Ensemble complet d'observables de navettage - Complete set of commuting observables

En mécanique quantique , un ensemble complet d'observables de navettage (CSCO) est un ensemble d' opérateurs de navettage dont les valeurs propres spécifient complètement l' état d'un système.

Puisque chaque paire d'observables de l'ensemble commute, les observables sont toutes compatibles de sorte que la mesure d'une observable n'a aucun effet sur le résultat de la mesure d'une autre observable dans l'ensemble. Il n'est donc pas nécessaire de préciser l'ordre dans lequel les différentes observables sont mesurées. La mesure de l'ensemble complet des observables constitue une mesure complète, en ce sens qu'elle projette l' état quantique du système sur un vecteur unique et connu dans la base définie par l'ensemble des opérateurs. Autrement dit, pour préparer l'état complètement spécifié, nous devons prendre n'importe quel état arbitrairement, puis effectuer une succession de mesures correspondant à toutes les observables de l'ensemble, jusqu'à ce qu'il devienne un vecteur uniquement spécifié dans l' espace de Hilbert .

Le théorème de compatibilité

Prenons deux observables, et , représentés par et . Ensuite, les déclarations suivantes sont équivalentes: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

1. ${\ displaystyle A}$ et sont des observables compatibles. ${\ displaystyle B}$
2. ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ et ont une base propre commune. ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$
3. Les opérateurs et font la navette , c'est-à-dire . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = 0}$

Preuves

Preuve que les observables compatibles font la navette.

Soit un ensemble complet de paniers propres communs des deux observables compatibles et , correspondant aux ensembles et respectivement. Ensuite, nous pouvons écrire ${\ displaystyle \ {| \ psi _ {n} \ rangle \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ ${\ displaystyle AB | \ psi _ {n} \ rangle = Ab_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle = BA | \ psi _ {n} \ rangle}$ Maintenant, nous pouvons étendre n'importe quel état arbitraire ket dans l'ensemble complet comme ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle \ {| \ psi _ {n} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$ Donc, en utilisant le résultat ci-dessus, nous pouvons voir que ${\ displaystyle (AB-BA) | \ Psi \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (AB-BA) | \ psi _ {n} \ rangle = 0}$ Cela implique , ce qui signifie que les deux opérateurs font la navette. ${\ displaystyle [A, B] = 0}$

Preuve que les observables de navettage possèdent un ensemble complet de fonctions propres communes.

Quand a ${\ displaystyle A}$ des valeurs propres non dégénérées : Soit un ensemble complet de paniers propres correspondant à l'ensemble des valeurs propres . Si les opérateurs et font la navette, nous pouvons écrire ${\ displaystyle \ {| \ psi _ {n} \ rangle \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A (B | \ psi _ {n} \ rangle) = BA | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} (B | \ psi _ {n} \ rangle)}$ Ainsi, nous pouvons dire que c'est un marché propre correspondant à la valeur propre . Puisque les deux et sont des paniers propres associés à la même valeur propre non dégénérée , ils peuvent différer au plus par une constante multiplicative. Nous appelons cette constante . Alors, ${\ displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$ ${\ displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$ , ce qui signifie est un marché propre de , et donc de et simultanément . ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ Quand a ${\ displaystyle A}$ des valeurs propres dégénérées : Nous supposons qu'il est- fois dégénéré. Supposons que les paniers propres linéairement indépendants correspondants soient Puisque , nous raisonnons comme ci-dessus pour trouver qu'il s'agit d'un marché propre correspondant à la valeur propre dégénérée . Ainsi, nous pouvons développer dans la base des paniers propres dégénérés de : ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle | \ psi _ {nr} \ rangle, (r = 1,2, ... g)}$${\ displaystyle [A, B] = 0}$${\ displaystyle B | \ psi _ {nr} \ rangle}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle B | \ psi _ {nr} \ rangle}$${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle B | \ psi _ {nr} \ rangle = \ sum _ {s = 1} ^ {g} c_ {rs} | \ psi _ {ns} \ rangle}$ Ce sont les coefficients de dilatation. Nous additionnons maintenant le tout avec des constantes . Alors, ${\ displaystyle c_ {rs}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d_ {r}}$ ${\ displaystyle B \ sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | \ psi _ {nr} \ rangle = \ sum _ {r = 1} ^ {g} \ sum _ {s = 1} ^ {g} d_ {r} c_ {rs} | \ psi _ {ns} \ rangle}$ Donc, sera un marché propre de avec la valeur propre si nous avons ${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | \ psi _ {nr} \ rangle}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} c_ {rs} = b_ {n} d_ {s}, s = 1,2, ... g}$ Ceci constitue un système d' équations linéaires pour les constantes . Une solution non triviale existe si ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d_ {r}}$ ${\ displaystyle \ det [c_ {rs} -b_ {n} \ delta _ {rs}] = 0}$ C'est une équation d'ordre dans , et a des racines. Pour chaque racine , nous avons une valeur de , disons, . Maintenant, le ket ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle b_ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle b_ {n} = b_ {n} ^ {(k)}, k = 1,2, ... g}$${\ displaystyle d_ {r}}$${\ displaystyle d_ {r} ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle | \ phi _ {n} ^ {(k)} \ rangle = \ sum _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} ^ {(k)} | \ psi _ {nr} \ rangle }$ est simultanément un marché propre de et avec des valeurs propres et respectivement. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n} ^ {(k)}}$

Discussion

Nous considérons les deux observables ci-dessus et . Supposons qu'il existe un ensemble complet de kets dont chaque élément est simultanément un marché propre de et . Ensuite, nous disons cela et sommes compatibles . Si on note les valeurs propres de et correspondant respectivement à et par et , on peut écrire ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ {| \ psi _ {n} \ rangle \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

${\ displaystyle A | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}$

Si le système se trouve dans l'un des états propres, disons, alors les deux et peuvent être mesurés simultanément à n'importe quel niveau de précision arbitraire, et nous obtiendrons les résultats et respectivement. Cette idée peut être étendue à plus de deux observables. ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Exemples d'observables compatibles

Les composants cartésiens de l'opérateur de position sont , et . Ces composants sont tous compatibles. De même, les composantes cartésiennes de l'opérateur momentum , c'est-à- dire et sont également compatibles. ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle p_ {x}}$${\ displaystyle p_ {y}}$${\ displaystyle p_ {z}}$

Définition formelle

Un ensemble d'observables est appelé CSCO si: ${\ Displaystyle A, B, C ...}$

1. Tous les observables font la navette par paires.
2. Si nous spécifions les valeurs propres de tous les opérateurs du CSCO, nous identifions un vecteur propre unique dans l'espace de Hilbert du système.

Si on nous donne un CSCO, on peut choisir une base pour l'espace d'états fait de vecteurs propres communs des opérateurs correspondants. Nous pouvons identifier de manière unique chaque vecteur propre par l'ensemble de valeurs propres auquel il correspond.

Discussion

Disons avoir un opérateur d'une observable , qui a toutes les valeurs propres non dégénérées . En conséquence, il existe un état propre unique correspondant à chaque valeur propre, ce qui nous permet de les étiqueter par leurs valeurs propres respectives. Par exemple, l'état propre de correspondant à la valeur propre peut être étiqueté comme . Un tel observable est lui-même un CSCO autosuffisant. ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle | a_ {n} \ rangle}$

Cependant, si certaines des valeurs propres de sont dégénérées (comme avoir des niveaux d'énergie dégénérés ), alors le résultat ci-dessus ne tient plus. Dans un tel cas, il faut distinguer les fonctions propres correspondant à la même valeur propre. Pour ce faire, une deuxième observable est introduite (appelons ça ), qui est compatible avec . Le théorème de compatibilité nous dit qu'une base commune de fonctions propres de et peut être trouvée. Or, si chaque paire de valeurs propres spécifie de manière unique un vecteur d'état de cette base, nous prétendons avoir formé un CSCO: l'ensemble . La dégénérescence en est complètement supprimée. ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}$${\ displaystyle \ {A, B \}}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$

Il peut arriver, néanmoins, que la dégénérescence ne soit pas complètement levée. Autrement dit, il existe au moins une paire qui n'identifie pas de manière unique un vecteur propre. Dans ce cas, nous répétons le processus ci-dessus en ajoutant une autre observable , qui est compatible avec les deux et . Si la base de fonctions propres communes de , et est unique, qui est, unique spécifié par l'ensemble des valeurs propres , nous avons formé un CSCO: . Sinon, nous ajoutons une autre observable compatible et continuons le processus jusqu'à ce qu'un CSCO soit obtenu. ${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ hat {A}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}}}$${\ displaystyle {\ hat {C}}}$${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n}, c_ {n})}$${\ displaystyle \ {A, B, C \}}$

Le même espace vectoriel peut avoir des ensembles complets distincts d'opérateurs de navettage.

Supposons qu'on nous donne un CSCO fini . Ensuite, nous pouvons étendre n'importe quel état général dans l'espace de Hilbert comme ${\ Displaystyle \ {A, B, C, ..., \}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i, j, k, ...} {\ mathcal {C}} _ ​​{i, j, k, ...} | a_ {i}, b_ { j}, c_ {k}, ... \ rangle}$

où sont les paniers propres des opérateurs , et forment un espace de base. C'est-à-dire, ${\ displaystyle | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {A}}, {\ hat {B}}, {\ hat {C}}}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle = a_ {i} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k }, ... \ rangle}$ , etc

Si nous mesurons dans l'état, la probabilité que nous mesurons simultanément est donnée par . ${\ Displaystyle A, B, C, ...}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ...}$${\ displaystyle | {\ mathcal {C}} _ ​​{i, j, k, ...} | ^ {2}}$

Pour un ensemble complet d'opérateurs de navettage, nous pouvons trouver une transformation unitaire unique qui les diagonalisera tous simultanément . S'il y a plus d'une telle transformation unitaire, alors nous pouvons dire que l'ensemble n'est pas encore complet.

Exemples

L'atome d'hydrogène

Deux composants de l'opérateur de moment angulaire ne commutent pas, mais satisfont les relations de commutation: ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

Ainsi, tout CSCO ne peut pas impliquer plus d'un composant de . On peut montrer que le carré de l'opérateur moment cinétique,, commute avec . ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle [L_ {x}, L ^ {2}] = 0, [L_ {y}, L ^ {2}] = 0, [L_ {z}, L ^ {2}] = 0}$

De plus, l' hamiltonien est une fonction de seulement et a une invariance de rotation, où est la masse réduite du système. Puisque les composants de sont des générateurs de rotation, on peut montrer que ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} - {\ frac {Ze ^ {2}} {r}} }$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle [\ mathbf {L}, H] = 0, [L ^ {2}, H] = 0}$

Par conséquent, un ensemble de navettage se compose d' un composant de (qui est considéré comme étant ) et . La solution du problème nous dit que sans tenir compte du spin des électrons, l'ensemble forme un CSCO. Soit n'importe quel état de base dans l'espace de Hilbert de l'atome d'hydrogène. Puis ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ {H, L ^ {2}, L_ {z} \}}$${\ displaystyle | E_ {n}, l, m \ rangle}$

${\ displaystyle H | E_ {n}, l, m \ rangle = E_ {n} | E_ {n}, l, m \ rangle}$

${\ displaystyle L ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle = l (l + 1) \ hbar ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle}$

${\ displaystyle L_ {z} | E_ {n}, l, m \ rangle = m \ hbar | E_ {n}, l, m \ rangle}$

Autrement dit, l'ensemble des valeurs propres ou, plus simplement, spécifie complètement un état propre unique de l'atome hydrogène. ${\ displaystyle \ {E_ {n}, l, m \}}$${\ Displaystyle \ {n, l, m \}}$

La particule libre

Pour une particule libre , l'hamiltonien est invariant sous les traductions. Permute de traduction avec le hamiltonien: . Cependant, si nous exprimons l'hamiltonien dans la base de l'opérateur de traduction, nous trouverons qu'il a des valeurs propres doublement dégénérées. On peut montrer que pour faire le CSCO dans ce cas, nous avons besoin d'un autre opérateur appelé l' opérateur de parité , tel que . forme un CSCO. ${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}}$${\ displaystyle [H, \ mathbf {\ hat {T}}] = 0}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle [H, \ Pi] = 0}$${\ displaystyle \ {H, \ Pi \}}$

Encore une fois, soit et soit les états propres dégénérés de la valeur propre correspondante , c'est-à-dire ${\ displaystyle | k \ rangle}$${\ displaystyle | -k \ rangle}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H_ {k} = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}}}$

${\ displaystyle H | k \ rangle = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | k \ rangle}$

${\ displaystyle H | -k \ rangle = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | -k \ rangle}$

La dégénérescence en est supprimée par l'opérateur momentum . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} | k \ rangle = k | k \ rangle}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} | -k \ rangle = -k | -k \ rangle}$

Alors, forme un CSCO. ${\ displaystyle \ {\ mathbf {\ hat {p}}, H \}}$

Ajout de moment cinétique

Nous considérons le cas de deux systèmes, 1 et 2, avec des opérateurs de moment cinétique et respectifs . On peut écrire les états propres de et comme et de et comme . ${\ displaystyle \ mathbf {J_ {1}}}$${\ displaystyle \ mathbf {J_ {2}}}$${\ displaystyle J_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {1z}}$${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle}$${\ displaystyle J_ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {2z}}$${\ displaystyle | j_ {2} m_ {2} \ rangle}$

${\ displaystyle J_ {1} ^ {2} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = j_ {1} (j_ {1} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1} m_ {1} \ rangle}$

${\ displaystyle J_ {1z} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = m_ {1} \ hbar | j_ {1} m_ {1} \ rangle}$

${\ displaystyle J_ {2} ^ {2} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = j_ {2} (j_ {2} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {2} m_ {2} \ rangle}$

${\ displaystyle J_ {2z} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = m_ {2} \ hbar | j_ {2} m_ {2} \ rangle}$

Ensuite, les états de base du système complet sont donnés par ${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle}$

${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle = | j_ {1} m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} m_ {2} \ rangle}$

Par conséquent, pour le système complet, l'ensemble des valeurs propres spécifie complètement un état de base unique et forme un CSCO. De manière équivalente, il existe un autre ensemble d'états de base pour le système, en termes d'opérateur de moment cinétique total . Les valeurs propres de sont où prend les valeurs , et celles de sont où . Les états de base des opérateurs et sont . Ainsi, nous pouvons également spécifier un état de base unique dans l'espace de Hilbert du système complet par l'ensemble des valeurs propres , et le CSCO correspondant est . ${\ displaystyle \ {j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2} \}}$${\ displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {1z}, J_ {2} ^ {2}, J_ {2z} \}}$${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J_ {1}} + \ mathbf {J_ {2}}}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle j (j + 1) \ hbar ^ {2}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1, ..., | j_ {1} -j_ {2} |}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle m = -j, -j + 1, ... j-1, j}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle | j_ {1} j_ {2}; jm \ rangle}$${\ displaystyle \ {j_ {1}, j_ {2}, j, m \}}$${\ displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {2} ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z} \}}$

Voir également

• Nombre quantique
  • Bon nombre quantique
• Niveaux d'énergie dégénérés
• Structure mathématique de la mécanique quantique
• Opérateurs en mécanique quantique
• Relation de commutation canonique
• Mesure en mécanique quantique
• Effondrement de la fonction d'onde
• Moment angulaire (mécanique quantique)

Les références

• Gasiorowicz, Stephen (1974), Physique quantique , New York: John Wiley & Sons , ISBN   978-0-471-29281-4 .
• Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mécanique quantique . 1 . New York: Wiley. ISBN   978-0-471-16433-3 . OCLC   2089460 .
• Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mécanique quantique . 2 . New York: Wiley. ISBN   978-0-471-16435-7 . OCLC   45727993 .
• Dirac, PAM (1958). Les principes de la mécanique quantique . Oxford: Clarendon Press. ISBN   978-0-19-851208-0 . OCLC   534829 .
• RP Feynman, RB Leighton et M. Sands: Les conférences Feynman sur la physique , Addison-Wesley, 1965
• R Shankar, Principes de la mécanique quantique , deuxième édition, Springer (1994).
• JJ Sakurai, Mécanique quantique moderne , édition révisée, Pearson (1994).
• BH Bransden et CJ Joachain, Quantum Mechanics , deuxième édition, Pearson Education Limited, 2000.
• Pour une discussion sur le théorème de compatibilité, Notes de cours de l' école de physique et d'astronomie de l'Université d'Édimbourg. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf .
• Une diapositive sur CSCO dans les notes de cours du professeur S Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• Une section sur la particule libre dans les notes de cours du professeur S Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf