Fonction digamma - Digamma function

En mathématiques , la fonction digamma est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma :

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\ Gamma (x)}}\sim \ln {x}-{\frac {1}{2x}}.}$

C'est la première des fonctions polygamma .

La fonction digamma est souvent notée ou Ϝ (la forme majuscule de la consonne grecque archaïque digamma signifiant double gamma ). ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

Relation avec les nombres harmoniques

La fonction gamma obéit à l'équation

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

La dérivée par rapport à z donne :

${\displaystyle \Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,}$

La division par Γ( z + 1) ou l'équivalent z Γ( z ) donne :

${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}}$

ou alors:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Puisque les nombres harmoniques sont définis pour les entiers positifs n comme

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

la fonction digamma leur est liée par

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

où H ₀ = 0, et γ est la constante d' Euler-Mascheroni . Pour les arguments demi-entiers, la fonction digamma prend les valeurs

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2} {2k-1}}.}$

Représentations intégrales

Si la partie réelle de z est positive alors la fonction digamma a la représentation intégrale suivante due à Gauss :

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}} {1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

La combinaison de cette expression avec une identité intégrale pour la constante d'Euler-Mascheroni donne : ${\style d'affichage \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\ ,dt.}$

L'intégrale est le nombre harmonique d'Euler , donc la formule précédente peut aussi s'écrire ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Une conséquence est la généralisation suivante de la relation de récurrence :

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Une représentation intégrale due à Dirichlet est :

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right )\,{\frac {dt}{t}}.}$

La représentation intégrale de Gauss peut être manipulée pour donner le début du développement asymptotique de . ${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{ \frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Cette formule est également une conséquence de la première intégrale de Binet pour la fonction gamma. L'intégrale peut être reconnue comme une transformée de Laplace .

La deuxième intégrale de Binet pour la fonction gamma donne une formule différente pour laquelle donne également les premiers termes du développement asymptotique : ${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{ 2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

De la définition et de la représentation intégrale de la fonction Gamma, on obtient ${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{- t}\,dt,}$

avec . ${\displaystyle \Re z>0}$

Représentation infinie du produit

La fonction est une fonction entière, et elle peut être représentée par le produit infini ${\style d'affichage \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{ \frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Voici le k ième zéro de (voir ci-dessous), et est la constante d'Euler–Mascheroni . ${\style d'affichage x_{k}}$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage \gamma }$

Remarque : Ceci est également égal à en raison de la définition de la fonction digamma : . ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

Formule de série

La formule du produit d'Euler pour la fonction gamma, combinée avec l'équation fonctionnelle et une identité pour la constante d'Euler-Mascheroni, donne l'expression suivante pour la fonction digamma, valable dans le plan complexe en dehors des entiers négatifs (Abramowitz et Stegun 6.3.16) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{ \frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{ \infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

De manière équivalente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{ \frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\ infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}}$

Évaluation de sommes de fonctions rationnelles

L'identité ci-dessus peut être utilisée pour évaluer des sommes de la forme

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}} ,}$

où p ( n ) et q ( n ) sont des polynômes de n .

Effectuer une fraction partielle sur u _n dans le corps complexe, dans le cas où toutes les racines de q ( n ) sont des racines simples,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_ {k}}}.}$

Pour que la série converge,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

sinon la série sera supérieure à la série harmonique et ainsi divergera. D'où

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^ {m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m} a_{k}\gauche({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1} ^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{ n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\ gros )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

Avec le développement en série de la fonction polygamma de rang supérieur , une formule généralisée peut être donnée comme

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac { a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\somme _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k} }}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

à condition que la série de gauche converge.

Taylor série

Le digamme a une série zêta rationnelle , donnée par la série de Taylor à z = 1 . C'est

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},}$

qui converge pour | z | < 1 . Ici, ζ ( n ) est la fonction zêta de Riemann . Cette série est facilement dérivée de la série de Taylor correspondante pour la fonction zêta de Hurwitz .

Série Newton

La série Newton pour le digamma, parfois appelée série Stern , se lit

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s }{k}}}$

où (^s
_k) est lecoefficient binomial. Il peut aussi être généralisé à

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {mk}{s+k} }-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom { s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re(s)>-1,}$

où m = 2,3,4,...

Séries avec coefficients de Grégoire, nombres de Cauchy et polynômes de Bernoulli de seconde espèce

Il existe différentes séries pour le digamme contenant des coefficients rationnels uniquement pour les arguments rationnels. En particulier, la série avec les coefficients de Grégoire G _n est

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1) ! }{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty } {\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0 ,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}} v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3 \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n- 1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

où ( v ) _n est le factoriel croissant ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) sont les coefficients de Grégory d'ordre supérieur avec G _n (1) = G _n , Γ est la fonction gamma et ζ est la fonction zêta de Hurwitz . Série similaire avec les nombres de Cauchy du deuxième type C _n lit

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_ {n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Une série avec les polynômes de Bernoulli du deuxième type a la forme suivante

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a )\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

où ψ _n ( a ) sont les polynômes de Bernoulli du deuxième type défini par l'équation de génération

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _ {n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Il peut être généralisé à

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{ r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{ n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

où les polynômes N _n,r ( a ) sont donnés par l'équation génératrice suivante

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{ \infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

de sorte que N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a ) . Des expressions similaires avec le logarithme de la fonction gamma impliquent ces formules

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\ frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} \psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

et

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\gauche\{\ln \Gamma (v+a)+v -{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r- 2}(rn-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{ n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1) !\right\},}$

où et . ${\displaystyle \Re (v)>-a}$${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

Formule de réflexion

La fonction digamma satisfait une formule de réflexion similaire à celle de la fonction gamma :

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$

Formule de récurrence et caractérisation

La fonction digamma satisfait la relation de récurrence

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Ainsi, on peut dire de "télescope" 1 / x , car on a

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

où Δ est l' opérateur de différence avant . Ceci satisfait la relation de récurrence d' une somme partielle de la série harmonique , impliquant ainsi la formule

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

où γ est la constante d' Euler-Mascheroni .

Plus généralement, on a

${\displaystyle \psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z +k}}\droit).}$

pour . Une autre extension de la série est : ${\displaystyle Re(z)>0}$

${\displaystyle \psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j }}{2jz^{2j}}}}$,

où sont les nombres de Bernoulli. Cette série diverge pour tous les z et est connue sous le nom de série de Stirling . ${\style d'affichage B_{2j}}$

En fait, ψ est la seule solution de l'équation fonctionnelle

${\style d'affichage F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

qui est monotone sur R ⁺ et satisfait F (1) = − γ . Ce fait découle immédiatement de l'unicité de la Γ fonction de son équation de récurrence et la restriction de convexité. Cela implique l'équation de différence utile:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Quelques sommes finies impliquant la fonction digamma

Il existe de nombreuses formules de sommation finies pour la fonction digamma. Les formules de sommation de base, telles que

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}} =m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} , \ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m }}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m }}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

sont dus à Gauss. Des formules plus compliquées, comme

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1) k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1) k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m} }=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{ \frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^ {m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1) \pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\ pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1) \pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell + 1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2 }+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m +2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

sont dues aux travaux de certains auteurs modernes (voir par exemple l'annexe B de Blagouchine (2014)).

Le théorème digamma de Gauss

Pour les entiers positifs r et m ( r < m ), la fonction digamma peut être exprimée en termes de constante d' Euler et d'un nombre fini de fonctions élémentaires

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\ frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left ({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

ce qui vaut, en raison de son équation de récurrence, pour tous les arguments rationnels.

Expansion asymptotique

La fonction digamma a le développement asymptotique

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)} {z^{2n}}}=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{ 2n}}},}$

où B _k est le k ième nombre de Bernoulli et ζ est la fonction zêta de Riemann . Les premiers termes de cette expansion sont :

${\displaystyle \psi (z)\approx \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{ 4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+ {\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Bien que la somme infinie ne converge pour aucun z , toute somme partielle finie devient de plus en plus précise à mesure que z augmente.

L'expansion peut être trouvée en appliquant la formule d'Euler-Maclaurin à la somme

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

L'expansion peut également être dérivée de la représentation intégrale provenant de la deuxième formule intégrale de Binet pour la fonction gamma. Développer comme une série géométrique et substituer une représentation intégrale des nombres de Bernoulli conduit à la même série asymptotique que ci-dessus. De plus, le développement uniquement d'un nombre fini de termes de la série donne une formule avec un terme d'erreur explicite : ${\style d'affichage t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n }}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1} \,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Inégalités

Lorsque x > 0 , la fonction

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

est complètement monotone et surtout positif. Ceci est une conséquence du théorème de Bernstein sur les fonctions monotones appliqué à la représentation intégrale issue de la première intégrale de Binet pour la fonction gamma. De plus, par l'inégalité de convexité , l'intégrande dans cette représentation est bornée ci-dessus par . En conséquence ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\log x+\psi (x)}$

est aussi complètement monotone. Il s'ensuit que, pour tout x > 0 ,

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \log x-{\frac {1}{2x}}.}$

Cela récupère un théorème de Horst Alzer. Alzer a également prouvé que, pour s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Des bornes connexes ont été obtenues par Elezovic, Giordano et Pecaric, qui ont prouvé que, pour x > 0 ,

${\displaystyle \log(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\log(x+e^{-\gamma })- {\frac {1}{x}},}$

où est la constante d'Euler–Mascheroni . Les constantes apparaissant dans ces bornes sont les meilleures possibles. ${\style d'affichage \gamma }$

Le théorème de la valeur moyenne implique l'analogue suivant de l'inégalité de Gautschi : Si x > c , où c 1,461 est l'unique racine réelle positive de la fonction digamma, et si s > 0 , alors

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+ 1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right ).}$

De plus, l'égalité est vérifiée si et seulement si s = 1 .

Inspirés par l'inégalité de valeur moyenne harmonique pour la fonction gamma classique, Horzt Alzer et Graham Jameson ont prouvé, entre autres, une inégalité de valeur moyenne harmonique pour la fonction digamma :

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{ X}})}}}$ pour ${\style d'affichage x>0}$

L'égalité est valable si et seulement si . ${\style d'affichage x=1}$

Calcul et approximation

Le développement asymptotique permet de calculer facilement ψ ( x ) lorsque la partie réelle de x est grande. Pour calculer ψ ( x ) pour x petit , la relation de récurrence

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

peut être utilisé pour décaler la valeur de x vers une valeur plus élevée. Beal suggère d'utiliser la récurrence ci-dessus pour décaler x à une valeur supérieure à 6, puis d'appliquer l'expansion ci-dessus avec des termes supérieurs à x ¹⁴ coupés, ce qui donne une "précision plus que suffisante" (au moins 12 chiffres sauf près des zéros).

Lorsque x tend vers l'infini, ψ ( x ) devient arbitrairement proche à la fois de ln( x − 1/2) et de ln x . En descendant de x + 1 à x , ψ diminue de 1 / x , ln ( x - 1/2) diminue de ln ( x + 1/2) / ( x - 1/2) , ce qui est plus de 1 / x , et ln x diminue de ln (1 + 1 / x) , ce qui est inférieur à 1 / x . De cela, nous voyons que pour tout x positif supérieur à 1/2 ,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

ou, pour tout x positif ,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

L'exponentielle exp ψ ( x ) est d' environ x - 1/2 pour les grandes x , mais se rapproche de x à petit x , approchant 0 à x = 0 .

Pour x < 1 , nous pouvons calculer des limites basées sur le fait qu'entre 1 et 2, ψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ] , donc

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x \dans (0,1)}$

ou alors

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1 }{x}}-\gamma \right)\right).}$

De la série asymptotique ci-dessus pour ψ , on peut dériver une série asymptotique pour exp(− ψ ( x )) . La série correspond bien au comportement global, c'est-à-dire qu'elle se comporte asymptotiquement comme elle le devrait pour les grands arguments, et a également un zéro de multiplicité non bornée à l'origine.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+ {\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47} {48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Ceci est similaire à un développement de Taylor de exp(− ψ (1 / y )) à y = 0 , mais il ne converge pas. (La fonction n'est pas analytique à l'infini.) Une série similaire existe pour exp( ψ ( x )) qui commence par${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Si l'on calcule la série asymptotique pour ψ ( x +1/2) il s'avère qu'il n'y a pas de puissances impaires de x (il n'y a pas de terme x ⁻¹ ). Cela conduit au développement asymptotique suivant, qui économise des termes de calcul d'ordre pair.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8 \cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Valeurs spéciales

La fonction digamma a des valeurs sous forme fermée pour les nombres rationnels, en raison du théorème digamma de Gauss . Certains sont énumérés ci-dessous :

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\ gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln { 2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\ pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2} }-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

De plus, en prenant la dérivée logarithmique de ou où est à valeur réelle, on peut facilement en déduire que ${\style d'affichage |\Gamma (bi)|^{2}}$${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$${\style d'affichage b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

En dehors du théorème digamma de Gauss, aucune formule fermée de ce type n'est connue pour la partie réelle en général. On a par exemple à l' unité imaginaire l'approximation numérique

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2 }+n+1}}\environ 0,09465.}$

Racines de la fonction digamma

Les racines de la fonction digamma sont les points-selles de la fonction gamma à valeurs complexes. Ainsi ils se trouvent tous sur l' axe réel . Le seul sur l' axe réel positif est le minimum unique de la fonction gamma à valeur réelle sur R ⁺ à x ₀ =1.461 632 144 968 362 341 26 ... . Tous les autres se produisent seuls entre les pôles sur l'axe négatif :

x ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

x ₂ =−1,573 498 473 162 390 458 77 ...

x ₃ =−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

x ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\style d'affichage \vdots }$

Déjà en 1881, Charles Hermite observait que

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

tient asymptotiquement. Une meilleure approximation de l'emplacement des racines est donnée par

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

et en utilisant un autre terme, cela devient encore mieux

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}} \right)\qquad n\geq 1}$

qui découlent tous deux de la formule de réflexion via

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

et en substituant ψ ( x _n ) par son développement asymptotique non convergent. Le deuxième terme correct de cette expansion est 1 / 2 n , où celui donné fonctionne bien pour approcher les racines avec un petit n .

Une autre amélioration de la formule d'Hermite peut être donnée :

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

En ce qui concerne les zéros, les identités de somme infinie suivantes ont été récemment prouvées par István Mező et Michael Hoffman

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\ frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4 \zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac { 1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

En général, la fonction

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

peut être déterminé et il est étudié en détail par les auteurs cités.

Les résultats suivants

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\ \\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2 }}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

également vrai.

Ici γ est la constante d'Euler–Mascheroni .

Régularisation

La fonction digamma apparaît dans la régularisation des intégrales divergentes

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

cette intégrale peut être approximée par une série harmonique générale divergente, mais la valeur suivante peut être attachée à la série

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Voir également

• Fonction polygamma
• Fonction Trigamma
• Développements de Chebyshev de la fonction digamma dans Wimp, Jet (1961). "Approximations polynomiales des transformées intégrales" . Math. Comp . 15 (74) : 174-178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

Les références

Liens externes

• Séquence OEIS A020759 (Développement décimal de (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) où Gamma(x) désigne la fonction Gamma) —psi(1/2)

OEIS :  A047787 psi(1/3), OEIS :  A200064 psi(2/3), OEIS :  A020777 psi(1/4), OEIS :  A200134 psi(3/4), OEIS :  A200135 à OEIS :  A200138 psi(1 /5) à psi (4/5).