Faisceau de lignes - Line bundle

En mathématiques , un faisceau de lignes exprime le concept d'une ligne qui varie d'un point à l'autre d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan ayant une ligne tangente à chaque point détermine une ligne variable : le faisceau tangent est une manière de les organiser. Plus formellement, en topologie algébrique et en topologie différentielle, un fibré linéaire est défini comme un fibré vectoriel de rang 1.

Les faisceaux de lignes sont spécifiés en choisissant un espace vectoriel à une dimension pour chaque point de l'espace de manière continue. Dans les applications topologiques, cet espace vectoriel est généralement réel ou complexe. Les deux cas ont un comportement fondamentalement différent en raison des différentes propriétés topologiques des espaces vectoriels réels et complexes: Si l'origine est retirée de la ligne réelle, alors le résultat est l'ensemble des 1 × 1 inversible matrices réelles, qui est homotopie -équivalent à un espace discret à deux points en contractant les réels positifs et négatifs chacun à un point ; alors que la suppression de l'origine du plan complexe donne les matrices complexes inversibles 1 × 1, qui ont le type d'homotopie d'un cercle.

Du point de vue de la théorie de l' homotopie , un faisceau de lignes réel se comporte donc à peu près de la même manière qu'un faisceau de fibres avec une fibre à deux points, c'est-à-dire comme une double couverture . Un cas particulier de ceci est la double couverture orientable d'une variété différentiable , où le fibré de droite correspondant est le fibré déterminant du fibré tangent (voir ci-dessous). La bande de Möbius correspond à une double couverture du cercle (la cartographie θ → 2θ) et en changeant de fibre, peut également être considérée comme ayant une fibre à deux points, l' intervalle unitaire en tant que fibre, ou la ligne réelle.

Les faisceaux de lignes complexes sont étroitement liés aux faisceaux de cercles . Il y en a de célèbres, par exemple les fibrations de Hopf de sphères à sphères.

En géométrie algébrique , un faisceau inversible (c'est-à-dire un faisceau localement libre de rang un) est souvent appelé fibré linéaire .

Chaque faisceau de lignes provient d'un diviseur avec les conditions suivantes

(I) Si X est un schéma réduit et irréductible, alors chaque fibré de droites provient d'un diviseur.

(II) Si X est un schéma projectif, alors la même affirmation est vraie.

Le faisceau tautologique sur l'espace projectif

Article principal: faisceau de lignes tautologiques

L'un des faisceaux de droites les plus importants en géométrie algébrique est le faisceau de droites tautologiques sur l'espace projectif . La projectivisation P ( V ) d' un espace vectoriel V sur un corps k est définie comme le quotient de par l' action du groupe multiplicatif k × . Chaque point de P ( V ) correspond donc à une copie de k × , et ces copies de k × peuvent être assemblées en un k × -faisceau sur P ( V ). k × ne diffère de k que par un seul point, et en joignant ce point à chaque fibre, on obtient un fibré de droites sur P ( V ). Ce faisceau de lignes est appelé faisceau de lignes tautologique . Ce faisceau de lignes est parfois noté car il correspond au dual de la gerbe de torsion de Serre .

Cartes vers l'espace projectif

Supposons que X est un espace et que L est un fibré linéaire sur X . Une section globale de L est une fonction s : X → L telle que si p : L → X est la projection naturelle, alors ps = id X . Dans un petit voisinage U dans X dans lequel L est trivial, l'espace total du fibré de droites est le produit de U et du corps sous-jacent k , et la section s se restreint à une fonction U → k . Cependant, les valeurs de s dépendent du choix de la banalisation, et donc elles ne sont déterminées qu'à multiplication par une fonction nulle part nulle.

Les sections globales déterminent les cartes aux espaces projectifs de la manière suivante : Choisir r + 1 pas tous les points zéro dans une fibre de L choisit une fibre du fibré de droites tautologiques sur P r , donc choisir r + 1 sections globales non nulles simultanément de L détermine une application de X dans l'espace projectif P r . Cette carte envoie les fibres de L aux fibres du dual du faisceau tautologique. Plus précisément, supposons que s 0 , ..., s r sont des sections globales de L . Dans un petit voisinage U dans X , ces sections déterminent des fonctions k- valuées sur U dont les valeurs dépendent du choix de banalisation. Cependant, ils sont déterminés jusqu'à la multiplication simultanée par une fonction non nulle, donc leurs rapports sont bien définis. C'est-à-dire que sur un point x , les valeurs s 0 ( x ), ..., s r ( x ) ne sont pas bien définies car un changement de banalisation les multipliera chacune par une constante λ non nulle. Mais il les multipliera par la même constante , donc les coordonnées homogènes [ s 0 ( x ) : ... : s r ( x )] sont bien définies tant que les sections s 0 , ..., s r ne disparaissent pas simultanément en x . Par conséquent, si les sections ne s'annulent jamais simultanément, elles déterminent une forme [ s 0  : ... : s r ] qui donne une application de X à P r , et le pullback du dual du fibré tautologique sous cette application est L . L'espace projectif acquiert ainsi une propriété universelle .

La façon universelle de déterminer une application à l'espace projectif consiste à appliquer la projectivisation de l'espace vectoriel de toutes les sections de L . Dans le cas topologique, il y a une section non nulle à chaque point qui peut être construite à l'aide d'une fonction de bosse qui s'annule en dehors d'un petit voisinage du point. De ce fait, la carte résultante est définie partout. Cependant, le codomaine est généralement beaucoup, beaucoup trop gros pour être utile. L'inverse est vrai dans les contextes algébrique et holomorphe. Ici, l'espace des sections globales est souvent de dimension finie, mais il peut ne pas y avoir de sections globales non nulles en un point donné. (Comme dans le cas où cette procédure construit un crayon de Lefschetz .) En fait, il est possible qu'un faisceau n'ait aucune section globale non nulle ; c'est le cas pour le faisceau de lignes tautologiques. Lorsque le fibré de droites est suffisamment ample, cette construction vérifie le théorème de plongement de Kodaira .

Faisceaux déterminants

Voir aussi : métrique de Quillen § Faisceau de raies déterminantes d'une famille d'opérateurs

En général si V est un fibré vectoriel sur un espace X , de dimension de fibre constante n , la n- ième puissance extérieure de V prise fibre par fibre est un fibré de droites, appelé fibré de droites déterminant . Cette construction s'applique en particulier au fibré cotangent d'une variété lisse . Le fibré déterminant résultant est responsable du phénomène des densités tensorielles , dans le sens où pour une variété orientable elle a une section globale non nulle, et ses puissances tensorielles avec n'importe quel exposant réel peuvent être définies et utilisées pour « tordre » n'importe quel fibré vectoriel par tenseur produit .

La même construction (en prenant la puissance extérieure supérieure) s'applique à un module projectif de type fini M sur un domaine noethérien et le module inversible résultant est appelé module déterminant de M .

Classes caractéristiques, faisceaux universels et espaces de classification

La première classe Stiefel-Whitney classe les faisceaux de lignes réelles lisses ; en particulier, la collection de (classes d'équivalence de) fibrés de droites réelles est en correspondance avec des éléments de la première cohomologie à coefficients Z /2 Z ; cette correspondance est en fait un isomorphisme de groupes abéliens (les opérations de groupe étant le produit tensoriel des fibrés de droites et l'addition habituelle sur la cohomologie). De manière analogue, la première classe de Chern classe les fibrés de lignes complexes lisses sur un espace, et le groupe de fibrés de lignes est isomorphe à la deuxième classe de cohomologie avec des coefficients entiers. Cependant, les fibrés peuvent avoir des structures lisses équivalentes (et donc la même première classe de Chern) mais des structures holomorphes différentes. Les déclarations de la classe Chern sont facilement prouvées en utilisant la séquence exponentielle de faisceaux sur la variété.

On peut plus généralement envisager le problème de classification d'un point de vue homotopique-théorique. Il existe un bundle universel pour les faisceaux de lignes réelles et un bundle universel pour les faisceaux de lignes complexes. Selon la théorie générale sur la classification des espaces , l'heuristique consiste à rechercher des espaces contractibles sur lesquels il y a des actions de groupe des groupes respectifs C 2 et S 1 , qui sont des actions libres. Ces espaces peuvent servir de faisceaux principaux universels , et les quotients des actions d'espaces de classification BG . Dans ces cas, nous pouvons les trouver explicitement, dans les analogues de dimension infinie de l' espace projectif réel et complexe .

Par conséquent , la classification spatiale BC 2 est du type homotopy de RP ∞ , l'espace projectif réel donné par une suite infinie de coordonnées homogènes . Il transporte le faisceau de lignes réelles universel; en termes de théorie d'homotopie, cela signifie que tout fibré de droites réel L sur un complexe CW X détermine une application de classification de X à RP ∞ , faisant de L un fibré isomorphe au retrait du fibré universel. Cette application de classification permet de définir la classe de Stiefel-Whitney de L , dans la première cohomologie de X à coefficients Z /2 Z , à partir d'une classe standard sur RP ∞ .

De manière analogue, l'espace projectif complexe CP ∞ porte un fibré universel de droites complexes. Dans ce cas, les applications de classification donnent naissance à la première classe de Chern de X , dans H 2 ( X ) (cohomologie intégrale).

Il existe une autre théorie analogue avec les faisceaux de raies quaternioniques (dimension réelle quatre). Cela donne naissance à l'une des classes de Pontryagin , en cohomologie réelle à quatre dimensions.

De cette façon, les cas fondamentaux de la théorie des classes caractéristiques ne dépendent que des faisceaux de droites. Selon un principe général de division, cela peut déterminer le reste de la théorie (sinon explicitement).

Il existe des théories des faisceaux de droites holomorphes sur des variétés complexes et des faisceaux inversibles en géométrie algébrique , qui élaborent une théorie des faisceaux de droites dans ces domaines.

Voir également

Remarques

Les références