Différentiel (mathématiques) - Differential (mathematics)
En mathématiques , différentiel fait référence à des différences infinitésimales ou aux dérivées de fonctions. Le terme est utilisé dans diverses branches des mathématiques telles que le calcul , la géométrie différentielle , la géométrie algébrique et la topologie algébrique .
Notions de base
- En calcul , le différentiel représente un changement dans la linéarisation d'une fonction .
- Le différentiel total est sa généralisation pour les fonctions de plusieurs variables.
- Dans les approches traditionnelles du calcul, les différentiels (par exemple dx , dy , dt , etc.) sont interprétés comme des infinitésimales . Il existe plusieurs méthodes pour définir rigoureusement les infinitésimales, mais il suffit de dire qu'un nombre infinitésimal est plus petit en valeur absolue que tout nombre réel positif, tout comme un nombre infiniment grand est plus grand que n'importe quel nombre réel.
- Le différentiel est un autre nom pour la matrice jacobienne des dérivées partielles d'une fonction de R n à R m (surtout lorsque cette matrice est considérée comme une carte linéaire ).
- Plus généralement, le différentiel ou pushforward fait référence à la dérivée d'une carte entre les collecteurs lisses et les opérations pushforward qu'il définit. Le différentiel est également utilisé pour définir le double concept de pullback .
- Le calcul stochastique fournit une notion de différentiel stochastique et un calcul associé pour les processus stochastiques .
- L' intégrateur dans une intégrale de Stieltjes est représenté comme le différentiel d'une fonction. Formellement, le différentiel apparaissant sous l'intégrale se comporte exactement comme un différentiel: ainsi, les formules d' intégration par substitution et d' intégration par parties pour l'intégrale de Stieltjes correspondent, respectivement, à la règle de chaîne et à la règle de produit pour le différentiel.
Géométrie différentielle
La notion de différentiel motive plusieurs concepts de géométrie différentielle (et de topologie différentielle ).
- Le différentiel (Pushforward) d'une carte entre des variétés.
- Les formes différentielles fournissent un cadre qui permet la multiplication et la différenciation des différentiels.
- La dérivée extérieure est une notion de différenciation des formes différentielles qui généralise la différentielle d'une fonction (qui est une forme 1 différentielle ).
- Le pullback est, en particulier, un nom géométrique pour la règle de chaîne pour la composition d'une carte entre variétés avec une forme différentielle sur la variété cible.
- Les dérivées ou différentielles covariantes fournissent une notion générale de différenciation des champs vectoriels et des champs tensoriels sur une variété, ou, plus généralement, des sections d'un fibré vectoriel : voir Connexion (fibré vectoriel) . Cela conduit finalement au concept général de connexion .
Géométrie algébrique
Les différentiels sont également importants en géométrie algébrique , et il existe plusieurs notions importantes.
- Les différentiels abéliens signifient généralement des formes uniques différentielles sur une courbe algébrique ou une surface de Riemann .
- Les différentiels quadratiques (qui se comportent comme des «carrés» de différentiels abéliens) sont également importants dans la théorie des surfaces de Riemann.
- Les différentiels de Kähler fournissent une notion générale de différentiel en géométrie algébrique.
Autres significations
Le terme différentiel a également été adopté en algèbre homologique et en topologie algébrique, en raison du rôle que joue le dérivé extérieur dans la cohomologie de de Rham: dans un complexe cochain , les cartes (ou opérateurs coboundary ) d i sont souvent appelées différentielles. Dually, les opérateurs de frontière dans un complexe de chaîne sont parfois appelés codifférentiels .
Les propriétés du différentiel motivent également les notions algébriques d'une dérivation et d'une algèbre différentielle .
Références
Liens externes
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