Tore complexe - Complex torus

En mathématiques , un tore complexe est un type particulier de variété complexe M dont la variété lisse sous-jacente est un tore au sens habituel (c'est-à-dire le produit cartésien d'un nombre N de cercles ). Ici, N doit être le nombre pair 2 n , où n est la dimension complexe de M .

Toutes ces structures complexes peuvent être obtenues comme suit : prenons un réseau Λ dans un espace vectoriel V isomorphe à C ⁿ considéré comme un espace vectoriel réel ; alors le groupe quotient

est une variété complexe compacte. Tous les tores complexes, jusqu'à l'isomorphisme, sont obtenus de cette manière. Pour n = 1 , il s'agit de la construction classique en treillis de la période des courbes elliptiques . Pour n > 1, Bernhard Riemann a trouvé les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tore complexe soit une variété algébrique ; celles qui sont des variétés peuvent être intégrées dans un espace projectif complexe , et ce sont les variétés abéliennes .

Les plongements projectifs réels sont compliqués (voir équations définissant les variétés abéliennes ) lorsque n > 1, et sont vraiment coextensifs avec la théorie des fonctions thêta de plusieurs variables complexes (à module fixe). Il n'y a rien d'aussi simple que la description d'une courbe cubique pour n = 1. Le calcul formel peut assez bien traiter les cas pour n petit . D'après le théorème de Chow , aucun tore complexe autre que les variétés abéliennes ne peut « s'insérer » dans l'espace projectif .

Définition

Une façon de définir les tores complexes est comme un groupe de Lie complexe connexe compact . Ce sont des groupes de Lie où les cartes de structure sont des cartes holomorphes de variétés complexes. Il s'avère que tous ces groupes de Lie connexes compacts sont commutatifs et isomorphes à un quotient de leur algèbre de Lie dont l'application couvrante est l'application exponentielle d'une algèbre de Lie à son groupe de Lie associé. Le noyau de cette carte est un treillis et . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{0}G}$${\displaystyle \Lambda \subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U}$

Inversement, étant donné un espace vectoriel complexe et un réseau de rang maximal, la variété complexe quotient a une structure de groupe de Lie complexe, et est également compacte et connexe. Cela implique que les deux définitions des tores complexes sont équivalentes. ${\style d'affichage V}$${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$${\displaystyle V/\Lambda }$

Matrice de périodes d'un tore complexe

Une façon de décrire un tore complexe ^{pg 9} consiste à utiliser une matrice dont les colonnes correspondent à une base du réseau développé à l'aide d'une base de . C'est-à-dire que nous écrivons${\style d'affichage g\fois 2g}$${\style d'affichage \Pi }$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{g}}$${\style d'affichage V}$

doncOn peut alors écrire le tore sous la forme${\displaystyle X=V/\Lambda }$Si on va dans le sens inverse en sélectionnant une matrice , elle correspond à une matrice de période si et seulement si la matrice correspondante construite en adjoignant la matrice conjuguée complexe à , donc${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)}$${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)}$${\displaystyle {\overline {\Pi }}}$${\style d'affichage \Pi }$est non singulier . Cela garantit que les vecteurs colonnes de span un treillis dans doivent donc être des vecteurs linéairement indépendants sur . ${\style d'affichage \Pi }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Exemple

Pour un tore complexe à deux dimensions, il a une matrice de période de la forme

par exemple, la matriceforme une matrice de période puisque la matrice de période associée a le déterminant 4.

Matrice de période normalisée

Pour tout tore complexe de dimension il a une matrice de période de la forme${\displaystyle X=V/\Lambda }$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage \Pi }$

où est la matrice identité et où . Nous pouvons obtenir cela en prenant un changement de base de l'espace vectoriel donnant une matrice de blocs de la forme ci-dessus. La condition pour découle de l'examen de la -matrice correspondante${\style d'affichage 1_{g}}$${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$${\style d'affichage P}$puisqu'il doit s'agir d'une matrice non singulière. C'est parce que si nous calculons le déterminant de la matrice de blocs, c'est simplementce qui donne l'implication.

Exemple

Par exemple, nous pouvons écrire une matrice de période normalisée pour un tore complexe à 2 dimensions comme

un tel exemple est la matrice de période normaliséepuisque le déterminant de est non nul, égal à . ${\displaystyle {\text{Im}}(Z)}$${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Matrices de périodes des variétés abéliennes

Pour obtenir une matrice de période qui donne une variété complexe projective, donc une variété algébrique, la matrice de période doit satisfaire davantage les relations bilinéaires de Riemann .

Homomorphismes de tores complexes

Si on a des tores complexes et de dimensions alors un homomorphisme ^{pg 11} de tores complexes est une fonction${\displaystyle X=V/\Lambda }$${\displaystyle X'=V'/\Lambda '}$${\style d'affichage g,g'}$

de telle sorte que la structure du groupe soit préservée. Cela a un certain nombre de conséquences, telles que chaque homomorphisme induit une carte de leurs espaces de couverturece qui est compatible avec leurs cartes de couverture. De plus, parce qu'induit un homomorphisme de groupe, il doit se restreindre à un morphisme des réseaux${\style d'affichage F}$Il existe notamment des injectionset qui s'appellent les représentations analytiques et rationnelles de l'espace des homomorphismes. Ceux-ci sont utiles pour déterminer certaines informations sur l'anneau d'endomorphisme qui a une dimension rationnelle . ${\displaystyle \rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')}$${\displaystyle {\text{Fin}}(X)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle m\leq 4gg'}$

Cartes holomorphes de tores complexes

La classe des applications homomorphes entre tores complexes a une structure très simple. Bien sûr, chaque homomorphisme induit une carte holomorphe, mais chaque carte holomorphe est la composition d'un type particulier de carte holomorphe avec un homomorphisme. Pour un élément, nous définissons la carte de traduction${\displaystyle x_{0}\in X}$

envoi Alors, si est une application holomorphe entre tores complexes , il existe un unique homomorphisme tel que${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage X,X'}$${\style d'affichage f:X\à X'}$montrant que les cartes holomorphes ne sont pas beaucoup plus grandes que l'ensemble des homomorphismes des tores complexes.

Isogénies

Une classe distincte d'homomorphismes de tores complexes est appelée isogénie. Ce sont des endomorphismes de tores complexes avec un noyau non nul. Par exemple, si on laisse être un entier, alors il y a une application associée${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$

envoi qui a un noyau${\displaystyle x\mapsto nx}$isomorphe à . ${\style d'affichage \Lambda /n\Lambda }$

Tores complexes isomorphes

Il existe un isomorphisme des structures complexes sur l'espace vectoriel réel et l'ensemble${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$

et les tores isomorphes peuvent être donnés par un changement de base de leurs réseaux, d'où une matrice en . Cela donne l'ensemble des classes d'isomorphisme des tores complexes de dimension , , comme l' espace coset double${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$Notez qu'en tant que variété réelle, cela a une dimensionceci est important lorsque l'on considère les dimensions des modules des variétés abéliennes , ce qui montre qu'il existe des tores beaucoup plus complexes que les variétés abéliennes.

Faisceaux de lignes et formes automorphes

Pour les variétés complexes , en particulier les tores complexes, il existe une construction ^{pg 571} reliant les fibrés holomorphes dont le pullback est trivial en utilisant la cohomologie de groupe de . Heureusement pour les tores complexes, chaque faisceau de lignes complexes devient trivial puisque . ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage L\à X}$${\displaystyle \pi ^{*}L\à {\tilde {X}}}$${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi ^{*}L}$${\displaystyle {\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}}$

Facteurs d'automorphie

A partir du premier groupe de cohomologie de groupe

nous rappelons comment ses éléments peuvent être représentés. Puisqu'il agit sur il y a une action induite sur l'ensemble de ses gerbes, donc sur${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$L' action peut alors être représentée comme une carte holomorphe . Cette application satisfait la condition de cocycle si${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$pour chaque et . Le groupe abélien des 1-cocycles est appelé groupe des facteurs d'automorphie . Notez que de telles fonctions sont aussi simplement appelées facteurs . ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$${\style d'affichage f}$

Sur tores complexes

Pour les tores complexes, ces fonctions sont données par les fonctions${\style d'affichage f}$

$${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}}$$

qui suivent la condition de cocycle. Ce sont des fonctions automorphes , plus précisément les fonctions automorphes utilisées dans les lois de transformation pour les fonctions thêta . De plus, une telle carte peut être écrite comme

$${\displaystyle f=\exp(2\pi i\cdot g)}$$

pour

$${\displaystyle g:V\times \Lambda \to \mathbb {C} }$$

ce qui est utile pour calculer les invariants liés au faisceau de lignes associé.

Faisceaux de droites à partir de facteurs d'automorphie

Étant donné un facteur d'automorphie, nous pouvons définir un fibré de droites comme suit : le fibré de droites trivial a une -action donnée par${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$

pour le facteur . Puisque cette action est libre et proprement discontinue, le faisceau quotient${\style d'affichage f}$

$${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$

est une variété complexe. De plus, la projection induite par la projection de couverture . Cela donne une carte${\displaystyle p:L\à X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^ {1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

qui induit un isomorphisme

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker (H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\à H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{ \tilde {X}}^{*}))}$$

donnant le résultat souhaité.

Pour tores complexes

Dans le cas des tores complexes, on a donc un isomorphisme${\displaystyle H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0}$

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^ {1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

représentant des faisceaux de lignes sur des tores complexes sous forme de 1-cocyles dans la cohomologie de groupe associée. Il est typique d'écrire le groupe comme la définition du réseau , d'où${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\style d'affichage \Lambda }$${\style d'affichage X}$

$${\displaystyle H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$$

contient les classes d'isomorphisme des fibrés de droites sur . ${\style d'affichage X}$

Première classe chern de faisceaux de lignes sur des tores complexes

De la suite exacte exponentielle

$${\displaystyle 0\à \mathbb {Z} \à {\mathcal {O}}_{X}\à {\mathcal {O}}_{X}^{*}\à 0}$$

le morphisme de connexion

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

est la première carte de classe Chern , envoyant une classe d'isomorphisme d'un faisceau de lignes à sa première classe Chern associée. Il s'avère qu'il existe un isomorphisme entre et le module de formes alternées sur le réseau , . Par conséquent, peut être considéré comme une forme 2 à valeurs alternées sur . Si a facteur d'automorphie alors la forme alternative peut être exprimée comme${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage c_{1}(L)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\style d'affichage E_{L}}$${\style d'affichage \Lambda }$${\style d'affichage L}$${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$

$${\displaystyle E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v) }$$

pour et . ${\displaystyle \mu ,\lambda \in \Lambda }$${\style d'affichage v\dans V}$

Exemple

Pour une matrice de période normalisée

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$

développé en utilisant la base standard de nous avons les vecteurs colonnes définissant le réseau . Alors, toute forme alternative sur est de la forme${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$${\style d'affichage E_{L}}$${\style d'affichage \Lambda }$

$${\displaystyle E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4 ,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3 }&0\end{pmatrix}}}$$

où un certain nombre de conditions de compatibilité doivent être remplies.

Sections de faisceaux de lignes et fonctions thêta

Pour un fibré de droites donné par un facteur d'automorphie , so et , il existe un faisceau de sections associé où${\style d'affichage L}$${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text { holomorphe avec }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^ {-1}(U)\end{matrice}}\right\}}$$

avec ouvert. Ensuite, évalué sur des sections globales, c'est l'ensemble des fonctions holomorphes telles que${\displaystyle U\sous-ensemble X}$${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$

qui sont exactement les fonctions thêta sur le plan. Inversement, ce processus peut se faire à l'envers où le facteur automorphe dans la fonction thêta est en fait le facteur d'automorphie définissant un fibré linéaire sur un tore complexe.

Formes hermitiennes et théorème d'Appell-Humbert

Voir aussi : théorème d'Appell-Humbert

Pour la forme 2-valuée alternée associée au faisceau de lignes , elle peut être étendue pour être valorisée. Ensuite, il s'avère que toute forme alternative valorisée satisfaisant aux conditions suivantes ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\style d'affichage E_{L}}$${\style d'affichage L\à X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E:V\times V\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$
2. ${\style d'affichage E(iv,iw)=E(v,w)}$ pour toute ${\displaystyle v,w\in V}$

est l'extension d'une première classe Chern d'un faisceau de lignes . De plus, il existe une forme hermitienne associée satisfaisant ${\style d'affichage c_{1}(L)}$${\style d'affichage L\à X}$${\displaystyle H:V\times V\à ​​\mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle {\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\style d'affichage H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

pour tout . ${\displaystyle v,w\in V}$

Groupe Néron-Severi

Voir aussi : groupe Néron-Severi

Pour un tore complexe, nous pouvons définir le groupe

Neron-Serveri comme le groupe des formes hermitiennes sur avec${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\style d'affichage NS(X)}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage V}$

$${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$

De manière équivalente, c'est l'image de l'homomorphisme

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

de la première classe de Chern. On peut aussi l'identifier au groupe des formes alternées à valeurs réelles alternées sur tel que . ${\style d'affichage E}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Exemple de forme hermitienne sur une courbe elliptique

Pour une courbe elliptique donnée par le réseau où nous pouvons trouver la forme intégrale en regardant une matrice alternative générique et en trouvant les conditions de compatibilité correctes pour qu'elle se comporte comme prévu. Si nous utilisons la base standard de comme espace vectoriel réel (donc ), alors nous pouvons écrire une matrice alternative ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage x_{1},y_{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$

et calculer les produits associés sur les vecteurs associés à . Ceux-ci sont ${\style d'affichage 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot { \begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\ end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Ensuite, en prenant les produits scalaires (avec le produit scalaire standard) de ces vecteurs avec les vecteurs que nous obtenons ${\style d'affichage 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{ pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2} \\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}= e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\ \-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$

donc si , alors ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\sous-ensemble \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

Nous pouvons alors vérifier directement , ce qui est vrai pour la matrice ci-dessus. Pour un fixe , nous écrirons la forme intégrale sous la forme . Ensuite, il y a une forme hermitienne associée${\style d'affichage E(v,w)=E(iv,iw)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage E_{a}}$

$${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$

donné par

$${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

où ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Paires de demi-caractères pour les formes hermitiennes

Pour une forme hermitienne, un demi-caractère est une carte${\style d'affichage H}$

$${\displaystyle \chi :\Lambda \to U(1)}$$

tel que

$${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$

la carte se comporte donc comme un personnage déformé par la forme hermitienne. Notez que si est l'élément zéro dans , il correspond donc au faisceau de lignes trivial , alors les demi-caractères associés sont le groupe de caractères sur . Il s'avérera que cela correspond au groupe de faisceaux de degrés sur , ou de manière équivalente, à son double tore, qui peut être vu en calculant le groupe de caractères${\displaystyle \chi }$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage NS(X)}$${\displaystyle \mathbb {C} \fois X\à X}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$

dont les éléments peuvent être factorisés comme des cartes

${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$

montrer un caractère est de la forme

${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$

pour un vecteur de réseau double fixe . Cela donne l'isomorphisme${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$

du jeu de caractères avec un vrai tore. L'ensemble de toutes les paires de demi-caractères et de leur forme hermitienne associée , ou

paires de demi-caractères , forme un groupe où${\style d'affichage (\chi ,H)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$

$${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$

Cette structure de groupe vient de l'application de la loi de commutation précédente pour les demi-caractères au nouveau demi-caractère :${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}( \lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu ) \exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu )) \\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_ {1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$

Il s'avère que ce groupe surjecte sur et a kernel , donnant une courte séquence exacte${\style d'affichage NS(X)}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$

$${\displaystyle 1\à {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\à {\mathcal {P}}(\Lambda )\à NS(X)\à 1}$$

Cette surjection peut être construite en associant à chaque paire de demi-caractères un faisceau de lignes . ${\style d'affichage L(H,\chi )}$

Paires de demi-caractères et faisceaux de lignes

Pour une paire de demi-caractères, nous pouvons construire un 1-cocycle sur une carte${\style d'affichage (H,\chi )}$${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$${\style d'affichage \Lambda }$

$${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$

défini comme

$${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (v)\exp(\pi H(v,\lambda )+\pi /2H(\lambda ,\lambda ))}$$

La relation de cocycle

$${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$

peut être facilement vérifié par calcul direct. Par conséquent, le cocycle détermine un faisceau de droites

$${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$

où l' action sur est donnée par${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$

Notez que cette action peut être utilisée pour montrer que les sections du faisceau de lignes sont données par les fonctions thêta avec le facteur d'automorphie . Parfois, cela s'appelle le facteur canonique d'automorphie pour . Notez que parce que chaque fibré de droite a une forme hermitienne associée et qu'un demi-caractère peut être construit en utilisant le facteur d'automorphie pour , nous obtenons une surjection${\style d'affichage L(H,\chi )}$${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L\à X}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage L}$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$

De plus, il s'agit d'un homomorphisme de groupe à noyau trivial. Ces faits peuvent tous être résumés dans le diagramme commutatif suivant

$${\displaystyle {\begin{matrice}1&\à &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\à &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\à &NS(X )&\à 0\\&&\flèche bas &&\flèche bas &&\flèche bas \\1&\à &{\text{Pic}}^{0}(X)&\à &{\text{Pic}}(X) &\à &{\text{NS}}(X)&\à 0\end{matrice}}}$$

où les flèches verticales sont des isomorphismes, ou égalité. Ce diagramme est généralement appelé le théorème d'Appell-Humbert .

Tore double complexe

Voir aussi : Paquet de Poincaré et Variété double abélienne

Comme mentionné précédemment, un caractère sur le réseau peut être exprimé comme une fonction

${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$

pour un vecteur double fixe . Si nous voulons mettre une structure complexe sur le vrai tore de tous les personnages, nous devons commencer par un espace vectoriel complexe qui s'y plonge. Il s'avère que l'espace vectoriel complexe${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$${\displaystyle \Lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$

des applications antilinéaires complexes , est isomorphe à l'espace vectoriel dual réel , qui fait partie de la factorisation pour l'écriture des caractères. De plus, il existe un réseau associé${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}}$

appelé le double réseau de . Ensuite, nous pouvons former le

tore complexe dual${\style d'affichage \Lambda }$

${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}}$

qui a la propriété spéciale que ce dual du tore complexe dual est le tore complexe original. De plus, à partir de la discussion ci-dessus, nous pouvons identifier le tore complexe dual avec le groupe de Picard de${\style d'affichage X}$

${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)}$

en envoyant un double vecteur anti-linéaire à${\style d'affichage l}$

${\displaystyle l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )}$

donner la carte

${\displaystyle {\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$

qui prend en compte le double tore complexe. Il existe d'autres constructions du tore complexe dual utilisant des techniques de la théorie des variétés abéliennes ^{pg 123-125} . Essentiellement, en prenant un fibré linéaire sur un tore complexe (ou variété abélienne) , il existe un sous-ensemble fermé de défini comme les points où leurs traductions sont invariantes, c'est-à-dire${\style d'affichage L}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage K(L)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\dans X}$

${\displaystyle T_{x}^{*}(L)\cong L}$

Ensuite, le tore complexe dual peut être construit comme

${\displaystyle {\hat {X}} :=X/K(L)}$

en le présentant comme une isogénie. On peut montrer que la définition de cette façon satisfait les propriétés universelles de , donc est en fait le tore complexe dual (ou variété abélienne). ${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$

Forfait Poincaré

A partir de la construction du tore complexe dual, il est suggéré qu'il devrait exister un fibré linéaire sur le produit du tore et de son dual qui peut être utilisé pour présenter toutes les classes d'isomorphisme de fibré linéaire de degré 0 sur . Nous pouvons encoder ce comportement avec les deux propriétés suivantes ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$pour tout point donnant le faisceau de droites${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$${\style d'affichage L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$ est un faisceau de lignes triviales

où la première est la propriété discutée ci-dessus, et la seconde agit comme une propriété de normalisation. On peut construire en utilisant la forme hermitienne suivante${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H( (v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2 })\end{matrice}}}$

et le demi-caractère

${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}}$

pour . L'affichage de ces données construit un faisceau de lignes avec les propriétés souhaitées découle de l'examen du facteur canonique associé de , et de l'observation de son comportement à diverses restrictions. ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage (H,\chi )}$

Voir également

• Forfait Poincaré
• Groupe Mensonge complexe
• Fonction automorphe
• Jacobien intermédiaire
• Fonction gamma elliptique

Les références

• Birkenhake, Christine ; Lange, Herbert (1999), Complex tori , Progress in Mathematics, 177 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, MR  1713785

Tores complexes en 2 dimensions

• est une surface abélienne isomorphe ou isogène à un produit de courbes elliptiques ? - Donne des outils pour trouver des tores complexes qui ne sont pas des variétés abéliennes
• surfaces et produits de courbes elliptiques

Gerbes sur tores complexes

• Gerbes et le Holomorphic Brauer Group of Complex Tori - Étend l'idée d'utiliser des formes alternées sur le réseau pour construire des gerbes sur un tore complexe${\displaystyle {\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$
• Dualité Mukai pour gerbes avec connexion - comprend des exemples de gerbes sur des tores complexes
• Gerbes équivariants sur tores complexes
• Un Gerbe pour la fonction gamma elliptique - pourrait être étendu aux tores complexes

tores p-adiques

• Intégrales abéliennes p-adiques : de la théorie à la pratique