Si les coframes sur M et N (obtenues par une application approfondie des trois premières étapes de l'algorithme) concordent et satisfont au test de Cartan, alors les deux structures G sont équivalentes. (En fait, à la connaissance de l'auteur, les coframes doivent être véritablement analytiques pour que cela soit vrai , car le théorème de Cartan-Kähler nécessite une analyticité.)

Prolongement. C'est le cas le plus complexe. En fait, il existe deux sous-cas. Dans le premier sous-cas, toute la torsion peut être absorbée de manière unique dans la forme de connexion. (Les variétés riemanniennes en sont un exemple, puisque la connexion Levi-Civita absorbe toute la torsion). Les coefficients de connexion et leurs dérivées invariantes forment un ensemble complet d'invariants de la structure, et le problème d'équivalence est résolu. Dans le second cas, cependant, il est soit impossible d'absorber la totalité de la torsion, soit il y a une certaine ambiguïté (comme c'est souvent le cas en élimination gaussienne , par exemple). Ici, tout comme dans l'élimination gaussienne, il y a des paramètres supplémentaires qui apparaissent en essayant d'absorber la torsion. Ces paramètres eux-mêmes s'avèrent être des invariants supplémentaires du problème, de sorte que le groupe de structure G doit être prolongé en un sous-groupe d'un groupe de jets . Une fois cela fait, on obtient un nouveau coframe sur l'espace prolongé et on doit revenir à la première étape de la méthode d'équivalence. (Voir aussi prolongation des structures G. )

Dégénérescence. En raison d'une non-uniformité d'une condition de rang, la méthode d'équivalence ne parvient pas à traiter ce problème d'équivalence particulier. Par exemple, considérons le problème d'équivalence du mappage d'une variété M avec une seule forme θ à une autre variété avec une seule forme γ telle que φ * γ = θ. Les zéros de ces formes uniques, ainsi que le rang de leurs dérivées extérieures à chaque point doivent être pris en compte. La méthode d'équivalence peut gérer de tels problèmes si tous les rangs sont uniformes, mais elle n'est pas toujours appropriée si le rang change. Bien entendu, selon l'application particulière, beaucoup d'informations peuvent encore être obtenues avec la méthode d'équivalence.

Les références

• Olver, PJ (1995). Equivalence, invariants et symétrie . Presse d'université d'Oxford. ISBN 0-521-47811-1.